Принцип взаимности акустических полей для труб переменного сечения в газопроводах

Размещено на http://www.allbest.ru/

Принцип взаимности акустических полей для труб переменного сечения в газопроводах

А.А. Дыбрин

Ижевский государственный технический университет имени

М.Т. Калашникова, г. Ижевск, Россия, velyalin@mail.ru

При решении ряда задач большую помощь оказывает знание соотношений взаимности. Хотя они и не позволяют получить решение, но, что важнее, дают возможность свести ее к уже известным результатам.

Группа теорем взаимности является следствием самосопряженности дифференциальных уравнений и краевых условий. Существует стандартная методика их вывода. Для этого используется неоднородное уравнение движения, в правой части которого задают точечный источник.

Уравнение Вебстера для вынужденных колебаний.

Рис. 1. Движение среды в трубе переменного сечения

Запишем уравнение непрерывности. В объем трубы, заключенный между сечениями и , в единицу времени через сечения проходит масса среды, равная . В среде могут существовать источники объемной скорости с производительностью объемных единиц в единицу времени. Они создают в единицу времени массу, равную (рис. 1).

Таким образом, баланс массы в элементарном объеме будет . В линейном приближении это запишется как

. (1)

Это и есть уравнения непрерывности для трубы переменного сечения. Уравнение Эйлера запишется так же, как и всегда, в виде

. (2)

Из уравнения состояния между переменными значениями давления и плотности существует связь

, (3)

где - скорость распространения звука в среде [1]. Подставив (3) в (1), получим

. (4)

Продифференцировав (4) по , умножив (2) на и продифференцировав по времени, получим систему уравнений

(5)

Вычитая одно уравнение (5) из другого, получим уравнение Вебстера для вынужденных колебаний, которые возбуждаются источниками объемной скорости:

 (6)

В случае, если источник сосредоточен в т. (точечный источник), то . Здесь имеет разномерность скорости, т. е. , а величина - количество среды, которое вытекает через единицу поверхности в единицу времени. Величина есть объемная скорость источника. Тогда (6) можно записать в виде

(7)

Теорема взаимности для трубы переменного сечения.

Рассмотрим следующую задачу: в т. помещен источник с объемной скоростью . Он создает в трубе звуковое поле , которое определяется уравнением (7). Возьмем случай гармонических колебаний. Тогда и (7) можно переписать в виде

(8)

Здесь - волновое число в среде. Положим, что в т. расположен источник с объемной скоростью . Он создает в трубе звуковое давление , которое подчиняется уравнению

(9)

Умножим уравнение (8) на , а (9) - на и вычтем одно из другого. Тогда получим:

Проинтегрируем его по всей оси от до

(10)

Справа в этом выражении интегралы исчезают в силу свойств -функции

.

Проинтегрируем интегралы слева по частям:

(11)

так как интегралы сократятся.

Если на бесконечности нет источников, то при наличии хотя бы небольших потерь значения функций и в (11) при обращаются в нуль. Следовательно, правая часть в (10) равна нулю, откуда

, (12)

при

 (13)

Уравнения (12) и (13) дают математическую формулировку принципа взаимности для труб переменного сечения. Последняя из них говорит о том, что источник с объемной скоростью , помещенный в т. , создает в т. такое же звуковое давление, которое он создает в т. , будучи помещен в т. .

Коэффициенты прохождения по энергии через диффузор и конфузор.

Возьмем трубу переменного сечения, соединяющую две цилиндрические трубы с площадями поперечного сечения и (рис. 2). Поместим в т. источник с объемной скоростью . Амплитуда звукового давления, которую создает этот источник в трубе I, . Запишем ее в виде . Поток звуковой энергии в трубе I равен , где и - плотность и скорость распространения звука в среде [1, 2].

Рис. 2. Соединение труб с различным поперечным сечением

Источник создает в т. , расположенной в трубе II, звуковое давление . Поток звуковой энергии в трубе II равен . Коэффициент прохождения звука (звукопередачи) равен отношению

 (14)

Поместим теперь источник с объемной скоростью в т. . В трубе II он создает звуковое поле и поток звуковой энергии . В силу теоремы взаимности (13) он создает в т. звуковое давление, равное . Тогда поток энергии в трубе I равен . Коэффициент прохождения звука по энергии из трубы II в трубу I в этом случае

. (15)

Из сравнения (14) и (15) видно, что

. (16)

Таким образом, коэффициент прохождения звука по энергии из трубы меньшего сечения в трубу большого сечения (диффузор) равен коэффициенту прохождения звука в обратном направлении (конфузор).

Рис. 3. Двойное соединение труб переменного сечения

Этот вывод является следствием теоремы взаимности. Можно вывести еще одно полезное следствие, используя соотношения (16). Для этого рассмотрим следующую задачу: труба I с поперечным сечением соединена с двумя трубами, которые имеют площади поперечного сечения и , трубами переменного поперечного сечения (рис. 3), причем

акустический поле труба газопровод

. (17)

По трубе I бежит плоская волна. Каковы коэффициенты прохождения звука по энергии из трубы I в трубы II и III?

Для выяснения этого вопроса обратимся к уравнению Вебстера (6), записав его в виде

. (18)

Допустим, что мы изменим поперечные сечения всех труб в раз, не меняя закона изменения поперечного сечения . Тогда производная и отношение не изменятся. Другими словами, при увеличении или уменьшении поперечных сечений труб уравнение (18) не меняется. Следовательно, коэффициенты прохождения также не изменятся.

Допустим, что коэффициент прохождения по энергии из трубы I в трубу II равен . В силу (16) коэффициент прохождения из трубы II в трубу I . Увеличим сечение труб I и II в раз. Тогда сечение трубы II станет равным , а трубы I - , если принять во внимание (17). Мы приходим, таким образом, к системе труб I и III. Так как при изменении поперечных сечений их не изменяется, то и коэффициенты прохождения звука труб I и III тоже равны .

Таким образом, если по трубе I распространяется плоская волна, то доли ее энергии, которая пройдет в сужающуюся или расширяющуюся трубу, одинакова. С точки зрения акустики трубы II и III эквивалентны. Это второе полезное следствие из теоремы взаимности.

Литература

1. Исаакович М.А. Общая акустика. М.: Наука, 1973. - 346 с.

2. Скучик Е. Основы акустики, т.2. М.: Мир, 1976.- 122 с.

3. Блохинцев Д.И. Акустика неоднородной движущейся среды. М.: Наука, 1981.

4. Аксельрад Э.Л., Ильин В. П. Расчет трубопроводов. Л.: Машиностроение, 1972. - 240 с.

Размещено на Allbest.ru