Расчет конической части тонкостенной оболочки вращения по безмоментной теории

Размещено на http://allbest.ru

Академия Строительства и Архитектуры Самарского Государственного Технического университета

Факультет «Промышленное и гражданское строительство»

Расчет конической части тонкостенной оболочки вращения по безмоментной теории

Квартальнов С.В., студент 6-го курса

Россия, г. Самара

Аннотация

В современном мире тонкостенные оболочки вращения пользуются популярностью и имеют широкий спектр применения, поскольку оболочечные конструкции во многих случаях являются оптимальными, так как на их изготовление затрачивается минимум материалов. В данной статье дано понятие тонкостенной оболочки вращения, рассмотрен элемент оболочки и представлен расчет конической части тонкостенной оболочки вращения по безмоментной теории без учета концентрации напряжений, возникающих на ее конце.

Ключевые слова: Тонкостенный сосуд, срединная поверхность, тело вращения, безмоментная теория, уравнение Лапласа.

Annotation

In the modern world, thin-walled shells of revolution are popular and have a wide range of applications, since shell structures are in many cases optimal, since their production requires a minimum of materials. This article gives the concept of a thin-walled shell of revolution, considers a shell element and presents the calculation of the conical part of a thin-walled shell of revolution according to the momentless theory without taking into account the concentration of stresses arising at its end.

Key words: Thin-walled vessel, middle surface, body of revolution, momentless theory, Laplace equation.

Стенки тонкостенных сосудов, испытывающие внутреннее давление воды, пара или газа, находятся в состоянии двухосного растяжения. К таким сосудам относятся паровые котлы, резервуары водонапорных башен, газгольдеры, нефтебаки, газовые и воздушные баллоны и т.п.

Одной из особенностей такого рода конструкций является малая толщина стенки по сравнению с общими габаритами сооружения, что позволяет объединить их термином - тонкостенные сосуды. Поверхность, которая делит толщину стенок сосуда пополам, называется срединной поверхностью [2].

Характерной чертой тонкостенных сосудов является то, что по форме они представляют собой тела вращения, т.е. их срединная поверхность может быть образована вращением некоторой кривой вокруг оси п - П2 (оси симметрии).

Задача о расчете оболочек вращения наиболее просто решается в том случае, когда возможно принять, что напряжения, возникающие в оболочке, постоянны по толщине, и, следовательно, изгиб оболочки отсутствует. Теория оболочек, построенная на этом предположении, называется безмоментной теорией оболочек.

Рассмотрим подробнее элемент оболочки: из оболочки, изображенной на рисунке 1, выделим элемент ABCD двумя меридиональными плоскостями nn1n2 и nn3n2,, (т.е. плоскостями проходящими через ось симметрии оболочки), с углом dф между ними и двумя плоскостями, перпендикулярными оси симметрии оболочки ВС и АЭ.

Радиус кривизны tk элемента АВСЭ в плоскости, перпендикулярной меридиану, обозначим через R1,, а радиус тk в меридиональной плоскости обозначим через R2. Нормальные напряжения, действующие по боковым граням АВ и CD, соприкасающимся с меридиональными плоскостями, называются окружными напряжениями уs. Нормальные напряжения, действующие по боковым граням ВС и АD, называются меридиональными напряжениями уs. Кроме напряжений уs и уt на элемент оболочки действует нагрузка в виде давления д, перпендикулярного поверхности ABCD [1].

Основным уравнением безмоментной теории оболочек является уравнение Лапласа, которое имеет вид:

где 8 - толщина оболочки.

Причем для конической оболочки радиус кривизны R2 = ?, а радиус R1 определяется согласно построению чертежа.

Определить из одного уравнения две неизвестные величины уs и уt невозможно, поэтому чтобы определить напряжения в стенке оболочки необходимо совместное решение уравнения Лапласа и уравнения равновесия части оболочки, отсеченной конической поверхностью, перпендикулярной меридиану [1].

Задача: рассчитать коническую часть тонкостенной оболочки вращения заполненной жидкостью с толщиной стенки 5 = 0,02 м (рисунок 2). Давление внутри оболочки Р = 0,2 МПа, удельный вес жидкости у = 1,5Л0⁴ н/м³, высота конструкции - 10 м, высота конической части - 0.25 м, конус под углом 90°.

Рисунок 2. Исходная задача

Решение: Давление жидкости в различных сечениях оболочки будет различным, в отличие от давления газа, поэтому для решения задачи рассмотрим три сечения.

Проводим через точку А первое сечение.

R₁ = 0; R₂ = 0; a_s = 0; a_t = 0.

Второе сечение проводим на расстоянии х = 0,15 м.

Высота столба жидкости над сечением h = 10 - 0,15 = 9,85 м.

Давление q = P + hг = 0.2-10⁶ + 9.85-1.5-10⁴ = 347750 Н/м2

В соответствии с уравнением равновесия нижней отсеченной части оболочки имеем

уs = 1.85 МПа.

Исходя из рисунка

Радиус кривизны R2 для конуса равен ?, следовательно уравнение Лапласа примет вид

Рисунок 3. Вспомогательное построение.

Третье сечение проведем на расстоянии х = 0,25 м.

Высота столба жидкости над сечением

h = 10 - 0,25 = 9,75 м.

Давление

q = P + hy = 0.2-106 + 9.75-1.5-104 = 346250 Н/м2.

Решая уравнение равновесия имеем:

а = 3.07 МПа.

Исходя из рисунка

Радиус кривизны R2 для конуса равен

Полученная эпюра конической части тонкостенной оболочки вращения:

тонкостенный оболочка лаплас напряжение

Таким образом, с помощью безмоментной теории можно рассчитать напряжения, возникающие в различных тонкостенных осесимметричных оболочках [3]. Такие оболочки имеют широкий спектр применения: в промышленном строительстве, машиностроении, кораблестроении, авиастроении, железнодорожной промышленности и атомной энергетике.

Использованные источники

1. Расчет на прочность тонкостенных оболочек вращения и толстостенных цилиндров: Метод. пособ. / Сост.: В. Ф. Першин, Ю. Т. Селиванов. Тамбов: Из-во Тамб. Гос. техн. ун-та, 2002.

2. Тимошенко С.П. Пластинки и оболочки / Тимошенко С.П., Войновский - Кригер С. - М.: Наука, 1966.

3. Доннелл, Л.Г. Балки, Пластины и оболочки / Пер. с англ. Л.Г. Корнейчука; Под ред. Э.И. Григолюка. - М.: Наука, 1982.

Размещено на Allbest.ru