Структурно-параметрична оптимізація шарнірних систем при динамічних обмеженнях

Размещено на http://www.allbest.ru/

Національний університет водного господарства та природокористування

Структурно-параметрична оптимізація шарнірних систем при динамічних обмеженнях

Поліщук М.П.

м. Рівне

Стосовно стержневих систем з шарнірними з'єднаннями вузлів пропонується методика оптимізації структури та розподілу конструктивного матеріалу при врахуванні основної частоти власних коливань.

Appling to bar system with schooner connection of joints consider of problem of optimization of shape and distribution of material taking into account basic frequency of freedom oscillation.

У випадку, коли геометрія (розташування вузлів та їх з'єднання елементами) шарнірної системи відомі (задані), то зміст оптимізації полягає у визначенні розподілу конструктивного матеріалу по елементах, при якому мінімізується його об'єм, або вартість, і виконується обмеження на величину заданої характеристики напружено деформованого стану. В разі розгляду динамічної системи такими характеристиками можуть бути величини власних частот і динамічних переміщень вузлів. Оскільки друга величина функціонально залежна від першої, то тут обмежимось розглядом задачі оптимізації шарнірної системи при обмеженні основної частоти власних коливань.

Можлива інша і значно складніша постановка задачі. Із заданих варіантів розрахункових схем вибрати таку, яка максимізує основну частоту власних коливань. Після чого оптимізувати розподіл конструктивного матеріалу при заданій величині основної частоти. Прикладом такої задачі може бути пошук на базі заданої статично невизначної системи основної системи, яка мала б названі вище характеристики. Тобто мова йде про структурно-параметричну оптимізацію шарнірної системи при обмеженні величини частоти основного тону власних коливань.

Для визначеності в якості критерію оптимальності розглядатимемо об'єм конструктивного матеріалу , так як його мінімізація є основною «філософією» оптимального проектування.

Згідно [1] частота основного тону власних коливань для розглядуваних систем може бути визначеною одним із енергетичних методів (Граммеля, Релея), або методом приведення мас (Донкерлея). Що стосується енергетичних методів, то вони дають величину частоти основного тону власних коливань дещо більшу в порівнянні з істинною, тоді як, метод приведення мас дає занижене значення по відношенню до істинного.

Оскільки мова йтиме про постановку і розв'язування задач, які є оберненими до задачі визначення власної частоти, то найбільш прийнятним, на погляд автора, є застосування методу Донкерлея. В такому разі формула визначення власної частоти буде сепарабельною відносно площ поперечних перерізів елементів, а значить оптимізаційна процедура не буде ускладненою необхідністю виконання інтеграційної процедури обчислень. Що ж стосується оптимізаційного апарату, то в даному випадку має сенс застосування методу невизначених множників Лагранжа, як такого, що дає можливість отримати аналітичні залежності і виявити ознаки та властивості оптимальної системи. Останнє є важливим для розв'язування проблем оптимального проектування, так як сприяє постановці і дослідженню нових оптимізаційних задач, а також розширенню досліджуваних.

Попередньо розглянемо задачу оптимізації шарнірної системи при обмеженні основної частоти власних коливань. Математичну модель задачі запишемо у вигляді:

де Е - модуль пружності при розтягу стиску;

V - об'єм конструктивного матеріалу;

Аj, lj - площа поперечного перерізу і довжина j-го елементу шарнірної системи відповідно;

m - число елементів;

щ - основна частота власних коливань;

Щ - задана величина основної частоти;

mі - величина маси, що коливається по і-тому напрямку;

Nji - зусилля, яке виникає у j-тому елементі при прикладанні до і-тої маси одиничної сили по напрямку коливання і-тої маси;

n - число мас, що коливаються (відповідно розглядуваній формі коливань).

Як бачимо структура (1) обумовлює можливість застосування при розв'язуванні методу невизначених множників Лагранжа. Функція Лагранжа у даному випадку запишеться: коливання стержневий шарнірний

,

а необхідні умови оптимальності матимуть вигляд:

;

,

де л - невизначений множник Лагранжа.

Із (3) матимемо

.

Підстановкою (5) у (4) визначаємо величину :

.

З врахуванням (6) отримаємо величину площі поперечного перерізу і-го елементу за формулою

.

Тоді об'єм конструктивного матеріалу і-го елементу визначиться:

.

Тепер розглянемо оптимізаційну задачу, математичну модель якої сформулюємо у вигляді

де V, V0 - об'єм конструктивного матеріалу і його величина, допустима за умовою задачі, відповідно. Решта величин означені вище.

Функція Лагранжа матиме вигляд

,

а необхідні умови оптимальності запишуться

,

.

З виразу (11) визначаємо величину Аj:

.

Для визначення величини праву частину виразу (13) підставляємо в умову (12). Отримаємо

.

Тоді величина Aj визначиться за формулою

.

Якщо умовно виділити долю j-го елементу у величині оберненій до величини основної частоти, то отримаємо

.

Тепер звернемо увагу на наступну обставину. Порівнянні формул (7) і (15) приводить до висновку, що в обох випадках площа поперечного перерізу j-го елементу пропорціональна одному і тому ж множнику. Тобто розподіл конструктивного матеріалу одержаний при розв'язку першої задачі відповідає одержаному при розв'язку другої задачі.

Якщо в якості обмеження другої задачі прийняти результат розв'язку першої (тут мається на увазі об'єм конструктивного матеріалу), то у виразах (15) і (16) величина V0 буде рівною V. А з іншої сторони величини визначені по (8) і (16) будуть однаковими для обох розглянутих оптимізаційних задач.

Тепер приймаючи до уваги першу і другу задачі, знайдемо співвідношення між величинами Vj та . Для цього ліву і праву частини виразу (8) розділимо відповідно на ліву і праву частини виразу (16). Отримаємо

.

Оскільки мова йде про еквівалентність розподілу конструктивного матеріалу для обох задач, то у виразі (17) може бути визначеною на основі величин Aj одержаних за формулою (7). В такому випадку вираз матиме вигляд

.

Якщо відповідно розділити (8) на (18) і прийняти до уваги праву частину виразу (17), то для першої задачі матимемо

.

Очевидно, що при фіксованій величині Щ (вона задається умовою першої задачі) характеристиками затрат конструктивного матеріалу будуть середня і права частини залежності (19). Тобто об'єм конструктивного матеріалу V буде зростати при зростанні суми, записаної в середній частині залежності (19), за умови, що величина Е залишається постійною, і зменшуватись при зменшенні названої суми.

Приймаючи до уваги сказане вище, із залежності (19) можна виділити критерій оптимальності шарнірних систем при динамічній постановці задачі.

Величину Q, що визначається за формулою

можна розглядати як критерій оптимальності при порівнянні декількох розрахункових схем шарнірних систем з метою вибору оптимальної, тобто такої, яка максимізує основну частоту власних коливань при заданому об'ємі конструктивного матеріалу, або мінімізує об'єм конструктивного матеріалу при заданій величині основної частоти. Зауважимо, що для обох випадків це буде одна і та ж система, оскільки нами доведено еквівалентність розподілу конструктивного матеріалу по елементах шарнірної системи для обох задач. Іншими словами критерій (20) дозволяє брати розрахункову схему з кращими динамічними характеристиками. Очевидно, що пошук розподілу конструктивного матеріалу за формулами (7), (15) має бути виконаним після оцінки конструктивних схем за критерієм (20).

Таким чином постановка і розв'язування двох оптимізаційних задач дала можливість отримати робочі формули, за якими обчислюється оптимальний розподіл конструктивного матеріалу по елементах шарнірної системи при економічному (V) і фізичному (щ) критеріях оптимальності. А також дозволила вивести критерій оптимальності розрахункової схеми, за яким із множини систем вибирається система оптимальної структури (розташування вузлів і їх з'єднання елементами).

На рис. 1 зображена статично невизначувана шарнірна система. На її основі необхідно вибрати статично визначну шарнірну систему, яка мінімізувала б критерій (20) за умови, що дві однакові маси m зосереджені у вузлах 1 і 2.

Рис.1 Статично невизначна шарнірна система

Висота шарнірної системи і відстань між вузлами у плані рівна d.

Розглядувана статично невизначна система приймалась в багатьох наукових працях для оцінки пропонованих ними методик оптимального проектування [2]. У нашому випадку аналіз статично визначних шарнірних систем, отриманих на основі заданої статично невизначної, приводить до висновку, що шарнірна система, зображена на рис. 2 мінімізує критерій (20), тобто є оптимальною. Зауважимо, що при видаленні елементів 3 і 8 елементи 2 і 9 мають нульові зусилля, тому на рис. 2 не показані. Величини, необхідні для визначення критерію (20), записані в таблицю.

Рис.2 Оптимальна статично визначна система

Отримуємо .

Таблиця

Якщо необхідно знайти співвідношення між площами перерізів елементів при яких мінімізуються затрати конструктивного матеріалу у випадках обмеження на величину основної частоти, то на основі даних таблиці і формули (7) одержимо А1:А4:А5:А6:А7:А10=2:1:1,4142:1,4142:1,4142:1,4142

Очевидно, що при співвідношеннях (21) буде максимізуватись величина частоти основного тону у випадку, коли об'єм конструктивного матеріалу обмежений деякою величиною V0. Останнє витікає з аналізу формули (15).

Література

1. Пановко Я.Г. Основы прикладной теории колебаний и удара. Издание 3-е, дополненное и переработанное. Л., «Машиностроение», 1976. -320с.

2. Хог Э., Арора Я. Прикладное оптимальное проектирование: Механические системы и конструкции: Пер. с англ. - М.:Мир, 1983. -478с.

Размещено на Allbest.ru