Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Министерство образования и науки РФ

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования УГЛТУ

Уральский государственный лесотехнический университет

Курсовая работа

Автоматизации технологических процессов и производства

Матвеев Д.Н.

Екатеринбург 2023

Задание 1

На рис. 1 приведена пассивная электрическая цепь в виде моста.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис.1. Мостовая схема к задаче 1

Записать дифференциальное уравнение и найти передаточную функцию, если в качестве входного сигнала взято напряжение на первичных зажимах u₁, в качестве выходного - напряжение на вторичных зажимах u₂.

Значение параметров схемы приведены в табл. 1.

Таблица 1

Параметры схемы	Вариант №4
R1, ком	0,82
R2, ком	4,3
L1, Гн	0,2
L2, Гн	0,8

Решение

Запишем дифференциальное уравнение для контуров, обозначенных на рисунке.

R₁i₁ + L₁di₁/ dt = u₁;

R₂i₂+ L₂di₂/ dt = u₁.

В операторной форме эти уравнения запишутся так:

R₁I₁(p) + L₁p I₁ (p) = (L₁p + R₁) I₁(p) = U₁ (p);

R₂I₂(p) + L₂p I ₂ (p) = (R₂ + L₂p) I ₂ (p) = U₁ (p),

откуда

I₁(p) = ;

I ₂ (p) = .

где p - оператор Лапласа

T₁ = L₁ / R₁;

T₂ = L₂ / R₂;

Напряжение u₂ (t) на вторичных зажимах можно определить следующим образом: по 2_му закону Кирхгофа

Второе правило Кирхгофа (правило напряжений Кирхгофа) гласит, что алгебраическая сумма напряжений на резистивных элементах замкнутого контура равна алгебраической сумме ЭДС, входящих в этот контур. Если в контуре нет источников ЭДС (идеализированных генераторов напряжения), то суммарное падение напряжений равно нулю: E = U = R I; e = u = R i + u + u.

Для того, чтобы правильно составить уравнения по второму закону Кирхгофа, нужно пользоваться следующим правилом: ЭДС берется со знаком «+», если ее действие совпадает с направлением обхода контура. Напряжение на элементе контура берется со знаком «+», если направление тока через данный элемент совпадает с направлением обхода контура. Если не совпадает направление обхода контура с направлением тока через элемент, то напряжение этого элемента берется со знаком «- «.

u₂(t) = L₂di₂ / dtR₁i₁,

или в операторной форме

U₂(p) = L₂pI₂ (p) R₁I₁(p).

Подстановка выражений для токов I₁ (p) и I₂ (p) позволяет найти связь между входным U₁ (p) и выходным U₂ (p) сигналами:

U₂(p) = U₁ (p) U₁ (p),

откуда передаточная функция получается равной

W(p) = = = .

Подставляем данные:

T₁ = 0,2 / 0,82 = мc;

T₂ = 0,8/ 4,3 = мс;

=



Задание 2

На рис. 2. изображена структурная схема автоматической системы.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 2. Структурная схема системы

Передаточные функции системы имеют вид:

W₁(p) = K₁ усилительное звено;

W₂(p) = интегрирующее звено;

W₃(p) = инерционное (апериодическое 1_го порядка) звено;

W₄(p) = апериодическое звено 2_го порядка;

W₅(p) = K₅ усилительное звено;

W₆(p) = K₆p дифференциальное звено;

W₇(p) = K₇ усилительное звено.

Значения коэффициентов передачи и постоянных времени приведены в табл. 2.



Таблица 2

Исходные данные	Варианты 8
K1	1,5
K2	0.01
K3	2
K4	1,5
K5	1,8
K6	1
K7	1,2
T1, с	4,5
T2, с	0,8
T3, с	1,4

В задаче необходимо выполнить следующее:

1. Найти передаточную функцию разомкнутой системы.

2. Найти передаточную функцию замкнутой системы по задающему воздействию x(p).

Решение

При последовательном соединении звеньев общая передаточная функция определяется произведением передаточных функций отдельных звеньев

W(p) = ,

а при параллельном соединении - их суммой:

W(p) = .

При соединении с отрицательной обратной связью общая передаточная функция замкнутой системы находится так:



W_З(p) =

У нас звенья с передаточными функциями W₁(p) и W₂ (p) соединены последовательно, поэтому их общая передаточная функция W₁₂ (p) = W₁ (p) W₂ (p). Звенья с передаточными функциями W₁₂(p) и W₃ (p) соединены параллельно, поэтому их общая передаточная функция

W₁₂₃(p) = W₁₂ (p) + W₃ (p).

Звено с такой передаточной функцией соединено последовательно со звеном, имеющим передаточную функцию W₄(p). Тогда

W₁₂₃₄(p) = W₁₂₃ (p) W₄ (p).

Это и будет передаточная функция разомкнутой системы:

W_раз(p) = W₁₂₃₄ (p) = W₄ (p) [W₃ (p) + W₁ (p) W₂ (p)] == = =

При нахождении W_З(p) учитываем передаточную функцию цепи обратной связи:

W_ОС (p) = [W₆ (p) + W₇ (p)] W₅ (p).



Тогда

W_З(p) = = = = ==

Задача 3

Апериодическое звено 2_го порядка описывается передаточной функцией вида:

W(p) = .

В табл. 3 приведены значения коэффициента передачи и постоянных времени T₁ и T₂.

Построить амплитудно-фазовую (АФХ) (комплексно-частотную (КЧХ)), амплитудно-частотную (АЧХ), фазочастотную (ФЧХ) и асимптотическую логарифмическую амплитудно-частотную (ЛАЧХ) характеристики звена.

Таблица 3

Исходные данные	Вариант 4
K	4
T1, с	0.02
T2, с	0.3

Решение

Амплитудно-фазовой (АФХ) (комплексно-частотной (КЧХ)) характеристикой называется геометрическое место концов вектора W (j) при изменении частоты от 0 до .

W(p) = =

Определим :

W (j) = =

=

Определим ,:

A () =

Данные расчета по полученным формулам сводим в таблицу:

	0	0.5	1	1.5	2	2.5	3	3.5	4
A ()	4	3.9	3.8	3.6	3.4	3.1	2.9	2.7	2.5
()	0
	6	10	15	17	21	50	100
A ()	1.9	1.25	0.83	0.72	0.57	0.18	0.05	0
()

Асимптотическая амплитудно-частотная характеристика соответствует выражению

L () = 20 lgA () = 20 lg4-10lg+10lg

L(0) = 20 lgA (0) = 20 lg 4-10lg+10lg=12.04

=lg50=1.6

=lg3.3=0.5

Начальный участок характеристики соответствует усилительному звену (20lgK) и представляет собой горизонтальную прямую. В точке, соответствующей частоте сопряжения появляется наклон 40 дБ/дек

По данным таблицы строим АФХ, АЧХ, ФЧХ.



Задача 4

Система описывается характеристическим уравнением вида:

a₃p³ + a₂p² + a₁p + a₀= 0.

10p³+4p²+p+12=0

Таблица 4

Исходные данные	Вариант
	8
a3, с3	10
a2, с2	4
a1, с	1
a0	12

Оценить устойчивость системы по критериям Гурвица и Михайлова.

Решение

Составляем определитель из коэффициентов данного уравнения

При заполнении определителя по главной диагонали ставятся все коэффициенты характеристического уравнения, начиная со второго (a₂). Выше диагонального члена ставятся все коэффициенты при более низких степенях p, ниже - при более высоких. На место коэффициентов, индексы которых больше порядка уравнения, ставятся нули.

САР устойчива, если при a₃> 0 определитель ₃ (Рауса-Гурвица) и все его диагональные миноры, получающиеся вычеркиванием из предыдущего определителя последней строки и последнего столбца, положительны.

10p³+4p²+ p+12=0



Составляем и вычисляем определители:

₃ = = - 1408< 0;

₂ = = - 116< 0;

₁ = | 4| = 4> 0

Система неустойчива, так как ₃ и ₂ отрицательны.

Для оценки устойчивости по критерию Михайлова надо построить кривую Михайлова - геометрическое место концов вектора

H (j) = a₃ (j)³ + a₂ (j)² + aj + a₀ = 10 (j)³ + 4 (j)² + 1j + 12.

Необходимым и достаточным условием устойчивости является следующее поведение кривой:

начинается на вещественной положительной оси;

поворачивается с ростом частоты в положительном направлении (против часовой стрелки);

проходит последовательно n квадрантов, нигде не обращаясь в нуль,

в n_м квадранте уходит в бесконечность.

Выделим вещественную и мнимую части вектора:

H (j) = 10 (j)³ + 4 (j)² + 1j + 12 = j10³ 4² + j1 + 12 = (12 4²)+ j(1 10²) = 0

Результаты расчета A () и B () для разных частот сводим в таблицу:

	A	B	Квадрант
0	12	0	1
0.1	11.96	0.09	1
0.2	11.84	0.22	1
0.3	11.64	-0.24	4
0.4	11.36	-0.34	4
0.5	11	-0.75	4
0.6	10.56	-1.56	4
0.7	10.04	-2.73	4
0.8	9.44	-4.32	4
0.9	8.76	-6.39	4
1	8	-9	4
1.1	7.16	-12.21	4
1.2	6.24	-16.08	4
1.3	5.24	-21.97	4
1.4	4.16	-26.04	4
1.5	3	-32.25	4
1.6	1.76	-39.36	4
1.7	0.44	-47.43	4
1.8	-0.96	-58.32	3
1.9	-2.44	-68.59	3
2	-4	-78	3
………….	………….	………….	3
	-	-	3

Видно, что кривая проходит квадранты в нарушенной последовательности: 1 - 4 - 3. Следовательно, система неустойчива.



Задача 5

Рассматривается система автоматического регулирования уровня связующего (или любой иной жидкости) в баке. Объект регулирования (ОР) - бак (рис 3), регулируемый параметр - уровень H. Возмущающим воздействием, нарушающим материальный баланс и приводящим к отклонению уровня от заданного H_зад, является измерение нагрузки аппарата, т.е. расход связующего G_p. Уровень жидкости измеряется с помощью датчика LE. На основе сравнения текущего значения уровня H с заданным H_зад автоматический регулятор (АР) LС вырабатывает управляющее воздействие, приводящее в движение исполнительный механизм (ИМ) и регулирующий орган (РО), изменяющее, в свою очередь, приток G_п жидкости в бак.

Вместо текущих значений переменных H, G_п и G_p удобно рассматривать их отклонения от некоторого исходного состояния:

y = H - H_зад - отклонение уровня от заданного значения (выходной параметр);

f = G_p - G_po - отклонение расхода относительно начального значения (возмущение);

x = G_п - G_пo - отклонение притока относительно начального значения (управляющее воздействие).

Тогда дифференциальное уравнение объекта (ОР) может быть записано так:

Т = + y = k_x* x - k_f* f,

где t - текущее время;

Т - постоянная времени ОР;

k_f - коэффициент передачи ОР по каналу возмущения;

k_x - коэффициент передачи ОР по каналу управления.

Рис. 3. Схема системы автоматического регулирования

Предполагается, что возмущающее воздействие имеет вид неединичного скачка

f(t) = f * 1 (t),



где f = const, а

В задаче требуется:

1) представить ОР в виде структурной схемы и определить передаточные функции по каналам управления W_х(p) и возмущения W_f(p);

2) рассчитать и построить кривую переходного процесса y(t) в ОР в отсутствие автоматического регулятора (АР), если возмущение имеет вид неединичного скачка заданной величины f;

3) составить структурную схему системы автоматического регулирования (САП) и найти передаточную функцию замкнутой САП по каналу возмущения;

4) рассчитать и построить кривую переходного процесса y(t) в системе с АР при скачкообразном изменении возмущения на величину f;

5) оценить влияние АР на изменение времени переходного процесса в ОР;

6) сделать соответствующие выводы.

Решение

Рассмотрим пример расчета для следующих исходных данных:

Исходные данные	Вариант
	4
T, с	10
, с/	3,8
с/	1,5
f*1,	2,4
Тип регулятора	П
	3
	2

1. Анализ объекта регулирования.

Запишем уравнение движения объекта в операторной форме:



Т_рy(p) + y(p) = k_xx(p) - k_fF(p),

или

Y(p) (T_p+1) =k_xx(p) - k_fF(p).

Отсюда

Y(p) = - = W_x(p) x(p) - W_f(p) F(p),

где W_x(p) - передаточная функция ОР по управляющему воздействию;

W_f(p) - передаточная функция ОР по возмущению.

Тогда структурную схему ОР можно представить в таком виде (рис. 4)

Рис. 4. Cтруктурная схема ОР

2. Построение переходного процесса y(t) в ОР в отсутствие автоматического регулятора (АР) в случае, когда возмущение имеет вид неединичного сигнала f(t) = f * 1t = 2.4*10^-2* 1t.

Положим в исходном уравнении x(t) =0. Тогда получим

Т + y = - k_fF



Решением этого уравнения является функция

y(t) = - k_ff (1 - ) = -9.12*10^-2 (1 - ) M.

Расчет переходного процесса следует ввести для интеграла времени

0 ? t ? 5T = 50 c.

Выберем шаг по времени .

Данные расчета сведем в таблицу 7:

t, c	0	5	10	15	20
	0	0,5	1	1,5	2
	1	0,610	0,37	0,22	0,14
1 -	0	0,39	0,63	0,78	0,86
y= 9.12*10-2 *(1 - ), M	0	-3,55*10-2	-5,74*10-2	-7,11*10-2	-7,84*10-2

25	30	35	40	45	50
2,5	3	3,5	4	4,5	5
0,08	0,05	0,03	0,02	0,01	0,07
0,92	0,95	0,97	0,98	0,99	0,993
-8,3*10-2	-8,6*10-2	-8,84*10-2	-8,9*10-2	-9,02*10-2	-9,05*10-2

По данным табл. 7 строится график y(t) (рис. 5). Из графика видно, что y_уст = - k_ff = 9.12*1, а время регулирования (с точностью д = ±0,05y_уст) равно t_п29 с.



3. Структурная схема замкнутой САП изображена на рис. 6.

Отклонение выходного параметра y(t) от установившегося значения возникает как следствие возникновения возмущения f(t). На входе АР сигнал = g(t) - y(t), где g(t) - задающее воздействие (в нашем случае - H_зад). В зависимости от величины и знака этого отклонения АР формирует управляющее воздействие х(t), действие которого на ОР противоположно действию возмущения f(t). В результате этого отклонения y либо ликвидируется полностью, либо значительно уменьшается (в зависимости от типа регулятора).

Передаточные функции регуляторов:

«П» - W_п (р) = k_р

Параметры k_ри являются настроечными, т.е. могут изменяться при настройке АР.

В соответствии со структурной схемой (рис. 6) найдем передаточные функции замкнутой САП по возмущению.



Тогда для системы с П-регулятором передаточная функция будет равна:

=

4. Построение кривой переходного процесса в системе с АР при скачкообразном изменении возмущения f (t).

Y(p)=

где F(p) = - изображение неединичного возмущения.

Тогда для системы c регулятором получаем:

=

H(p)==0, отсюда= 0= -0,55.

H'(p)=1 (10p+5.5)+ 10p

H' (=5.5 H' (=-5.5

G(p)= -9.12*1

y(t)=-1.65*1(1-)

Расчет проведен для 0<t<5Т=9, где Т=1.8с. Cшагом t=0,9.

Данные расчета сведем в таблицу 8:



t, c	0	0,9	1,8	2,7	3,6
	0	0,49	0,99	1,48	1,98
	1	0,61	0,37	0,22	0,13
	0	0,39	0,63	0,78	0,87
y= -1.65*10-2 *(1 - ), M	0	-0.64*10-2	-1,03*10-2	-1,2*10-2	-1.43*10-2

4,5	5,4	6,3	7,2	8,1	9
2,47	2,97	3,46	3,96	4,45	4,95
0,08	0,05	0,03	0,019	0,011	0,007
0,92	0,95	0,97	0,981	0,989	0,993
-1.51*10-2	-1.56*10-2	-1.6*10-2	-1.61*10-2	-1.63*10-2	-1.638*10-2

По данным табл. 8 строится график y(t) (рис. 9). Из графика видно, что 1.65*, а время регулирования (с точностью ) равно 6 с.



Рис. 9. График кривой с регулятором П №1 и без регулятора П при Т=10с

напряжение зажим регулятор

5. Запишем время переходного процесса в системе без регулятора и с П-регулятором:

- для системы без регулятора 29с;

- для системы с П-регулятором6 с

Выводы

Применение П-регулятора позволило уменьшить время переходного процесса с 29с до 6с. Установившееся значение отклонения выходного параметра уменьшилось в раз с м -9,12*1 м.

Размещено на Allbest.ru