Размещено на http://www.Allbest.Ru/

Санкт-Петербургский государственный университет промышленных технологий и дизайна

Университет ИТМО

Воронежский государственный университет инженерных технологий

Аналитическая оценка оптимального соотношения толщины ножа и решетки шнекового мясоизмельчителя для повышения качества вырабатываемого фарша и снижения скорости износа режущей пары

Т.Ю. Короткова,

В.В. Пеленко, В.Г. Злобин,

Г.В. Баринов, С.В. Шахов

Санкт-Петербург, Россия



Аннотация

При математическом описании процессов экструзии и резания мясного сырья и других твердообразных пищевых материалов в шнековых измельчителях, возникают дополнительные трудности, которые обусловлены неизвестным характером изменения силового воздействия на режущий узел. Неравномерность распределения сил давления сырья по радиусу выходной решетки шнековых измельчителей обусловлена не только сложным винтовым характером перемещения материала, но и наличием кольцевого зазора между внутренней цилиндрической поверхностью корпуса измельчителя и наружной поверхностью выступов последнего витка шнека. Действительно, при определенных технологических режимах, на выходе измельчителя формируется давление мясного сырья, превышение которого вызывает явление «шлюзования», то есть обратного перетока твердообразного пищевого материала через названный кольцевой зазор. В этих условиях решение задачи оптимизации толщины лезвия ножа при нагрузке, равномерно либо линейно распределенной по радиусу выходной измельчительной решетки, известно. Однако, как показывают результаты отдельных экспериментов, распределение давления на режущий узел носит более сложный характер, обусловленный сложными нелинейными реологическими характеристиками мясного сырья. Поэтому в данном исследовании осуществлена разработка математической модели процесса изгиба выходной измельчительной решетки как круглой перфорированной пластинки, находящейся под действием нагрузки мясного продукта, параболически убывающей по радиусу. При этом аналитически определен также прогиб лезвия ножа под действием этой параболической нагрузки пищевой среды. На основе анализа особенностей физической модели процесса контактного взаимодействия между собой элементов режущего узла мясного сырья, сформулированы условия закрепления, исключающие концентрацию взаимных сил трения ножа и решетки, и обеспечивающие снижение скорости их износа и высокое качество мясного продукта. Базируясь на принципе совместности деформаций, установлена аналитическая зависимость требуемой толщины лезвия ножа от толщины выходной измельчительной решетки для снижения скорости износа за счет обеспечения эквидистантности упругих линий их изгиба под действием нагрузки мясного сырья, параболически убывающей по радиусу. Эквидистантность упругих линий прогиба лезвий ножа и кольцевой измельчительной решетки обеспечивает исключение зазора между поверхностями контакта ножа и решетки. В таком случае не допускается проникновение волокон измельчаемого мясного сырья в контактный стык режущей пары. Как следствие, отсутствие расклинивания стыка исключает смятие материала и выдавливание полезного мясного сока. В связи с этим, снижение потерь мясной жидкой фазы в приготавливаемом фарше значимо повышает качество выходного продукта.

Ключевые слова: математическое моделирование; дифференциальное уравнение изгиба; переменное давление; скорость износа; оптимизация; режущая пара; расклинивание; мясное волокно; толщина лезвия ножа; мясной сок; качество фарша.



Abstract

Analytical evaluation of the optimal ratio of the thickness of the knife and the grate of the screw meat grinder to improve the quality of the minced meat produced and reduce the wear rate of the cutting pair

V.V. Pelenko, T.Y. Korotkova, V.G. Zlobin, G.V. Barinov, Shakhov S.V., Saint Petersburg State University of Industrial Technologies and Design, ITMO University, St. Petersburg, Russia

In the mathematical description of the processes of extrusion and cutting of raw meat and other solid food materials in screw grinders, additional difficulties arise, which are due to the unknown nature of the change in the force effect on the cutting unit. The uneven distribution of the pressure forces of the raw material along the radius of the outlet grate of the screw grinders is due not only to the complex helical nature of the material movement, but also to the presence of an annular gap between the inner cylindrical surface of the grinder body and the outer surface of the projections of the last turn of the screw. Indeed, under certain technological conditions, the pressure of the raw meat is formed at the outlet of the grinder, the excess of which causes the phenomenon of "slugging", that is, the reverse flow of solid food material through the said annular gap. Under these conditions, the solution to the problem of optimizing the thickness of the knife blade under a load uniformly or linearly distributed over the radius of the output grinding grate is known. However, as the results of individual experiments show, the pressure distribution on the cutting unit is more complex due to the complex nonlinear rheological characteristics of the raw meat. Therefore, in this study, a mathematical model was developed for the bending process of the outlet grinding grate as a circular perforated plate under the action of the load of the meat product, parabolically decreasing along the radius. At the same time, the deflection of the knife blade under the action of this parabolic load of the food medium was also determined analytically. Based on the analysis of the features of the physical model of the process of contact interaction between the elements of the cutting unit of meat raw materials, the conditions of fastening are formulated that exclude the concentration of mutual friction forces of the knife and grate, and ensure a decrease in the rate of their wear and high quality of the meat product. Based on the principle of compatibility of deformations, an analytical dependence of the required thickness of the knife blade on the thickness of the outlet grinding grate was established to reduce the wear rate by ensuring the equidistance of elastic lines of their bending under the action of the load of raw meat, parabolically decreasing along the radius. The equidistance of the elastic deflection lines of the knife blades and the annular grinding grate ensures the exclusion of a gap between the contact surfaces of the knife and the grate. In this case, the penetration of the fibers of the crushed meat raw materials into the contact joint of the cutting pair is not allowed. As a consequence, the absence of wedging of the joint eliminates the crumpling of the material and the squeezing of useful meat juice. In this regard, reducing the loss of the meat liquid phase in the prepared minced meat significantly improves the quality of the output product.

Keywords: mathematical modeling; differential equation of bending; variable pressure; wear rate; optimization; cutting pair; wedging; meat fiber; knife blade thickness; meat juice; minced meat quality.



Введение

Анализ математической модели шнековых измельчителей мясного сырья, экструдеров и волчков, а также результатов экспериментальных исследований зависимости энергосиловых параметров пары нож-решетка от момента затяжки центральной зажимной гайки показывают, что названный узел наиболее динамически и термически напряжен [1-3]. Опыт промышленной эксплуатации волчков подтверждает указанный факт, так как частая перезаточка ножей, и смена режущих комплектов волчков являются общим слабым местом измельчительно-режущего оборудования. По данным работы [2] полный ресурс одного крестового ножа не превышает двух месяцев рядовой эксплуатации. Как следует из работ [2, 4], в процессе функционирования режущая пара изнашивается, качество мясного продукта ощутимо снижается, при этом потребляемая шнековым мясоизмельчителем мощность возрастает на 8 ч 20%. Экспериментальные исследования свидетельствуют о том, что в стыке нож-решетка рост температуры мясного сырья достигает десятка градусов, а это существенный фактор увеличения скорости износа решеток и ножей [3], а также фактор снижения качества мясного продукта. Кроме того, в случае несоответствия толщины ножа и измельчительной решетки, наблюдается неполное прилегание поверхностей их контакта, проникновение волокон мясного сырья в этот зазор, смятие и перетирание волокон, а также отжим и потеря полезных компонентов, содержащихся в мясной жидкой фракции. Углубленный анализ существа физическо-механических процессов, происходящих при функционировании режущего узла шнековых измельчителей, показывает, что давление, оказываемое на решетку и нож со стороны мясного сырья, достигает существенных значений, 0,5ч1,2 МПа и более. В соответствии с традиционными условиями закрепления решетки и ножа зажимной гайкой по внешнему кольцевому контуру, решетка под действием этого давления прогибается выпуклостью наружу корпуса волчка, в направлении выхода продукта, а нож в таком случае опирается своими периферийными сечениями на внешнюю кольцевую часть решетки, превращаясь в двухопорную однопролетную балку. Как следствие, нож при вращении создает существенную концентрацию нормальных напряжений на периферийной кольцевой поверхности решетки, в стыке с ней, что ведет к концентрации сил трения в этой зоне и к ускоренному износу как ножа, так и решетки. Сказанное приводит к необходимости принципиального изменения условий закрепления (не по внешнему, а по внутреннему кольцевому контуру центрального установочного отверстия решетки), и корректного математического описания процесса взаимодействия ножа и ножевой решетки с целью оптимизации конструктивно-технологических параметров узла резания мясного сырья. Обозначенная задача решена для варианта равномерного [5] распределения давления экструдируемого мясного сырья, а также для случая линейно убывающей [6] нагрузки по радиусу выходной измельчительной решетки. Учитывая более сложный характер распределения нагрузки мясного продукта по радиусу выходной измельчительной решетки, поставлена новая задача.

Целью работы является математическое описание зависимости требуемой толщины лезвия ножа от толщины выходной измельчительной решетки под действием нагрузки, параболически убывающей по радиусу, исходя из условия обеспечения эквидистантности упругих линий прогиба решетки и ножа, что не допускает проникновения и смятия мясных волокон в стыке нож-решетка, исключает выдавливание из волокон и потерю полезной жидкой фракции и, тем самым, гарантирует повышение качества вырабатываемого фарша.

Объекты и методы исследования

Объектом исследования является процесс взаимодействия ножа и решетки в режущей паре шнекового измельчителя мясного сырья. В качестве предмета исследования рассматриваются условия закрепления, а также соотношение толщин ножа и решетки, обеспечивающее эквидистантность упругих линий их прогиба для исключения концентрации напряжений в плоскости контакта, что ведет к снижению скорости износа при воздействии нагрузки мясного сырья, параболически изменяющейся вдоль радиуса решетки и обеспечивает повышение качества выпускаемого фарша.

В качестве метода исследования выбран системный анализ возможных условий закрепления решетки, а также математическое моделирование, средствами теории упругости и дифференциального исчисления, процессов изгиба решетки и ножа для оптимизации толщины лезвия ножа на основе уравнения совместности деформаций под действием давления, параболически изменяющегося по радиусу измельчительной решетки, с учетом влияния на деформационные процессы физико-механических и реологических характеристик мясного сырья.



Результаты и обсуждение

1. Обоснование перспективных условий закрепления режущей пары нож-решетка в шнековых измельчителях мясного сырья

Как показывает анализ характеристик и параметров физических процессов, осуществляемых в шнековых измельчителях, давление, оказываемое на решетку и нож со стороны экструдируемого мясного сырья, достигает 1,2•10⁵ Па и более [7, 8]. Поэтому, сообразно традиционным условиям закрепления, решетка под действием этого давления мясного продукта прогибается выпуклостью наружу корпуса волчка, а лезвия ножа опираются на периферийные кольцевые площадки решетки, и представляют собой, в таком случае, двухопорную однопролетную балку. Таким образом, на периферийной кольцевой поверхности этим давлением мяса создается существенная концентрация напряжений в стыке нож-решетка, что при их относительном вращении ведет к ускоренному износу как ножа, так и решетки. Физическая картина указанного процесса приведена на рисунке 1.

Рисунок 1 - Схема традиционного условия закрепления кольцевой мясоизмельчительной решетки в виде жесткой заделки по ее внешнему контуру; 1 - внешняя кольцевая жесткая заделка решетки; 2 - лезвие ножа; 3 - выходная измельчительная решетка; 4 - зоны концентрации напряжений и повышенной скорости износа лезвий ножа

Сказанное приводит к необходимости синтеза и обоснования перспективной схемы закрепления режущей пары.

С точки зрения теории упругости, ножевая решетка шнекового измельчителя представляет собой тонкую круглую перфорированную кольцевую пластину с центральным установочным отверстием, закрепляемую в корпусе шнекового мясоизмельчителя. В самом общем случае рассмотрены более двух десятков вариантов крепления ножевой решетки посредством зажимной гайки [5, 8, 9]. В результате системного анализа показано, что основными среди них являются варианты, представленные на рисунке 2.

Схемы варианта «А» на этом рисунке отражают собой крепление решетки посредством кольцевой жесткой заделки (1 - внешняя заделка кольца, 2 - внутренняя, 3 - двустороняя). Схемы «В» рисунка 2 касаются шарнирных кольцевых опор (4 - внешняя, 5 - внутренняя, 6 - двустороняя). Схемы «С» имеют смешанное крепление кольцевой решетки (7 - внешняя кольцевая шарнирная опора при внутренней жесткой заделке кольца, 8 - внешняя жесткая заделка при внутренней кольцевой шарнирной опоре).

Рисунок 2 - Основные возможные схемы закрепления решётки в корпусе шнекового мясоизмельчителя; 1 - традиционная схема закрепления решетки; 2 - перспективная схема закрепления

Анализируя основные схемы, следует сделать вывод о том, что из предложенных вариантов закрепления решетки мясоизмельчителя необходимо остановить внимание на наиболее перспективном с практической точки зрения случае, представленном вариантом 2 схемы А на рисунке 2. В обоснованном решении крепление кольцевой пластины осуществляется по внутренней границе кольцевого установочного отверстия посредством жесткой заделки. Такой выбор основан на результатах анализа процесса совместной деформации решетки и ножа при работе мясоизмельчителя. Действительно, в этом случае деформация пластины осуществляется выпуклостью внутрь корпуса волчка, так же, как и ножа, поэтому имеется возможность обеспечить одинаковые величины перемещений периферийных кольцевых сечений решетки и лезвий ножа. Таким образом обеспечиваются эквидистантность упругих линий прогиба и равномерные усилия взаимодействия ножа и решетки в плоскости их стыка, исключается концентрация напряжений, и, как следствие, снижается скорость износа ножа и решетки и не снижается из-за возможного мятия мясного сырья качество фарша. Кроме того, естественно, уменьшаются потери энергии на трение и снижается температурная нагрузка на мясное сырье и режущую головку в стыке нож-решетка.

При этом в рассматриваемой задаче внешнее силовое воздействие мясного сырья представляет собой нагрузку «q», параболически убывающую по радиусу решетки и равномерно распределенную вдоль окружностей площади перфорированной пластины (параболоид вращения).

Рисунок 3 - Перспективная схема совместного нагружения давлением, со стороны мясного сырья, режущей пары нож-решетка и индивидуального прогиба ножа и решетки; 1 - выходная решетка; 2 - лезвие ножа; 3 - зона равномерных контактных напряжений; ц-угол поворота поперечного сечения решетки и ножа

Физическая модель прогиба решетки и лезвия ножа для перспективного варианта крепления режущего блока посредством жесткой заделки по внутреннему кольцевому установочному отверстию приведена на рисунке 3.

Очевидная разница в характере и особенностях действия силовых факторов в стыке нож-решетка со стороны мясного сырья и специфики их прогиба видна при сравнении рисунков 1 и 3, что наглядно и отчетливо иллюстрируется рисунком 4.

Рисунок 4 - Сравнительная картина прогиба и особенностей взаимодействия элементов в стыке режущей пары нож-решетка под действием давления мясного сырья при традиционной (Э1) и перспективной (Э2) схемах закрепления;

Э1 - эскиз традиционной схемы заделки решетки по внешнему кольцевому контуру;

Э2 - эскиз перспективной схемы заделки решетки по контуру внутреннего отверстия решетки; 1 - внешняя кольцевая жесткая заделка решетки; 2 - лезвие ножа; 3 - выходная измельчительная решетка; 4 - зоны концентрации напряжений и повышенной скорости износа лезвий ножа; 5 - зона равномерных контактных напряжений; 6 - внутренняя кольцевая жесткая заделка решетки

Таким образом, разработке подлежит математическая модель взаимодействия ножа и решетки шнековых измельчителей под действием давления мясного сырья для перспективной схемы закрепления режущей пары с жесткой заделкой по внутренней кольцевой поверхности установочного отверстия, что позволяет исключить концентрацию внутренних напряжений в стыке и сохранить качество мясного фарша.

2. Аппроксимация нагрузки на нож и решетку параболической зависимостью от радиуса выходной измельчительной решетки под действием давления мясного сырья

В условиях нагружения режущей пары параболически изменяющейся нагрузкой, для снижения скорости износа ножа и решетки необходимо обеспечить равенство их прогибов, что позволит минимизировать контактные напряжения и исключить концентрацию сил трения.

Как показано в работе [3], для гарантированного обеспечения равенства деформаций прогиба выходной измельчительной решетки и лезвия ножа, следует обеспечить эквидистантность их изогнутых срединных поверхностей. В исследовании [5] разработана математическая модель прогиба перфорированной решётки, нагруженной равномерно распределённой по её поверхности механической нагрузкой и температурным изгибающим моментом, равномерно распределенным по периферийной внешней, свободной от связей кольцевой границе решётки и линейно распределённым по её толщине. Однако, как показывают материалы работы [6], нагрузка, распределенная по кольцевой поверхности измельчительной решетки не является равномерной. В названном исследовании нагрузка на режущий узел шнекового измельчителя аппроксимирована линейно убывающей нагрузкой по радиусу выходной решетки.

Задача определения оптимальной зависимости толщины лезвия ножа от толщины решетки в условиях параболически изменяющейся нагрузки сводится на первом этапе к определению соответствующего закона распределения давления экструдируемого материала по радиусу измельчительной решетки.

Оценка величины давления экструдируемого материала в центре решетки Р_ц (в условиях отсутствия шлюзования) осуществлена в рамках работы [7]:

P_ц=. (1)

Здесь:

P_ц - давление в центральной части кольцевой измельчительной решетки, Па;

Р_уд - удельное усилие резания измельчаемого в экструдере материала, н/м;

d_о - диаметр отверстий измельчительной выходной решетки, м;

н_м - коэффициент Пуассона экструдируемого материала,

f - коэффициент трения скольжения материала по рабочим поверхностям;

_р - толщина выходной измельчительной решетки, м.

На внешней границе измельчительной решётки (на ее периферии) устанавливается давление Р_ш шлюзования пищевого материала сквозь кольцевой зазор о между поверхностью гребней буртиков противовращения, выполненных на внутренней поверхности корпуса экструдера и наружной поверхностью гребней винтового шнека. Схема действия сил и параметры кольцевого зазора представлены на рисунке 5. Давление шлюзования Р_ш под действием мясного сырья определяется из уравнения равновесия проекций сил, действующих на экструдируемый материал, продавливаемый сквозь кольцевой зазор высотой о и элементарной длиной dl:

Р_ш о dl = Р_уд dl. (2)

Таким образом, исходя из уравнения (2), величина давления мясного материала на внешней периферийной границе кольцевой решётки составит значение:

Р_ш = Р_уд/о. (3)

Рисунок 5 - Схема действия сил и параметры кольцевого зазора, определяющие давление шлюзования мясного сырья;

1 - кольцевой цилиндр материала в зоне шлюзования (выше сечения А - А нагрузки условно не показаны); 2 - элемент кольцевого цилиндра; 3 - удельное усилие резания материала Р_уд в зазоре шлюзования, Н/м; 4 - давление Р_ш на выделенный элемент материала (о*dl) в зазоре шлюзования, Па; 5 - уравнение равновесия материала в проекции на ось ОХ

Как показано в работе [6], из анализа полученных нами соотношений (1) и (3) следует, что единственный случай формирования равномерно распределенной нагрузки под действием давления мясного сырья по площади кольцевой измельчительной решетки обеспечивается при условии равенства давлений на центральной и наружной периферийных поверхностях, исходя из чего можно получить соответствующее этому условию соотношение:

о = (d_о/4) - н_м f _р/2[1- н_м(1- f)]

В реальных условиях технологии изготовления элементов экструдера или волчка и точности литейного производства, величина зазора о существенно (в полтора-два раза) превышает полученное значение, поэтому давление мясного сырья на внешнюю периферийную часть кольцевой решетки, в общем случае, в соответствии с выражением (3), в полтора-два и более раза меньше, чем на центральную область (Р_ш <Р_ц) [6, 8].

Определив краевые значения кольцевых давлений Р_ц и Р_ш на выходную измельчительную решетку, можем записать соответствующее параболическое аппроксимирующее уравнение распределения этой нагрузки под действием давления мясного сырья по радиусу решетки «r» (в форме уравнения для параболоида вращения). Аксонометрическая схема воздействия на перфорированную выходную измельчительную решетку нагрузкой мясного сырья, параболически распределенной по радиусу, приведена на рисунке 6.

Рисунок 6 - Аксонометрическая схема нагружения кольцевой измельчительной решетки экструдера нагрузкой давления мясного сырья, параболически распределенной по радиусу

1 - уравнение нагрузки в форме параболоида вращения на решетку волчка; 2 - отверстия диаметром d₀, перфорирующие решетку; 3 - выходная измельчительная решетка; 4 - посадочное (установочное) отверстие диаметром d; R - радиус решетки; h - толщина решетки; r-текущее значение радиуса решетки



Уравнение параболически распределенной нагрузки мясного сырья по радиусу выходной измельчительной решетки в общем случае записывается в виде:

q(r) = a₁r² + a₂r + a₃.

Аналитическое выражение для определения неизвестных коэффициентов a₁, a₂, a₃ этой внешней нагрузки q(r) можно найти из граничных условий:

q(0) = Р_ц; q(R) = Р_ш; q(-R) = Р_ш.

Элементарные вычисления дают:

a₃ = Р_ц; a₂ = 0; a₁ = - .

Таким образом, уравнение параболически распределенной нагрузки приобретает вид:

q(r) = Р_ц - r².

Для сокращения записей введем новые обозначения:

= kr², (4)

Где:

q_c = Р_ц,

k = .

После нахождения аналитической зависимости величины внешней нагрузки под действием давления мясного сырья от радиуса в форме уравнения второй степени (4), представляется возможным решение задачи определения прогиба кольцевой перфорированной решетки под ее воздействием.

3. Допущения, принятые при математическом моделировании процесса изгибной деформации выходной измельчительной решетки под действием давления мясного сырья

Выходная измельчительная решетка экструдера представляет собой кольцевую перфорированную пластинку диаметром D=2R и толщиной _р. Расчет такой пластинки будем осуществлять в соответствии с теорией, основанной на трех гипотезах, предложенных Кирхгофом для тонкой пластинки [9-11], так как ее геометрические и деформационные параметры удовлетворяют требуемым для этого условиям:

, а также: w.

Здесь:

W - величина прогиба пластинки, м;

- максимальное значение величины прогиба пластинки, м;

R = D/2 - максимальное значение радиуса кольцевой пластинки, м;

r - текущее значение радиуса кольцевой пластинки, м.

Следует учесть, что круглая перфорированная пластинка считается кольцевой при условии:

[(R - b)/R]1,

где: b = d/2 - радиус центрального отверстия пластинки, м.

Ориентировочно, для реальных конструкций экструдеров характерны следующие пропорции R=0,03 m, b=0,004 m, (m-коэффициент масштаба), поэтому [(R - b)/R] = 0,8671. Так как исходное условие не выполняется, то в рассматриваемом случае круглую перфорированную пластинку можно считать перфорированной сплошной, что существенно упрощает решение задачи определения ее прогиба. При этом влияние перфорирующих отверстий диаметром d0 на прогибы пластинки под действием давления мясного сырья учитывается при вычислении значения ее цилиндрической жесткости. нож решетка шнековый измельчитель мясной

4. Построение уравнения изогнутой срединной поверхности сплошной круглой перфорированной пластинки под действием нагрузки, параболически распределенной по радиусу, в условиях жесткой заделки во внутренней кольцевой части центрального отверстия

Поставленную задачу будем решать методом прямого интегрирования известного неоднородного дифференциального уравнения третьего порядка (5) для прогиба пластинки, имеющего следующий общий вид [12, 13]

,(5)(5)

где Q - перерезывающая сила, приходящаяся на единицу длины цилиндрического сечения радиуса «r», Н/м;

D_п - цилиндрическая жесткость сплошной пластинки (Н•м), определяемая известным соотношением (6)

(6)(6)

При количественной оценке полученных математических моделей изгиба пластинки под действием давления мясного сырья будем пользоваться уточненным значением ее цилиндрической жесткости (7), учитывающим влияние на величину выражения (6) перфорированных отверстий

, (7)

где n_r - количество отверстий в сечении перфорированной круглой кольцевой пластины (решетки);

d_о - диаметр перфорирующих отверстий пластинки, м;

E - модуль продольной упругости материала пластинки, Па;

н - коэффициент Пуассона материала пластинки (решетки);

_р - толщина пластинки (_р h), м.

Для пластины с внешней распределенной по площади нагрузкой q(r) можем получить значение Q(r) из уравнения равновесия

. (7)

Таким образом, с учетом осе-симметричности внешней нагрузки q(r) и соотношений (5) и (6) или (7), дифференциальное уравнение изогнутой срединной поверхности сплошной круглой пластинки удобнее всего для интегрирования записать в виде

(8)

Аналитическое выражение для внешней нагрузки от давления мясного сырья q(r) на пластинку можно представить в виде

.

Вводя новые обозначения для удобства записей, получим

(9)(9)

где ,

.

С учетом соотношения (9), уравнение (8) принимает вид

.

После интегрирования правой части, получаем

r. (10)

Разделив обе части соотношения (10) на r, и интегрируя полученное уравнение первый раз, запишем

(11)

Умножив обе части соотношения (11) на r, и интегрируя его второй раз, получим

(12)

Разделив обе части на r, и интегрируя соотношение (12) третий раз, запишем выражение для W в виде

(13)

Из физических условий ограниченности прогибов W очевидно, что С₂ = 0. Тогда уравнение (13) примет вид

(14)

Из граничного условия равенства нулю прогиба пластинки в ее центре следует, что С₃ = 0. Тогда соотношение (14) упростится

. (15)

Неопределенный коэффициент С₁ в уравнении (15) определим из граничного условия равенства нулю внутреннего изгибающего момента по внешнему окружному (тангенциальному) сечению пластинки: M_r(R) = 0.

Учитывая зависимость M_r от r, в соответствии с работами [10-13], запишем

(16)

где н - коэффициент Пуассона материала пластинки.

При и , из соотношения (16) следует

(17)

Дифференцируя соотношение (15) дважды, получаем

(18)

(19)



Подставляя выражения (18) и (19) в уравнение (17), запишем

. (20)

Решая полученное уравнение (20) относительно С₁, при r = R, получаем

(21)

Подставляя полученное выражение (21) в уравнение (15), получаем уравнение изогнутой срединной поверхности сплошной круглой перфорированной пластинки под действием нагрузки мясного сырья, параболически распределенной по радиусу, в условиях жесткой заделки ее центральной части

(22)

В этом случае максимальное значение прогиба перфорированной решетки по соотношению (22) достигает при и составляет величину

(23)

Приведя подобные члены, упростим полученное выражение (23) до вида

. (24)

После подстановки в уравнение (24) соотношения (6), а также значений для q_c и k из экспликации к соотношению (4), получим

. (25)

Следующим этапом решения поставленной задачи является определение прогиба лезвия ножа под действием нагрузки мясного сырья, параболически распределенной по его длине.

5. Решение дифференциального уравнения изгиба лезвия ножа под действием нагрузки мясного сырья, параболически распределенной по его длине, в условиях консольной жесткой заделки в центральной части решетки

Проблема минимизации контактных напряжений элементов пары нож-решетка, и снижения таким образом скорости их износа, а также качества мясного фарша, вызывает необходимость обеспечения равенства прогибов лезвий ножа и перфорированной решетки. Таким образом, актуальной задачей настоящего раздела статьи является корректная запись и решение дифференциального уравнения изгиба лезвия ножа как консольной, жестко заделанной одной короткой стороной прямоугольной пластины, находящейся под действием нагружения давлением мясного сырья, параболически распределенного по ее длине.

Расчетная схема сформулированной задачи представлена на рисунке 7.

Рисунок 7 - Схема нагружения пластинчатого ножа нагрузкой, параболически распределенной по его длине «r»;

1 - лезвие ножа; Мз - момент в заделке; J_х - осевой момент инерции прямоугольного сечения

На рисунке 8 (схема 1) приведена эквивалентная плоская расчетная картина нагружения ножа, учитывающая постоянство распределенной нагрузки мясного сырья по ширине лезвия.

Рисунок 8 - Плоская эквивалентная схема нагружения пластинчатого ножа нагрузкой мясного сырья, параболически распределенной по его длине «r»; Р1 - эквивалентная плоская схема общего нагружения ножа; Р2 - схема суперпозиции постоянной (І) и параболической (ІІ) нагрузок;1 - лезвие ножа

В связи с трудоемкостью аналитической записи разрешающего уравнения изгиба ножа при параболической нагрузке давлением мясного сырья, заданной в обобщенном виде (4), решение задачи прогиба лезвия ножа целесообразно искать методом суперпозиции [14, 15]. На рисунке 8 (схема 2) приведена картина, поясняющая принцип суперпозиции действующих на нож чисто параболической (ІІ) и равномерной (І) нагрузок.

Геометрические координаты расположения центров давления равнодействующих эквивалентных сил T и N и аналитические характеристики этих силовых факторов иллюстрируются рисунком 9.

Таким образом, задачу определения деформации прогиба W = W_н лезвия ножа под действием давления мясного сырья будем решать методом суперпозиции, считая его нагруженным постоянной нагрузкой Q(r) = P_шb_л = const, от действия давления P_ш и чисто параболически распределенной нагрузкой Q_кв(r), уменьшающейся от значения (Р_ц - Р_ш)b_л при r = 0, до нуля при r = R, как это изображено на схемах (І) и (ІІ) рисунка 9.

Рисунок 9 - Схемы суперпозиционного нагружения пластинчатого ножа постоянной нагрузкой, и нагрузкой, строго параболически распределенной по его длине «r»

Для лезвия ножа постоянной толщины и ширины запишем разрешающее уравнение изгиба в известной [13, 14] форме

. (26)

М - значение изгибающего момента в сечении лезвия с координатой «r», Нм;

J = J_х - осевой момент инерции прямоугольного сечения лезвия ножа, м⁴.

J = , (27)

b_л, д_н - ширина и толщина лезвия ножа, м;

E_н - модуль продольной упругости материала лезвия ножа, Па.

5.1 Решение дифференциального уравнения изгиба лезвия ножа под действием нагрузки, равномерно распределенной по его длине

В случае равномерно распределенной нагрузки мясного сырья по длине лезвия ножа, значение изгибающего момента в сечении лезвия с координатой «r», определяется в соответствии с рисунком 9, схема (І) соотношением

М = P_шb_л(R-r)²/2. (28)

В таком случае решение определяющего дифференциального уравнения (26) изгиба лезвия ножа под действием давления мясного сырья может быть записано в следующем алгебраическом виде [14]

, (29)

Здесь С и В являются постоянными интегрирования, определяемыми из граничных условий:

W = 0; при r=0. (30)

В результате интегрирования уравнения (29), при граничных условиях (30), получаем величину прогиба лезвия ножа от постоянной составляющей общей нагрузки мясного сырья в зависимости от координаты «r» рассматриваемого сечения

. (31)

.

.



В таком случае максимальное значение прогиба определяется соотношением (31) при r = R

. (32)

5.2 Решение дифференциального уравнения изгиба лезвия ножа под действием под действием давления мясного сырья, распределенного по его длине по закону параболы

В случае параболически распределенной нагрузки мясного сырья по длине лезвия ножа, значение изгибающего момента в сечении лезвия с координатой «r», определяется в соответствии с рисунком 9, схема (ІІ) соотношением

(33)

Величину N(r) получаем интегрированием значения Q_кв(r) по радиусу «r» [16]

(34)

Нетрудно показать, что алгебраическое значение Q(r) определяется соотношением

. (35)

После подстановки (35) в (34) и интегрирования, получим выражение

. (36)

С учетом полученного значения (36) равнодействующей силы N(r), соотношение (33) для изгибающего момента в сечении лезвия ножа с координатой «r», примет вид

. (37)

В сечении жесткой заделки ножа (r = 0), в соответствии с (37), получаем

М_з = М(0) = .

В результате интегрирования уравнения (29), при граничных условиях (30), и значении изгибающего момента в форме (37), получим величину прогиба лезвия ножа от чисто параболической составляющей общей нагрузки мясного сырья в зависимости от координаты «r» рассматриваемого сечения, как это иллюстрируется рисунком 9, схема (ІІ). Для этого введем обозначение

. (38)

Тогда запишем уравнение (37) в виде

. (39)

При r = 0 прогиб и угол поворота сечения ножа равны нулю

(40)

(41)

Из граничного условия (41) получаем

,

значит: С = 0

Из граничного условия (40) следует

После интегрирования получим

значит: B = 0.

Таким образом, окончательно можем записать

(42)

С учетом (38), соотношение (42) примет вид

(43)

Суперпозиция деформаций от постоянной (W_н1) и чисто параболической (W_н2) нагрузок мясного сырья дает суммарный максимальный прогиб лезвия ножа

В таком случае максимальное значение прогиба для r=R, запишется

(44)

Суперпозиция деформаций от постоянной (W_н1) и чисто параболической (W_н2) нагрузок дает суммарный прогиб лезвия ножа в функции радиуса r

Для максимальных значений деформации от постоянной (W_н1), и чисто параболической (W_н2) нагрузок мясного сырья, при r=R, получаем суммарный максимальный прогиб лезвия ножа

.

Приводя подобные члены, получим

(45)

С учетом соотношения (27) для момента инерции поперечного сечения ножа, окончательно запишем

(46)

6. Формирование критериального соотношения для оптимизации толщины лезвия ножа, при параболическом характере нагружения давлением мясного сырья, в зависимости от толщины выходной измельчительной решетки, а также геометрических и упругих характеристик элементов волчка

Условие оптимальности соотношения толщины ножа и решетки может быть сформулировано в виде уравнения совместности их деформаций под действием давления мясного сырья с добавлением к перемещению лезвия ножа величины , обеспечивающей контактное напряжение, равное напряжению смятия мясного сырья, что исключает тем самым возникновение концентраторов напряжений в паре нож-решетка, и гарантирует наименьшую скорость износа режущих элементов и непроникновение мясных волокон в область стыка плоскостей лезвий ножа и решетки.

При этом величина определяется законом Гука

,

Где - напряжение прочности (смятия) измельчаемого материала.

Критериальное уравнение для соотношения толщины ножа и решетки запишется в таком случае в виде

Оценим порядок добавленной компонентывлияния упругого основания (решетки) на деформацию смятия измельчаемого мясного материала. Для этого найдем соотношение величин и при

/=/ или

/=

Примем ориентировочно следующие величины параметров этого соотношения [17]

Тогда получим

/0,0036.

Таким образом, учитывая малость добавленной компоненты (менее 0,4%), можем записать критериальное уравнение для соотношения толщины ножа и решетки в виде равенства правых частей уравнений (25) и (46),

Или

После ряда алгебраический преобразований, считая Е=Е_н, получим

(47)

Учитывая, что н = 0,25-0,3 соотношение (47) можно упростить до вида

(48)

Усредняя диапазон вариации н, и учитывая реальное соотношение для мясного продукта Р_ш=0,75Р_ц, из соотношения (48) получим

д_н = 1,36 д_р.

Таким образом, для устранения концентрации контактных напряжений в стыке пары нож-решетка, и исключения периода притирки ножа, а также для исключения проникновения и смятия мясных волокон в зазоре стыка нож-решетка, толщина лезвия ножа быть в 1,36 раза больше толщины решетки. В этом случае не происходит избыточного выдавливания мясной жидкой фракции из волокон и обеспечивается повышение качества вырабатываемого фарша. Как показано в работе [18], в таком случае процесс износа ножа и повышения температуры мясного сырья, как фактора качества, при установившемся режиме протекает в два раза медленнее, чем при традиционной схеме закрепления кольцевой измельчительной решетки. При этом период перезаточки ножа может быть повышен с 90 часов до 180 часов [17], а срок эксплуатации ножей до предельного состояния существенно увеличен.



Выводы

В работе аппроксимирован закон изменения давления пищевого материала вдоль радиуса выходной измельчительной решетки параболической функцией;

осуществлено математическое моделирование процесса изгиба выходной измельчительной решетки волчка как круглой перфорированной пластинки, находящейся под действием нагрузки от давления мясного сырья, параболически убывающей по радиусу, для перспективной схемы закрепления и соответствующих краевых условий;

аналитически определен прогиб решетки и лезвия ножа под действием переменной нагрузки мясного сырья параболически убывающей по радиусу;

сформулировано условие исключения концентрации внутренних усилий при контактном взаимодействии лезвия ножа и решетки, которое обеспечивает снижение скорости износа контактирующих элементов и возрастания температуры в зоне резания;

установлена аналитическая зависимость толщины лезвия ножа от толщины выходной измельчительной решетки, в зависимости от их физико-механичесих характеристик и геометрических параметров элементов измельчителя, а также от физико-механичесих и реологических характеристик мясного сырья;

установленная аналитическая зависимость толщины лезвия ножа от толщины выходной измельчительной решетки обеспечивает повышение качества фарша за счет недопущения возникновения зазора в стыке нож-решетка, проникновения в зазор мясных волокон, исключения избыточного смятия мясного сырья и выдавливания жидкой фракции;

показано, что для пары нож-решетка, в связи с учетом параболического характера изменяющейся нагрузки от действия давления мясного сырья, период перезаточки увеличивается с 90 часов до 180 часов, а время наработки до предельного состояния ножа удваивается.



Литература

1. Полуян, В.А. Повышение ресурса ножей мясорубок МП-180 / А.Г. Полуян, З.В. Лысенко // Сб. научн. трудов «Совершенствование процессов и технических средств в АПК». - Зерноград: РИО ФГОУ ВПОАЧГАА, 2002. - Вып. 4. - с. 74-75.

2. Полуян, В.А. Повышение долговечности ножей мясоизмельчительных машин: автореф. дис. … канд. техн. наук: 05.20.03. / В.А. Полуян; - Зерноград, 2006. - 16 с.

3. Пеленко В.В., Зуев Н.А., Ольшевский Р.Г., Иваненко В.П., Крысин А.Г. Аналитическая и экспериментальная оценка влияния момента трения кинематической пары нож - решетка на производительность измельчителя. Научный журнал НИУ ИТМО. Серия: Процессы и аппараты пищевых производств. 2014. №4. - с. 169-181.

4. Белихвостов, Г.И. Совершенствование конструкций режущего механизма машин для измельчения мяса: автореф. дис. … канд. техн. наук: 05.02.14 / Г.И. Белихвостов; - Могилев, 1996. - 17 с.

5. Pelenko V.V., Verboloz E.I., Baranenko A.V. The theoretical analysis and optimization of the cutting knife-grille pair parameters in the screws // Agronomy Research - 2015, Vol. 13, No. 3, pp. 709-722.

6. В.В. Пеленко, В.В.Нечитайлов, А.П. Верболоз, Д.А. Куценко, Г.В. Баринов. Зависимость оптимальной толщины ножа от геометрических и упругих характеристик конструктивных элементов измельчителя // Научный журнал НИУ ИТМО. Серия: Процессы и аппараты пищевых производств. 2021. №2(48).

7. Пеленко В.В., Малявко Д.П., Усманов И.И., Екимов В.Г., Крысин А.Г. Оптимизация процесса измельчения пищевых материалов в волчках // Научный журнал НИУ ИТМО. Серия: Процессы и аппараты пищевых производств. 2016. №2. - с. 32-39.

8. Андрианов А.С. Повышение надежности измельчителей мяса (волчков) на основе анализа технологических и эксплуатационных воздействий. Автореф. дисс. на соиск. ученой степени кандидата технических наук - М.: Московский технологический институт мясной и молочной промышленности. 1982, 18 с.

9. Дожжел Л.Г. Балки, пластины и оболочки. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1982. - 568 с.

10. Вайнберг Д.В., Вайнберг Е.Д. Расчет пластин. Киев.: Будивельник, 1970. - 436 с.

11. Саврук М.П. Плоские задачи теории упругости для многосвязной области с отверстиями и трещинами. // Физ.-мех. механика материалов, 1980, т.16, с. 51 - 56.

12. Тимошенко И.А. Сопротивление материалов. М.: Наука, 1965. 480 с.

13. Биргер И.А., Мавлютов Р.Р. Сопротивление материалов: Учебное пособие - М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1986. - 560 с.

14.Сидоров В.Н. Лекции по сопротивлению материалов и теории упругости / В.Н. Сидоров. - М., 2002. - 352 с.

15. Снитко Н.К. Сопротивление материалов: Учеб. пособие / Н.К. Снитко; М-во высш. и сред. спец. образования РСФСР. - Ленинград: Изд-во Ленингр. ун-та, 1975. - 368 с.

16. Беляев Н.М. Сопротивление материалов. М-Л.: ГИТ-ТЛ, 1951. - 856 с.

17. Полещук О.Б. Оптимизация работы мясоизмельчительных шнековых машин на основе изучения закономерностей переноса влаги в мясном фарше: автореф. дис. канд. техн. наук. Ленинград, 1988. 16 с.

18. Проников А.С. Надежность машин. М.: Машиностроение, 1978г.- 592 с.



References

1. Poluyan. V.A. Povysheniye resursa nozhey myasorubok MP-180 / A.G. Poluyan. Z.V. Lysenko // Sb. nauchn. trudov «Sovershenstvovaniye protsessov i tekhnicheskikh sredstv v APK». - Zernograd: RIO FGOU VPOAChGAA. 2002. - Vyp. 4. - s. 74-75.

2. Poluyan. V.A. Povysheniye dolgovechnosti nozhey myasoizmelchitelnykh mashin: avtoref. dis. … kand. tekhn. nauk: 05.20.03. / V.A. Poluyan; - Zernograd. 2006. - 16 s.

3. Pelenko V.V. Zuyev N.A. Olshevskiy R.G. Ivanenko V.P. Krysin A.G. Analiticheskaya i eksperimentalnaya otsenka vliyaniya momenta treniya kinematicheskoy pary nozh - reshetka na proizvoditelnost izmelchitelya. Nauchnyy zhurnal NIU ITMO. Seriya: Protsessy i apparaty pishchevykh proizvodstv. 2014. №4. - s. 169-181.

4. Belikhvostov. G.I. Sovershenstvovaniye konstruktsiy rezhushchego mekhanizma mashin dlya izmelcheniya myasa: avtoref. dis. … kand. tekhn. nauk: 05.02.14 / G.I. Belikhvostov; - Mogilev. 1996. - 17 s.

5. Pelenko V.V. Verboloz E.I. Baranenko A.V. The theoretical analysis and optimization of the cutting knife-grille pair parameters in the screws // Agronomy Research - 2015. Vol. 13. No. 3. pp. 709-722.

6. V.V. Pelenko. V.V.Nechitaylov. A.P. Verboloz. D.A. Kutsenko. G.V. Barinov. Zavisimost optimalnoy tolshchiny nozha ot geometricheskikh i uprugikh kharakteristik konstruktivnykh elementov izmelchitelya // Nauchnyy zhurnal NIU ITMO. Seriya: Protsessy i apparaty pishchevykh proizvodstv. 2021. №2(48). - s.

7. Pelenko V.V. Malyavko D.P. Usmanov I.I. Ekimov V.G. Krysin A.G. Optimizatsiya protsessa izmelcheniya pishchevykh materialov v volchkakh // Nauchnyy zhurnal NIU ITMO. Seriya: Protsessy i apparaty pishchevykh proizvodstv. 2016. №2. - s. 32-39.

8. Andrianov A.S. Povysheniye nadezhnosti izmelchiteley myasa (volchkov) na osnove analiza tekhnologicheskikh i ekspluatatsionnykh vozdeystviy. Avtoref. diss. na soisk. uchenoy stepeni kandidata tekhnicheskikh nauk - M.: Moskovskiy tekhnologicheskiy institut myasnoy i molochnoy promyshlennosti. 1982. 18 s.

9. Dozhzhel L.G. Balki. plastiny i obolochki. M.: Nauka. Gl. red. fiz.-mat. lit.. 1982. - 568 s.

10. Vaynberg D.V. Vaynberg E.D. Raschet plastin. Kiyev.: Budivelnik». 1970. - 436 s.

11. Savruk M.P. Ploskiye zadachi teorii uprugosti dlya mnogosvyaznoy oblasti s otverstiyami i treshchinami. // Fiz.-mekh. mekhanika materialov. 1980. t.16. s. 51-56.

12. Timoshenko I.A. Soprotivleniye materialov. M.: Nauka. 1965. 480 s.

13. Birger I.A. Mavlyutov R.R. Soprotivleniye materialov: Uchebnoye posobiye.- M.: Nauka. Gl. red. fiz.-mat. lit. 1986. - 560 s.

14. Sidorov V.N. Lektsii po soprotivleniyu materialov i teorii uprugosti / V.N. Sidorov. - M. 2002. - 352 s.

15. Snitko N.K. Soprotivleniye materialov: Ucheb. posobiye / N.K. Snitko; M-vo vyssh. i sred. spets. obrazovaniya RSFSR. - Leningrad: Izd-vo Leningr. un-ta. 1975. - 368 s.

16. Belyayev N.M. Soprotivleniye materialov. M-L.: GIT-TL. 1951. - 856 s.

17. Poleshchuk O.B. Optimizatsiya raboty myasoizmelchitelnykh shnekovykh mashin na osnove izucheniya zakonomernostey perenosa vlagi v myasnom farshe: avtoref. dis.... kand. tekhn. nauk. Leningrad. 1988. 16 s.

18. Pronikov A.S. Nadezhnost mashin. M.: Mashinostroyeniye. 1978g.- 592 s.

Размещено на allbest.ru