Автоматическая система регулирования

Размещено на http://www.allbest.ru/

Содержание

Введение

1. Описание структуры и принципа работы системы

2. Математическое описание системы

3. Анализ автоматической системы регулирования

3.1 Исследование АСР по критерию Гурвица

3.2 Исследование АСР по критерию Михайлова

3.3 Исследование АСР по критерию Найквиста

3.4 Исследование АСР по логарифмическому критерию

3.5 Статическая ошибка АСР

4. Синтез автоматической системы регулирования

4.1 Расчет передаточной функции корректирующего звена

4.2 Исследование скорректированной АСР по критерию Гурвица

4.3 Исследование скорректированной АСР по критерию Михайлова

4.4 Исследование скорректированной АСР по критерию Найквиста

4.5 Исследование скорректированной АСР по логарифмическому критерию

4.6. Построение структурной модели системы

5. Исследование АСР в среде Simulink

Заключение

Список использованной литературы

Введение

автоматический система регулирование передаточный

В курсовой работе по теории автоматического управления (ТАУ) требуется провести анализ и синтез системы автоматического регулирования (САР), содержащей контур с жесткой отрицательной обратной связью. Учитывая тот факт, что расчет систем различной физической природы, принадлежащих к определенному классу, одинаков, предложена САР угловой скорости двигателя постоянного тока.

Система, предназначенная для расчета, является линейной системой третьего порядка, дифференциальные уравнения каждого звена которой могут быть составлены с применением известных в электромеханике законов.

САР состоит из регулируемого объекта и элементов управления, которые воздействуют на объект при изменении одной или нескольких регулируемых переменных. Под влиянием входных сигналов (управления или возмущения) изменяются регулируемые переменные. Цель регулирования заключается в формировании таких законов, при которых выходные регулируемые переменные мало отличались бы от требуемых значений. Решение данной задачи во многих случаях осложняется наличием случайных возмущений (помех). При этом необходимо выбрать такой закон регулирования, при котором сигналы управления проходили бы через систему с малыми искажениями, а сигналы шума практически не пропускались.

Во многих технологических процессах требуется управлять движением ИО регулировать скорость движения и ее направление, точно осуществлять остановку в заданной позиции, ограничивать ускорение движения. Такие системы управления немыслимы без автоматизации, причем применение автоматических устройств самое различное - от простейших автоматов, используемых в отдельных узлах аппаратуры связи, до автоматизированных комплексов связи. Вот почему для анализа и синтеза систем связи, глубокого понимания принципов их построения и функционирования необходимо изучение и использование теории систем управления.

1. Описание структуры и принципа работы системы

АСР является статической, поэтому работает со статической ошибкой, которая не должна превысить заданной величины.

Рис. 1.1 Принципиальная схема системы стабилизации угловой скорости ДПТ

В таблице 1 приведены значения коэффициентов математических моделей элементов системы.

щ_Д - частота двигателя(фактическая скорость на выходе);

M_C - момент сопротивления от нагрузки ;ТГ - тахогенератор; ЭУ- электронный усилитель; G - генератор; ПD - трехфазный приводной двигатель; ОВГ - обмотка возбудителя генератора; М - мотор; Н - нагрузка(помеха); ОВМ - стартерная обмотка.

Система стабилизации угловой скорости ДПТ является одноконтурной САР, работающей по отклонению регулируемой величины. Регулируемым параметром является скорость ДПТ щД. Скорость вращения вала двигателя постоянного тока (ДПТ) задаётся напряжением U_з, которое через сопротивление R_з подаётся на вход операционного усилителя.

Также на U_з подаётся через сопротивление R₁ напряжение с тахогенератора U_ТГ. Двигатель представлен двумя графическими элементами: буквой M и обмоткой ОВМ, это и есть электродвигатель. На статорную обмотку подается постоянное напряжение, мы им и управляем, а вот на ротор М мы будем подавать нужное нам напряжение. При увеличении нагрузки M_C уменьшается скорость вращения вала двигателя щ_Д и соответственно снижается напряжение тахогенератора U_ТГ. Суммарное напряжение U_е увеличивается, следовательно, увеличивается напряжение обмотки возбудителя тахогенератора(ОВГ), напряжение на двигателе и угловая скорость. При уменьшении нагрузки M_C увеличивается напряжение тахогенератора U_ТГ.Суммарное напряжение U_е уменьшается,при этом уменьшается напряжение ОВГ и угловая скорость ДПТ Снижается.

Таблица 1

Исходные значения коэффициентов системы

№ Варианта

Т1, с

ТМ, с

ТЯ, с

K1, В/в

KД, Рад/Вс

Kf, Рад/ сим

KТГ, Вс/рад

KЭУ, В/В

Мсном, Н·м

щдном, рад/с

Дщдст рад/с

17

0,44

0,242

0,02

2,5

0,91

0,71

0,36

10

45

200

0,8

Постоянная времени генератора

Электромеханическая постоянная времени двигателя

Электромагнитная постоянная времени двигателя

Передаточный коэффициент генератора

Передаточный коэффициент двигателя по управляющему воздействию

Передаточный коэффициент двигателя по возмущающему воздействию

Передаточный коэффициент тахогенератора

Передаточный коэффициент электронного усилителя

Номинальный момент сопротивленияна валу двигателя

Номинальная угловая скорость

Требуемая статическая ошибка системы

2. Математическое описание системы

1. ЭУ - электронный усилитель:

,

где k_ЭУ - коэффициент электронного усилителя

2. Г - генератор:

;

;

,

где k₁ - коэффициент генератора; Т₁ - постоянная времени генератора; L_в и R_в - индуктивность и сопротивления обмотки возбуждения генератора; R_М - магнитное сопротивления обмотки возбуждения генератора; С_е - электрическая постоянная генератора; щ_Г - угловая скорость вращения якоря генератора; w_в - число витков обмотки возбуждения генератора; Ф - магнитный поток, наводимый в обмотке возбуждения генератора; I_в - ток обмотки возбуждения генератора.

3. М - двигатель постоянного тока:

;

;;

;

,

где k_Д - коэффициент двигателя по управляющему воздействию, k_f - коэффициент двигателя по возмущающему воздействию, Т_М - электромеханическая постоянная времени двигателя, Т_Я - электромагнитная постоянная времени двигателя; L_я и R_я - индуктивность и сопротивления обмотки якоря двигателя; I_я - ток обмотки якоря двигателя; Е_Д - ЭДС якоря двигателя; Ф - магнитный поток, наводимый в обмотке якоря двигателя; С_е - электрическая постоянная двигателя; С_м - магнитная постоянная двигателя; J_Д - момент инерции двигателя; М_Д - активный момент на валу двигателя.

4. ТГ - тахогенератор:

.

где k_ТГ - коэффициент тахогенератора.

По уравнениям звеньев АСР получим их передаточные функции. Понятие передаточная функция является наиболее важной категорией в теории автоматического управления и регулирования. Передаточная функция является своего рода математической моделью АСР, т.к. полностью характеризует динамические свойства системы.

Передаточной функцией называется отношение изображения выходного сигнала Y(p) к изображению входного воздействия X(p) при нулевых начальных условиях:

,

где р - оператор Лапласа.

Передаточные функции звеньев системы получаем, используя определение передаточной функции и выражение

1. ЭУ - электронный усилитель:

.

2. Г - генератор:

;

.

3. М - двигатель постоянного тока:

Уравнение двигателя постоянного тока в операторной форме имеет вид:

.

Для двигателя постоянного тока входным воздействием является напряжение U_Д, возмущающим воздействием момент M_Н, а выходным угловая скорость щ_Д, таким образом можно применить принцип наложения (суперпозиции) и выделить следующие два случая:

· сигнал M_Н (p) = 0;

· сигнал U_Д (p) = 0.

Тогда, для двигателя постоянного тока, имеющего входы по управлению и по возмущению, можно определить две передаточные функции

по управлению:

;

по возмущению:

.

Тогда, общая передаточная функция двигателя постоянного тока:

.

4. ТГ - тахогенератор:

.

3. Анализ автоматической системы регулирования, без корректирующего звена

3.1 Исследование АСР по критерию Гурвица

Критерий А. Гурвица является достаточным условием для определения устойчивости системы с отрицательной обратной связью и работает с коэффициентами характеристического полинома системы. Для определения устойчивости по Гурвицу строится матрица Гурвица, состоящая из коэффициентов характеристического полинома замкнутой системы.

По главной диагонали матрицы от верхнего левого угла записываются по порядку все коэффициенты характеристического полинома замкнутой системы, начиная с d₁ и заканчивая d_n. Затем каждый столбец матрицы дополняется таким образом, чтобы вниз от диагонали номер индекса коэффициента d уменьшался, а вверх - увеличивался. Коэффициенты с индексами меньше 0 и больше, чем n заменяются нулями.

.

Формулировка критерия Гурвица:

Для устойчивой замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы все n главных диагональных миноров матрицы были положительны:

; и т.д.

Если хотя бы один определитель будет равен нулю, то система будет находится на границе устойчивости. Если хотя бы один определитель будет отрицателен, то система неустойчива, не зависимо от числа положительных или нулевых определителей.

Для исследования устойчивости замкнутой АСР по критерию устойчивости Гурвица понадобится характеристический полином замкнутой системы.

Передаточная функция прямой ветви системы:

;

.

Передаточная функция обратной связи системы:

.

Получим эквивалентную передаточную функцию прямой ветви системы, охваченную обратной связью или передаточную функцию замкнутой системы:

;

.

Передаточная функция замкнутой системы после упрощения:

.

Выражение, находящееся в знаменателе передаточной функции замкнутой системы, является характеристическим полиномом замкнутой системы:

.

Подставим численные значения коэффициентов и преобразуем выражение:

Поскольку степень полинома замкнутой системы n равна 3, то матрица Гурвица будет иметь размер 3х3.

Коэффициенты характеристического полинома замкнутой системы имеют следующие значения: d₀ = 0,0021296, d₁ = 0,11132, d₂ = 0,682, d₃ = 9,19.

Матрица Гурвица имеет вид:

.

Диагональные миноры матрицы Гурвица:

Д₁ = 0,11132 > 0;

.

Вывод: замкнутая система устойчива, так как не имеет отрицательных миноров.

3.2 Исследование АСР по критерию Михайлова

Частотные критерии, по сравнению с алгебраическими, являются более наглядным в силу своей простой геометрической интерпретации т.к. они являются графическими критериями.

Критерий А. В. Михайлова используется по частотному годографу, полученному из характеристического полинома передаточной функции системы.

Частотный годограф D_З(j) получается путем перевода характеристического полинома замкнутой системы в частотную область, для этого вместо оператора дифференцирования p подставляется частотная комплексная переменная j, где - мнимая единица.

При возведении выражения j в соответствующую степень, полином замкнутой системы является комплексным и может быть представлен в виде:

;

где U_D() - действительная часть выражения, получаемая из слагаемых уравнения, не содержащих мнимости j; V_D() - мнимая часть, получаемая из слагаемых выражения, содержащих мнимости j.

Построение годографа Михайлова производится на комплексной плоскости [+1; j] по выражению D_З(j). При изменении часты от 0 до вычисляются значения U_D() и V_D() - абсцисса и ордината годографа.

Формулировка критерия Михайлова

Для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы годограф Михайлова начинался на положительной действительной полуоси комплексной плоскости [+1; j] и огибал против часовой стрелки начало координат, проходя последовательно n квадрантов, где n - старший показатель степени характеристического полинома замкнутой системы.

В пункте 3.1 был получен характеристический полином такой замкнутой системы

D_ЗАМ(p):.

Тогда получим частотный годограф Михайлова путем перевода характеристического полинома замкнутой системы (3.20) в частотную область:

.

Получим действительную и мнимую часть частотного годографа Михайлова (3.21), возведя частотный оператор j в соответствующую степень:

.

;

.

Вычисляем значения действительной и мнимой части частотного годографа Михайлова при изменении часты от 0 до требуемого значения, при котором можно сделать вывод об устойчивости системы. Шаг изменения частоты принимаем произвольный с учетом удобства восприятия графика. Вычисления проводим в MS Excel.

Таблица 3.1

Значения действительной и мнимой части частотного годографа Михайлова

Частота сигнала щ	Действительная часть UD(щ)	Мнимая часть VD(щ)
0	9,19	0
1	9,07868	0,67987
3	8,18812	1,9885
5	6,407	3,1438
7	3,73532	4,04355
9	0,17308	4,58552
11	-4,27972	4,6675
13	-9,62308	4,18727
15	-15,857	3,0426
17	-22,98148	1,13128
19	-30,99652	-1,64893

По таблице 3.1 строим годограф Михайлова



Рис. 3.1 Годограф Михайлова

Вывод: замкнутая система устойчива, т.к. годограф Михайлова начинается на положительной действительной полуоси и огибает против часовой стрелки начало координат, проходя последовательно 3 квадранта, где 3 - порядок характеристического полинома замкнутой системы.

3.3 Исследование АСР по критерию Найквиста

Критерий Г. Найквиста позволяет по амплитудно-фазовой частотной характеристике (АФЧХ) разомкнутой системы оценить устойчивость замкнутой системы с отрицательной обратной связью.

АФЧХ разомкнутой системы можно построить на комплексной плоскости [+1; j], откладывая вещественную U_РАЗ(щ) и мнимую V_РАЗ(щ) составляющую частотной передаточной функции разомкнутой системы W_РАЗ(jщ), или в полярной системе координат, откладывая угол фазы ц() разомкнутой системы относительно оси +1 и в этом направлении откладывать вектор амплитуды разомкнутой системы А().

Вещественную U_РАЗ(щ) и мнимую V_РАЗ(щ) функции W_РАЗ(jщ) можно определить по АЧХ А_РАЗ() и ФЧХ ц_РАЗ() разомкнутой системы:

;

.

АЧХ передаточной функции разомкнутой системы А_РАЗ() равна произведению АЧХ отдельных звеньев, а ФЧХ ц_РАЗ() - сумме ФЧХ звеньев:

;

.

Найти АЧХ А() и ФЧХ ц() можно по вещественной U(щ) и мнимой V(щ) составляющим частотной передаточной функции W(jщ) звена.

Амплитуда А() и фаза ц() частотной передаточной функции W(jщ):

;

.

Формулировка критерия Найквиста

Если разомкнутая система устойчива, то для устойчивости системы в замкнутом состоянии необходимо и достаточно, чтобы АФЧХ разомкнутой системы на комплексной плоскости [+1; j] при изменении частоты от 0 до не охватывала точку с координатами (-1; j0). Если АФЧХ разомкнутой системы проходит через точку с координатами (-1; j0), то система находится на границе устойчивости.

Для построения АФЧХ разомкнутой системы необходимо перейти к частотной форме записи передаточной функции разомкнутой системы.

Передаточная функция разомкнутой системы:

;

.

Проведем преобразования, выделив общий коэффициент усиления разомкнутой системы k_РАЗ:

;

.

;

Передаточная функция разомкнутой системы в частотной форме (p = jщ):

.

Запишем выражения амплитуд А() и фаз ц() частотных передаточных функции для каждого звена (табл. 3.2). Вычисляем значения амплитуд А() и фаз ц() при изменении часты от 0 до значения, при котором U_РАЗ(щ) и V_РАЗ(щ) станут равны нулю. Также вычислим амплитуду А_РАЗ() и фазу ц_РАЗ() передаточной функции разомкнутой системы, а также вещественную U_РАЗ(щ) и мнимую V_РАЗ(щ) составляющую частотной передаточной функции разомкнутой системы W_РАЗ(jщ). Шаг изменения частоты принимаем произвольный с учетом удобства восприятия графика. Вычисления проводим в MS Excel (табл. 3.3).

Таблица 3.2

Выражения амплитуд А() и фаз ц() передаточных функции звеньев системы

Частотная передаточная функция	АЧХ А()	ФЧХ ц()

Таблица 3.3

Значения амплитуд А() и фаз ц() передаточных функции звеньев системы

Частота щ	Амплитуды звеньев	Фазы звеньев	Амплитуда WРАЗ(jщ)	Фаза WРАЗ(jщ)	Действит. часть WРАЗ(jщ)	Мнимая часть WРАЗ(jщ)
	A1(щ)	A2(щ)	ц1(щ)	ц2(щ)	AРАЗ(щ)	цРАЗ(щ)	UРАЗ(щ)	VРАЗ(щ)
0,0	8,190	1,000	0,000	0,000	8,190	0,000	8,19000	0,00000
1,0	7,496	0,893	-0,415	-0,655	6,692	-1,069	3,21843	-5,86721
2,0	6,148	0,679	-0,722	-1,185	4,175	-1,906	-1,37434	-3,94283
4,0	4,046	0,352	-1,054	1,292	1,426	0,238	1,38568	0,33590
6,0	2,901	0,197	-1,209	0,937	0,571	-0,272	0,55031	-0,15333
8,0	2,238	0,122	-1,294	0,728	0,273	-0,566	0,23028	-0,14639
10,0	1,815	0,082	-1,347	0,592	0,149	-0,755	0,10824	-0,10183
12,0	1,524	0,058	-1,384	0,499	0,089	-0,885	0,05640	-0,06892
14,0	1,312	0,044	-1,410	-2,712	0,057	-4,121	-0,03192	0,04758
16,0	1,152	0,034	-1,430	-2,764	0,039	-4,194	-0,01931	0,03381
18,0	1,026	0,027	-1,445	-2,805	0,028	-4,250	-0,01232	0,02471
20,0	0,925	0,022	-1,458	-2,838	0,020	-4,296	-0,00821	0,01854
22,0	0,842	0,018	-1,468	-2,865	0,015	-4,333	-0,00567	0,01422
24,0	0,772	0,015	-1,476	-2,888	0,012	-4,364	-0,00404	0,01113
26,0	0,713	0,013	-1,484	-2,907	0,009	-4,391	-0,00295	0,00886
28,0	0,663	0,011	-1,490	-2,924	0,007	-4,414	-0,00221	0,00717
30,0	0,619	0,010	-1,495	-2,938	0,006	-4,433	-0,00168	0,00587
32,0	0,580	0,009	-1,500	-2,951	0,005	-4,451	-0,00130	0,00487
34,0	0,546	0,008	-1,504	-2,962	0,004	-4,466	-0,00103	0,00408
36,0	0,516	0,007	-1,508	-2,972	0,004	-4,480	-0,00082	0,00345
38,0	0,489	0,006	-1,511	-2,981	0,003	-4,492	-0,00066	0,00295
40,0	0,465	0,006	-1,514	-2,989	0,003	-4,503	-0,00054	0,00254
42,0	0,443	0,005	-1,517	-2,996	0,002	-4,513	-0,00044	0,00220
44,0	0,422	0,005	-1,519	-3,003	0,002	-4,522	-0,00037	0,00192
46,0	0,404	0,004	-1,521	-3,009	0,002	-4,530	-0,00031	0,00168
48,0	0,387	0,004	-1,523	-3,014	0,002	-4,538	-0,00026	0,00148
50,0	0,372	0,004	-1,525	-3,019	0,001	-4,545	-0,00022	0,00131
52,0	0,358	0,003	-1,527	-3,024	0,001	-4,551	-0,00019	0,00117
54,0	0,344	0,003	-1,529	-3,028	0,001	-4,557	-0,00016	0,00104
56,0	0,332	0,003	-1,530	-3,032	0,001	-4,563	-0,00014	0,00094
58,0	0,321	0,003	-1,532	-3,036	0,001	-4,568	-0,00012	0,00084
60,0	0,310	0,002	-1,533	-3,040	0,001	-4,573	-0,00011	0,00076

По значениям вещественной U_РАЗ(щ) и мнимой V_РАЗ(щ) части частотной передаточной функции разомкнутой системы из таблицы 3.3 строим в MS Excel годограф Найквиста (рис. 3.2).

Рис. 3.2 Годограф Найквиста (АФЧХ)

Вывод: замкнутая система устойчива, так как АФЧХ разомкнутой системы не охватывает точку с координатами (-1; j0).

3.4 Исследование АСР по логарифмическому критерию

Амплитудная частотная характеристика (АЧХ) - это зависимость отношения амплитуды сигнала на выходе звена к амплитуде на входе A = y_max/x_max от частоты входного сигнала .

Фазовая частотная характеристика (ФЧХ) - зависимость угла сдвига по фазе сигнала на выходе звена от частоты входного сигнала .

Логарифмические частотные характеристики - АЧХ и ФЧХ, представленные в логарифмическом масштабе.

Параметры L и lgщ определяются следующим образом:

, где ;

.

Ордината ЛАХ L измеряется в децибелах [дБ].

Децибел - логарифмическая единица уровней, затуханий и усилений.

1 Б = 10 дБ - это увеличение мощности сигнала в 10 раз.

2 Б = 20 дБ - это увеличение мощности сигнала в 100 раз;

3 Б = 30 дБ - это увеличение мощности сигнала в 1000 раз и т.д.

Абсцисса ЛАХ и ЛФХ lgщ измеряется в декадах [дек].

Декада - логарифмическая единица частот, соответствующая изменению частоты щ в 10 раз.

Логарифмические критерии, так же как и критерий Найквиста, позволяют судить об устойчивости замкнутой системы по виду ЛАХ и ЛФХ разомкнутой системы.

Формулировка логарифмического критерия

Если разомкнутая система устойчива, то для устойчивости системы в замкнутом состоянии, ЛАХ разомкнутой системы должна пересечь ось абсцисс раньше, чем ЛФХ, спадая окончательно, перейдёт через значение - р. То есть, на частоте среза щ_ср величина фазы ц должна быть меньше значения | - р |.

Запас устойчивости по амплитуде ДL - это величина допустимого увеличения общего коэффициента усиления разомкнутой системы, при котором замкнутая система окажется на границе устойчивости.

Запас устойчивости по фазе Дц - это величина допустимого увеличения запаздывания по фазе разомкнутой системы на частоте среза щ_ср, при котором замкнутая система окажется на границе устойчивости.

Для построения ЛАХ и ЛФХ системы необходимо разложить передаточную функцию разомкнутой системы на элементарные звенья, амплитуды А() и фазы ц() которых приведены в пункте 3.3. Допускается использовать асимптотические ЛАХ, которые графически представляют собой ломаные прямые линии (табл. 3.4).

Затем на плоскости строятся ЛАХ и ЛФХ каждого отдельного звена и методом графического суммирования находятся результирующие ЛАХ и ЛФХ разомкнутой системы:

;

.

Таблица 3.4

Асимптотические логарифмические частотные характеристики типовых динамических звеньев

Зная выражения амплитуд А() и фаз ц() частотных передаточных функции для каждого звена (табл. 3.2), представим их в логарифмическом масштабе (табл. 3.5).

Таблица 3.5

Выражения логарифмических амплитуд L() и фаз ц() передаточных функции звеньев

Частотная передаточная функция	Амплитуда L()	Фаза ц()

Вычисляем значения логарифмических амплитуд L() и фаз ц() для каждого звена при изменении часты от 0 до значения, при котором результирующая ЛФХ пересекает значение - р. Также вычислим амплитуду L_РАЗ() и фазу ц_РАЗ() передаточной функции разомкнутой системы W_РАЗ(jщ). Шаг изменения частоты принимаем произвольный с учетом удобства восприятия графика. Вычисления проводим в MS Excel (табл. 3.6).

Таблица 3.6

Значения логарифмических амплитуд L() и фаз ц() передаточных функции звеньев

Частота щ	Логарифмические амплитуды	Общая ЛАХ LРАЗ(щ)	Фазы звеньев	Общая ЛФХ цРАЗ(щ)
	L1(щ)	L2(щ)		ц1(щ)	ц2(щ)
0,100	18,257	-5,194	-0,001	13,062	-0,215	-0,020
0,500	18,060	-5,236	-0,013	12,811	-0,747	-0,100
0,900	17,633	-5,331	-0,042	12,260	-0,889	-0,178
1,300	17,036	-5,477	-0,088	11,472	-0,900	-0,254
1,700	16,336	-5,668	-0,149	10,519	-0,868	-0,328
2,100	15,585	-5,898	-0,226	9,461	-0,820	-0,398
2,500	14,822	-6,162	-0,318	8,341	-0,769	-0,464
2,900	14,069	-6,452	-0,425	7,192	-0,718	-0,526
3,300	13,340	-6,763	-0,546	6,031	-0,670	-0,583
3,700	12,642	-7,089	-0,680	4,873	-0,626	-0,637
4,100	11,977	-7,426	-0,826	3,725	-0,585	-0,687
4,500	11,346	-7,770	-0,984	2,592	-0,549	-0,733
4,900	10,746	-8,116	-1,153	1,477	-0,516	-0,775
5,300	10,178	-8,463	-1,332	0,383	-0,486	-0,815
5,700	9,638	-8,809	-1,520	-0,691	-0,459	-0,851
6,100	9,125	-9,152	-1,716	-1,743	-0,435	-0,884
6,500	8,637	-9,490	-1,921	-2,773	-0,412	-0,915
6,900	8,172	-9,823	-2,132	-3,783	-0,392	-0,944
7,300	7,728	-10,150	-2,350	-4,772	-0,374	-0,970
7,700	7,304	-10,471	-2,573	-5,740	-0,357	-0,995
8,100	6,898	-10,785	-2,801	-6,688	-0,341	-1,018
8,500	6,508	-11,092	-3,034	-7,618	-0,327	-1,039
8,900	6,134	-11,392	-3,270	-8,528	-0,313	-1,059
9,300	5,775	-11,686	-3,510	-9,421	-0,301	-1,077
9,700	5,429	-11,972	-3,753	-10,296	-0,290	-1,095
10,100	5,096	-12,252	-3,998	-11,154	-0,279	-1,111
12,100	3,590	-13,554	-5,248	-15,211	-0,236	-1,179
14,100	2,301	-14,712	-6,508	-18,919	-0,204	-1,230
16,100	1,174	-15,750	-7,754	-22,330	-0,179	-1,270
18,100	0,175	-16,686	-8,971	-25,482	-0,160	-1,301
20,100	-0,722	-17,538	-10,148	-28,409	-0,144	-1,327
22,100	-1,537	-18,318	-11,283	-31,138	-0,132	-1,348
24,100	-2,282	-19,037	-12,372	-33,691	-0,121	-1,366
26,100	-2,969	-19,703	-13,417	-36,089	-0,112	-1,382
30,000	-4,171	-20,875	-15,331	-40,376	-0,097	-1,406

По таблице 3.6 строим логарифмические частотные характеристики системы (рис. 3.3)

3.5 Проверка статистической ошибки

Статическая ошибка:

4. Анализ автоматической системы регулирования, c корректирующим звеном.

4.1 Расчет передаточной функции корректирующего звена

Коррекция динамических свойств линейных систем осуществляется для выполнения рассмотренных ранее требований по точности, устойчивости и качеству переходных процессов. Осуществляется коррекция путем введения в систему специальных корректирующих звеньев с особо подобранной передаточной функцией W_КЗ(p).

В данном случае корректирующее звено включается в систему относительно прямой ветви последовательно, образуя новую структуру системы (рис. 4.1).

Рис. 4.1 Блок-схема стабилизации угловой скорости ДПТ с корректирующим звеном

Корректирующие звенья аналоговых линейных электрических систем обычно выполняются в виде пассивных или активных четырехполюсников (АЧ и ПЧ) постоянного тока.

Рассмотрим принципиальную электрическую схему заданного корректирующего звена в виде пассивного четырехполюсника (рис. 4.2).



Рис. 4.2 Пассивное корректирующее звено

Параметры корректирующей цепи:

Передаточная функция корректирующего звена:

Передаточная функция разомкнутой системы с корректирующим звеном:



Где:

Находим такое значение k0, чтобы статическая ошибка соответствовала разрешенной:

4.2 Исследование скорректированной АСР по критерию Гурвица

Для исследования устойчивости замкнутой АСР по критерию устойчивости Гурвица понадобится характеристический полином замкнутой скорректированной системы.

Передаточная функция прямой ветви скорректированной системы:

;(4.6)

.(4.7)

Передаточная функция обратной связи системы:

.(4.8)

Получим эквивалентную передаточную функцию прямой ветви системы, охваченную обратной связью или передаточную функцию замкнутой скорректированной системы:

;(4.9)

.(4.10)

Передаточная функция замкнутой скорректированной системы после упрощения:

.(4.11)

Выражение, находящееся в знаменателе передаточной функции замкнутой скорректированной системы, является характеристическим полиномом замкнутой скорректированной системы:

.(4.12)

Подставим численные значения коэффициентов и преобразуем выражение:

(4.13)

%Вводим в командную строку Matlab:%

>> syms p; expand((2.5*p+1)*(0.2*p+1)*(0.035*0.15*p^2+0.15*p+1)+0.235*(0.3*p+1)*10*0.5*1.3*0.36)

Поскольку степень полинома замкнутой системы n равна 4, то матрица Гурвица будет иметь размер 4х4.

Коэффициенты характеристического полинома замкнутой скорректированной системы имеют следующие значения: d₀ = 0,002625, d₁ = 0,089175, d₂ = 0,91025, d₃ = 3,01497, d₄ = 1,5499.

Матрица Гурвица имеет вид:

.(4.14)

Диагональные миноры матрицы Гурвица:

Д₁ = 0,089175 > 0;

;

.

.

Вывод: замкнутая скорректированная система устойчива, так как не имеет отрицательных миноров.

4.3 Исследование скорректированной АСР по критерию Михайлова

В пункте 4.2 был получен характеристический полином такой замкнутой скорректированной системы D_ЗАМ(p):

.(4.15)

Тогда получим частотный годограф Михайлова путем перевода характеристического полинома (4.15) в частотную область:

.(4.16)

Получим действительную и мнимую часть частотного годографа Михайлова (4.16), возведя частотный оператор j в соответствующую степень:

.(4.17)

;(4.18)

.(4.19)

Вычисляем значения действительной и мнимой части частотного годографа Михайлова при изменении часты от 0 до требуемого значения, при котором можно сделать вывод об устойчивости системы. Шаг изменения частоты принимаем произвольный с учетом удобства восприятия графика. Вычисления проводим в MS Excel.

Таблица 4.1

Значения действительной и мнимой части частотного годографа Михайлова

Частота сигнала	Действительная часть UD()	Мнимая часть VD()
0	1,55	0
2	-2,049	5,31654
4	-12,342	6,35268
6	-27,817	-1,17198
8	-45,954	-21,5378
10	-63,225	-59,0253
12	-75,094	-117,915
14	-76,017	-202,487
16	-59,442	-317,021
18	-17,809	-465,799
20	57,45	-653,101

По таблице 4.1 строим годограф Михайлова (рис. 4.1).



Рис. 4.1 Годограф Михайлова скорректированной системы

Вывод: замкнутая скорректированная система устойчива, т.к. годограф Михайлова начинается на положительной действительной полуоси и огибает против часовой стрелки начало координат, проходя последовательно 4 квадранта, где 4 - порядок характеристического полинома замкнутой системы.

4.4 Исследование скорректированной АСР по критерию Найквиста

Для построения АФЧХ разомкнутой скорректированной системы необходимо перейти к частотной форме записи передаточной функции.

Передаточная функция разомкнутой системы:

;(4.20)

.(4.21)

Проведем преобразования, выделив общий коэффициент усиления разомкнутой системы k_РАЗ:

;(4.22)

.(4.23)

Передаточная функция разомкнутой системы в частотной форме (p = jщ):

.(4.24)

Запишем выражения амплитуд А() и фаз ц() частотных передаточных функции для каждого звена (табл. 4.2). Вычисляем значения амплитуд А() и фаз ц() при изменении часты от 0 до значения, при котором U_РАЗ(щ) и V_РАЗ(щ) станут равны нулю. Также вычислим амплитуду А_РАЗ() и фазу ц_РАЗ() передаточной функции разомкнутой системы, а также вещественную U_РАЗ(щ) и мнимую V_РАЗ(щ) составляющую частотной передаточной функции разомкнутой системы W_РАЗ(jщ) (3.18 - 3.23). Шаг изменения частоты принимаем произвольный с учетом удобства восприятия графика. Вычисления проводим в MS Excel (табл. 4.3).

Таблица 4.2

Выражения амплитуд А() и фаз ц() передаточных функции звеньев системы

Частотная передаточная функция	Амплитуда А()	Фаза ц()

Таблица 4.3

Значения амплитуд А() и фаз ц() передаточных функции звеньев системы

щ	Амплитуды звеньев	Фазы звеньев	Амплитуда WРАЗ(jщ)	Фаза WРАЗ(jщ)	Действит. часть WРАЗ(jщ)	Мнимая часть WРАЗ(jщ)
	A1(щ)	A2(щ)	A3(щ)	ц1(щ)	ц2(щ)	ц3(щ)	AРАЗ(щ)	цРАЗ(щ)	UРАЗ(щ)	VРАЗ(щ)
0,0	1,000	0,550	1,000	0,000	0,000	0,000	0,550	0,000	0,55000	0,00000
0,1	0,971	0,550	1,000	-0,215	-0,020	-0,015	0,534	-0,250	0,51709	-0,13203
0,2	0,896	0,550	1,000	-0,404	-0,040	-0,030	0,492	-0,474	0,43810	-0,22458
0,3	0,803	0,549	0,999	-0,554	-0,060	-0,045	0,441	-0,659	0,34855	-0,26976
0,4	0,712	0,548	0,999	-0,666	-0,080	-0,060	0,390	-0,806	0,27015	-0,28139
0,5	0,632	0,547	0,999	-0,747	-0,100	-0,075	0,345	-0,922	0,20863	-0,27500
0,6	0,564	0,546	0,998	-0,805	-0,119	-0,090	0,307	-1,014	0,16229	-0,26074
0,7	0,507	0,545	0,997	-0,845	-0,139	-0,105	0,275	-1,089	0,12767	-0,24394
0,8	0,460	0,543	0,996	-0,872	-0,159	-0,120	0,249	-1,150	0,10162	-0,22712
0,9	0,421	0,541	0,995	-0,889	-0,178	-0,135	0,227	-1,202	0,08175	-0,21135
1,0	0,388	0,539	0,994	-0,899	-0,197	-0,150	0,208	-1,246	0,06636	-0,19700
2,0	0,229	0,511	0,977	-0,833	-0,381	-0,297	0,114	-1,511	0,00683	-0,11386
3,0	0,178	0,472	0,949	-0,705	-0,540	-0,441	0,080	-1,687	-0,00924	-0,07905
4,0	0,155	0,429	0,913	-0,595	-0,675	-0,580	0,061	-1,850	-0,01678	-0,05861
5,0	0,144	0,389	0,871	-0,508	-0,785	-0,712	0,049	-2,006	-0,02053	-0,04418
6,0	0,137	0,352	0,825	-0,441	-0,876	-0,837	0,040	-2,154	-0,02192	-0,03323
7,0	0,133	0,320	0,778	-0,387	-0,951	-0,955	0,033	-2,293	-0,02180	-0,02475
8,0	0,130	0,291	0,729	-0,345	-1,012	-1,065	0,028	-2,422	-0,02076	-0,01818
9,0	0,128	0,267	0,682	-0,310	-1,064	-1,168	0,023	-2,542	-0,01922	-0,01313
10,0	0,126	0,246	0,636	-0,282	-1,107	-1,264	0,020	-2,653	-0,01745	-0,00927
12,0	0,124	0,212	0,551	-0,238	-1,176	-1,436	0,014	-2,850	-0,01388	-0,00417
14,0	0,123	0,185	0,476	-0,205	-1,228	-1,585	0,011	-3,018	-0,01078	-0,00134
16,0	0,123	0,164	0,412	-0,180	-1,268	-1,713	0,008	-3,161	-0,00829	0,00016
18,0	0,122	0,147	0,358	-0,161	-1,300	-1,825	0,006	-3,286	-0,00637	0,00092
20,0	0,122	0,133	0,313	-0,145	-1,326	-1,922	0,005	-3,393	-0,00492	0,00126
22,0	0,121	0,122	0,275	-0,132	-1,347	-2,008	0,004	-3,487	-0,00382	0,00138
24,0	0,121	0,112	0,242	-0,121	-1,365	-2,083	0,003	-3,570	-0,00299	0,00137
26,0	0,121	0,104	0,215	-0,112	-1,381	-2,150	0,003	-3,643	-0,00237	0,00130
28,0	0,121	0,097	0,191	-0,104	-1,394	-2,209	0,002	-3,707	-0,00189	0,00120
30,0	0,121	0,090	0,171	-0,097	-1,406	-2,262	0,002	-3,765	-0,00152	0,00109
32,0	0,121	0,085	0,154	-0,091	-1,416	-2,310	0,002	-3,817	-0,00123	0,00099
34,0	0,121	0,080	0,139	-0,086	-1,425	-2,353	0,001	-3,864	-0,00101	0,00089
36,0	0,121	0,076	0,126	-0,081	-1,433	-2,392	0,001	-3,906	-0,00083	0,00080
38,0	0,120	0,072	0,115	-0,077	-1,440	-2,428	0,001	-3,945	-0,00069	0,00071
40,0	0,120	0,068	0,105	-0,073	-1,446	-2,460	0,001	-3,980	-0,00058	0,00064

По значениям вещественной U_РАЗ(щ) и мнимой V_РАЗ(щ) части частотной передаточной функции разомкнутой скорректированной системы из таблицы 4.3 строим годограф Найквиста (рис. 4.2).

Рис. 4.2 Годограф Найквиста (АФЧХ) скорректированной системы

Вывод: замкнутая скорректированная система устойчива, так как АФЧХ разомкнутой системы не охватывает точку с координатами (-1; j0).

4.5 Исследование скорректированной АСР по логарифмическому критерию

Для построения ЛАХ и ЛФХ системы необходимо разложить передаточную функцию разомкнутой системы на элементарные звенья, амплитуды А() и фазы ц() которых приведены в пункте 4.3.

Затем на плоскости строятся ЛАХ и ЛФХ каждого отдельного звена и методом графического суммирования находятся результирующие ЛАХ и ЛФХ разомкнутой системы [**]:

;(4.25)

.(4.26)

Зная выражения амплитуд А() и фаз ц() частотных передаточных функции для каждого звена (табл. 4.2), представим их в логарифмическом масштабе (табл. 4.4).

Таблица 4.4

Выражения логарифмических амплитуд L() и фаз ц() передаточных функции звеньев

Частотная передаточная функция	Амплитуда L()	Фаза ц()

Вычисляем значения логарифмических амплитуд L() и фаз ц() для каждого звена при изменении часты от 0 до значения, при котором результирующая ЛФХ пересекает значение - р. Также вычислим амплитуду L_РАЗ() и фазу ц_РАЗ() передаточной функции разомкнутой системы W_РАЗ(jщ). Шаг изменения частоты принимаем произвольный с учетом удобства восприятия графика. Вычисления проводим в MS Excel (табл. 4.5).

Таблица 4.5

Значения логарифмических амплитуд L() и фаз ц() передаточных функции звеньев

Частота щ	Логарифмические амплитуды	Общая ЛАХ LРАЗ(щ)	Фазы звеньев	Общая ЛФХ цРАЗ(щ)
	L1(щ)	L2(щ)	L3(щ)		ц1(щ)	ц2(щ)	ц3(щ)
0,100	-0,259	-5,194	-0,001	-5,454	-0,215	-0,020	-0,015	-0,250
0,500	-3,990	-5,236	-0,013	-9,239	-0,747	-0,100	-0,075	-0,922
0,900	-7,521	-5,331	-0,042	-12,894	-0,889	-0,178	-0,135	-1,202
1,300	-10,016	-5,477	-0,088	-15,580	-0,900	-0,254	-0,194	-1,349
1,700	-11,798	-5,668	-0,149	-17,615	-0,868	-0,328	-0,253	-1,449
2,100	-13,106	-5,898	-0,226	-19,231	-0,820	-0,398	-0,312	-1,530
2,900	-14,841	-6,452	-0,425	-21,718	-0,718	-0,526	-0,427	-1,670
3,300	-15,426	-6,763	-0,546	-22,735	-0,670	-0,583	-0,483	-1,737
4,100	-16,254	-7,426	-0,826	-24,506	-0,585	-0,687	-0,593	-1,866
4,500	-16,551	-7,770	-0,984	-25,304	-0,549	-0,733	-0,647	-1,929
5,300	-16,994	-8,463	-1,332	-26,789	-0,486	-0,815	-0,750	-2,051
5,700	-17,160	-8,809	-1,520	-27,489	-0,459	-0,851	-0,801	-2,110
6,100	-17,300	-9,152	-1,716	-28,169	-0,435	-0,884	-0,849	-2,168
6,900	-17,520	-9,823	-2,132	-29,475	-0,392	-0,944	-0,944	-2,280
7,300	-17,607	-10,150	-2,350	-30,107	-0,374	-0,970	-0,989	-2,333
8,100	-17,748	-10,785	-2,801	-31,334	-0,341	-1,018	-1,076	-2,435
8,500	-17,805	-11,092	-3,034	-31,931	-0,327	-1,039	-1,118	-2,484
9,300	-17,900	-11,686	-3,510	-33,096	-0,301	-1,077	-1,198	-2,576
9,700	-17,939	-11,972	-3,753	-33,664	-0,290	-1,095	-1,236	-2,621
10,100	-17,974	-12,252	-3,998	-34,224	-0,279	-1,111	-1,273	-2,664
12,100	-18,103	-13,554	-5,248	-36,905	-0,236	-1,179	-1,444	-2,859
14,100	-18,184	-14,712	-6,508	-39,404	-0,204	-1,230	-1,591	-3,025
16,100	-18,237	-15,750	-7,754	-41,741	-0,179	-1,270	-1,719	-3,168
18,100	-18,274	-16,686	-8,971	-43,930	-0,160	-1,301	-1,830	-3,291

По таблице 4.5 строим логарифмические частотные характеристики системы (рис. 4.3).



Рис. 4.3 Логарифмические частотные характеристики разомкнутой системы (ЛАХ и ЛФХ)

По частотным характеристикам (рис. 4.3) графически определим запасы устойчивости системы: ДL = **** дБ и Дц = **** рад.

Вывод: замкнутая скорректированная система устойчива, так как ЛАХ разомкнутой системы пересекает ось абсцисс раньше, чем ЛФХ переходит через значение - р.

5. Исследование АСР в среде Simulink

Программный комплекс MATLAB поставляется вместе с пакетом расширения Simulink, предназначенным для моделирования динамических систем, модели которых составляются из отдельных блоков (компонентов) [**].

Для исследования скорректированной системы в среде Simulink составим структурную схему модели АСР по управляющему воздействию (рис. 5.1).

Для получения линейных характеристик системы необходимо задать точки входа и выхода для линеаризации: «Input point» и «Output point».

Для получения переходных и частотных характеристик в пакете Simulink с помощью LTI Viewer необходимо выполнить следующие действия:

1. Выполнить команду меню Tools > Control Design > Linear Analysis, после чего появится окно менеджера Control and Estimation Tools Manager, в котором показываются активные точки, кнопка запуска линеаризации «Linearize Model» и окно выбора типа характеристик.

2. Выбрать нужную характеристику и нажать кнопку «Linearize Model», после чего на экран выводится окно LTI Viewer с построенным графиком.

При получении частотных характеристик необходимо поставить галочку «Open Loop» на активной точке выхода «Output point», так как частотные характеристики строятся только для разомкнутых систем.

На рисунке 5.2 представлена переходная характеристика АСР стабилизации угловой скорости ДПТ с корректирующим звеном, полученная в Simulink.

На рисунках 5.3 и 5.4 представлены логарифмические частотные характеристика и АФЧХ АСР угловой скорости ДПТ с корректирующим звеном.



Таким образом, …………..(вывод).



Рис. 3.3 Логарифмические частотные характеристики разомкнутой системы (ЛАХ и ЛФХ)

По частотным характеристикам (рис. 3.3) графически определим запасы устойчивости системы: ДL = **** дБ и Дц = **** рад.

Вывод: замкнутая система устойчива, так как ЛАХ разомкнутой системы пересекает ось абсцисс раньше, чем ЛФХ переходит через значение - р.

3.2 Корректирующее звено:

Передаточная функция корректирующего звена:

Передаточная функция разомкнутой системы с корректирующим звеном

Где:

Находим такое значение k0, чтобы статическая ошибка соответствовала разрешенной:

3.3 Критерий устойчивости Гурвица

Составим характеристическое уравнение:

Определитель Гурвица:

Вывод: Система устойчива, так как не имеет отрицательных миноров.

3.4 Критерий устойчивости Михайлова

?	Ud(?)	j*Vd(?)	?	Ud(?)	j*Vd(?)
0	1	0	11	-12,13026	-40,1687
0,5	0,973845	4,7369125	12	-14,62832	-73,8216
1	0,89334	9,3923	13	-17,34378	-115,3009
2	0,56928	18,1324	14	-20,27664	-165,2588
3	0,02782	25,5681	15	-23,4269	-224,3475
4	-0,73104	31,0472	16	-26,79456	-293,2192
5	-1,7073	33,9175	17	-30,37962	-372,5261
6	-2,90096	33,5268	18	-34,18208	-462,9204
7	-4,31202	29,2229	19	-38,20194	-565,0543
8	-5,94048	20,3536	20	-42,4392	-679,58
9	-7,78634	6,2667	21	-46,89386	-807,1497
10	-9,8496	-13,69	22	-51,56592	-948,4156

Заключение

Оценка качества принятого в дипломном проекте технического решения должна производиться на основе анализа ее технико-экономических показателей, в число которых входят технологические и экономические показатели.

Список использованной литературы

1. Бесекерский, В. А. Теория автоматического управления [Текст]: учебное пособие / В.А. Бесекерский, Е.П. Попов. СПб.: Изд-во «Профессия», 2003. 751 c.

2. Мирошник, И. В. Теория автоматического управления. Линейные системы [Текст]: учебное пособие / И. В. Мирошник. СПб.: Изд-во «Питер», 2005. 336 с.

3. Щербаков, В.С. Теория автоматического управления. Линейные непрерывные системы [Текст]: учебное пособие / В.С. Щербаков, И.В. Лазута. Омск: СибАДИ, 2013. 142 с.

4. Щербаков, В.С. Основы моделирования систем автоматического регулирования и электротехнических систем в среде MatLab и Simulink [Текст]: учебное пособие / В.С. Щербаков, А.А. Руппель, В.А. Глушец. Омск: Изд-во СибАДИ, 2003. 160 с.

5. Щербаков В.С. Теория автоматического управления [Текст]: методические указания по выполнению курсовых работ (для студентов специальностей 220301, 140607) / В.С. Щербаков, Р.Ю. Сухарев. Омск: СибАДИ, 2011. 36 с.

6. Юревич, Е. И. Теория автоматического управления [Текст]. 3-е издание. / Е. И. Юревич. СПб.: Изд-во «БХВ-Питербург», 2007. 560 с.

Размещено на Allbest.ru