Закон распределения вероятности для среднего арифметического

Размещено на http://www.allbest.ru/

Министерство образования и науки РФ

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«Тульский государственный университет»

Кафедра метрологии, стандартизации и сертификации

Контрольная работа

По дисциплине «Метрология, стандартизация и сертификация»

Выполнил

И.Э. Аверьянова, к.т.н, доц.,

Тула 2020

Дано 100 независимых числовых значений результата измерений. Данные значения расположим в вариационный ряд по возрастанию, начиная с минимального значения и укажем, сколько раз m оно повторяется (Таблица 1)

Таблица 1.

Решение:

1. Используя полученные данные, найдем значение среднего арифметического и оценки среднего квадратического отклонения Su .

Среднее арифметическое

= = 37,802 (1.1)

Среднее квадратическое отклонение

Su = i-)2 = 0,187 (1.2)

2. С помощью правила «трех сигм» проверим наличие грубых промахов:

= + 3д = 37,802 + 3*0,187 =38,363 (1.3)

= - 3д = 37,802 - 3*0,187 = 37,241 (1.4)

Ни один из результатов не выходит за границы интервала, , следовательно, с вероятностью 0,9973 принимается гипотеза об отсутствии грубых промахов.

3. Построение гистограммы и выдвижение гипотезы о виде закона распределения вероятности.

Для этого разбиваем вариационный ряд значений напряжения (таблица 1) на 9 интервалов.

Рассчитываем значение интервалов по формуле (1.5).

,

где k - число интервалов .

Примем k=9, тогда = ~ 0,085.

Выбираем начало первого интервала равным 37,438 < Umin

Конец последнего (9 интервала) в точке 38,212 > Umax

Затем для каждого интервала подсчитывается количество результатов , попавших в данный интервал и определяется высоту каждого столбца гистограммы:

(1.6)

Так в 8 и 9 интервал попало меньше пяти измерений, то объединяем его с седьмым интервалом. Таким образом общее число интервалов становится равным 7.

Затем строится гистограмма (рис.1). При построении гистограммы выбираем масштаб таким образом, чтобы высота относилась к основанию как 5 к 8.

Рисунок 1. Гистограмма

Из вида гистограммы на рис 1 можно сделать предположение о том, что вероятность результата измерения подчиняется нормальному закону.

Проверим правдивость этой гипотезы.

4. Проверка нормальности закона распределения по критерию Пирсона.

Если выдвинута гипотеза о нормальности распределения, то для расчета вероятностей используется функция Лапласа по формуле (1.7)

(1.7)

где значения U1 и U2 соответствуют началу и концу интервала соответственно. При этом учитываем, что конец предыдущего интервала является началом следующего интервала. Для каждого из этих значений рассчитаем относительный доверительный интервал t по формуле (1.8)

(1.8)

Затем из таблиц функции Лапласа найдем соответственные значения Ф(t1) и Ф (t2). Данные заносим в таблицу 2.

Находим доверительную вероятность Pi для каждого интервала по формуле (1.9)

(1.9)

Затем рассчитаем значение и найдем суммарное значение

=6,88.

Данные расчета занесем в таблицу 2.

Определим табличное (критическое) значение , задавшись доверительной вероятностно 0,92 и вычислив по формуле r = k - 3 число степеней свободы:

r = k - 3= 7-3 = 4

= 7,7794. .

Таким образом, с вероятностью 0,92 гипотеза о нормальности распределения вероятности результата измерения напряжения принимается.

5. В тех же координатах, что и гистограмма, строим теоретическую кривую плотности вероятности. Для этого рассчитываем значения плотности вероятности для середины каждого интервала

(1.10)

Результат расчета заносим в таблицу 2. Эти значения откладываем как ординаты из середин соответствующих интервалов; полученные точки соединяем плавной кривой, симметричной относительно математического ожидания (среднего арифметического значения) (рис.1).

6. Представление результата в виде доверительного интервала.

Для этого определим стандартное отклонение среднего арифметического по формуле (1.11):

(1.11)

S u = 0,187 / v 100 = 0,0187.

Закон распределения вероятности для среднего арифметического считаем нормальным (что следует из нормальности распределения самой измеряемой величины), тогда доверительный интервал определяем по выражению

при доверительной вероятности 0,92. Этому значению соответствует аргумент функции Лаплапса t = 1,75.

37,802 - 1,75*0,0187 ? U ? 37,802 + 1,75*0,0187

или с вероятностью Р=0,92.

37,7692 В ? U ? 37,8348 В.

Учитывая то обстоятельство, что среднее квадратическое отклонение может быть оценено экспериментально с точностью до двух значащих цифр, округлим границы доверительного интервала до тысячных долей вольта. В итоге получим: арифметический вероятность доверительный интервал

37,769 В ?U? 37,835 В

Так как закон распределения вероятности для среднего арифметического считается неизвестным, то относительный доверительный интервал рассчитываем в соответствии с неравенством Чебышева:

(1.12)

0,92=1-1/t2,

Относительная ширина доверительного интервала t выбирается по-разному в зависимости от числа измерений n. Если измерений мало, т.е. n ? 25...30, то параметр t выбирается по таблицам распределения Стьюдента.

t = 2,1318

37,802 - 2,1318*0,0187 ? U ? 37,802 + 2,1318*0,0187

или с вероятностью Р=0,92.

37,7621 В ? U ? 37,8419 В

Список литературы

1. Метрология, стандартизация и сертификация: учебное пособие/В.М.Бастраков.- Йошкар-Ола: Марийский государственный технический университет, 2007.-300с.

2. Димов Ю.В. Метрология, стандартизация и сертификация: Учебник для Вузов-2-е изд.-СПб.:Питер, 2004.-432 с.; ил.

3. Крылова Г.Д. Основы стандартизации, сертификации, метрологии: Учебник для Вузов.-М.: Аудит, ЮНИТИ, 2001.-711

Размещено на Allbest.ru