Численный расчет фазовых диаграмм и термодинамических свойств кластеров ультрахолодных атомов, локализованных в двумерных оптических решетках

Одной из самых простых и в тоже время эффективных моделей описания взаимодействия между частицами (как бозонами, так и фермионами) в твердом теле является модель Хаббарда. Несмотря на свою простоту, данная модель позволяет описывать физические свойства многих твердых тел, часто применяется для описания многих физических систем, вплоть до высокотемпературных сверхпроводников.

Описание модели Хаббарда кластеров ультрахолодных атомов было смоделировано путем написания программного обеспечения на языке программирования Python с использованием ALPS. Рассматриваемым объектом в работе есть квазиодномерная модель двухкомпонентного Ферми-газа при нулевой температуре для отображения большой канонической фазовой диаграммы однородной системы. В частности, используется модель Хаббарда кластеров фермионов на двух- и трехногих лестницах и сравнивается поведение этой модели с известным случаем строго одномерной одноцепочечной решетки. Алгоритмом построения всей работы выступает численный вариационный метод DMRG (Density Matrix Renormalization Group - перенормировочная группа матрицы плотности), являющийся одним из наиболее эффективных методов для моделирования физики низких энергий квантовых систем с высокой точностью в случае одномерных систем.

Работа начинается с описания сильно коррелированных систем, уравнения Шредингера и гильбертова пространства. Далее следует метод вторичного квантования, частным случаем которого является модель Хаббарда. Затем следует расчет фазовых переходов и последующее численное моделирование фазовых диаграмм двумерной “лестницы” фермионов с одной, двумя и тремя “ногами”.

1. Основы физики сильнокоррелированных систем

Открытие явления высокотемпературной проводимости в оксидах переходных металлов было одним из внушительных достижений прошлого столетия. Это подтолкнуло ученых работать именно в этой области и связать свою дальнейшую научную деятельность именно с этим явлением. Получение новых химических соединений с уникальными свойствами стало главный целью на пути к достижению сверхпроводимости при обычных температурах.

Отсутствие заполненных 3d-, 4f- или 5f- оболочек в синтезированных веществах является той самой причиной наличия уникальных физических явлений в данных соединениях. Именно сильное взаимодействие электронов между собой сформировало уникальные свойства новых соединений. Так появились на свет сильно коррелированные системы, то есть системы с сильным электронным взаимодействием.

Но, как и в любой новой области исследований без проблем не обошлось. По причине того, что новые соединения совершенно отличались от известных обычных металлов и полупроводников, стандартная зонная теория не могла точно и целиком описать все свойства новорожденных соединений. Причина кроилась в игнорировании взаимодействия электронов между собой в стандартной зонной теории, потому что в обычных уже известных соединениях их взаимодействие было крайне мало.

В новых же соединениях была совершенно противоположная ситуация. Сильное взаимодействие электронов было на несколько порядков больше и существеннее, чем в обычных соединениях. Это привело к поискам новых путей и подходов в квантовой механике для полноценного описания новых веществ.

На сегодняшний день описание сильно коррелированных систем средствами квантовой механики возможно двумя способами: либо через создание моделей, либо путем расчетов электронной структуры этих систем. Расчетами нередко можно описать довольно сложные химические соединения, целиком учитывая их электронное строение и кристаллическую структуру, таким образом количественно описать какие-то конкретные вещества. В случае модельного подхода исследуются общие свойства вещества, статистические закономерности их поведения в зависимости от, например, приложенных внешних полей или от температуры, при этом абстрагируются от каких-то конкретных свойств этого вещества. В модельном способе системы иногда описываются аналитическими методами, и результаты исследования выражаются в формульном виде, но согласно тенденциям последних лет на финальных этапах аналитических исследованиях приходится применять численные методы для решения уже выведенных уравнений.

В теории материалов используются три основные модели для построения с участием элементов с незаполненными d- или f- оболочками: модель Андерсона, sd модель и модель Хаббарда. В настоящей выпускной квалификационной работе рассматривается только случай модели Хаббарда. Данная модель учитывает одну группу невырожденных электронов, находящихся на одном узле и взаимодействующих силами кулоновского отталкивания. Модель Хаббарда характеризуется гамильтонианом, описывающим движение электронов на кристаллической решетке и их локальное кулоновское взаимодействие. Здесь два электрона могут оказаться на одном узле в случае, когда их спины противоположны по причине не вырожденности электронных состояний. Подробнее о модели Хаббарда будет сказано в третьем разделе настоящей работы, сейчас же остановимся на самой природе и происхождении гамильтониана.

Теоретическая механика основывается на двух формализмах: формализме Лагранжа и Гамильтона. Формализм Гамильтона, являющийся основой математического аппарата квантовой механики, был задуман Уильямом Роуэном Гамильтоном, как реализация (приложение) Лагранжевой механики (которая в свою очередь является основой квантовой теории поля) в геометрической оптике. В свою очередь, сама механика Лагранжа основывается на работах Эйлера. Так или иначе, в общем виде, оба формализма построены на фундаментальных исследованиях Ньютона, заложенных им еще в семнадцатом веке, что говорит о том, что и квантовая теория поля, и сама квантовая механика основываются на Ньютоновской механике.

Формализм Гамильтона, так же как и Лагранжев формализм, оперирует обобщенными (каноническими) переменными, но помимо этих канонических координат q₁,…,q_n, которые описывают местоположение, также учитываются (вместо канонических скоростей) соответствующие обобщенные (канонические) импульсы p₁,…,p_n:

Лагранжиан

Гамильтониан , где q, p - координаты и канонические импульсы

Гамильтониан в отличие от Лагранжиана не дает релятивистски-инвариантного описания системы в явном виде, т. е. в случае Гамильтониана энергия в разных инерциальных системах отсчета различна.

В конечном счете Гамильтонов формализм стал основой для нерелятивистской квантовой механики. Этапом перехода от классической Гамильтоновой механики к квантовой механике стала процедура канонического квантования (в микромире все существует в виде отдельных уровней или частей, то есть квантовано), осуществленная Вернером Гейзенбергом. Данная процедура заключается в замене всех канонических координат и импульсов (в нестационарном случае к ним добавляются еще и канонических энергии) на соответствующие им линейные операторы:

Применив процедуру канонического квантования к закону сохранения энергии, можно получить уравнение Шредингера для электрона. В этом случае гамильтониан системы становится линейным оператором, а вместе с ним кинетическая и потенциальная энергии:

где - Лапласиан

Тогда закон сохранения энергии в операторном виде, , переходит, путем выбора в качестве аргумента операторов волновой функции электрона, , в уравнение Шредингера:

(стационарное уравнение Шредингера)

(нестационарное уравнение Шредингера)

Коммутаторные (перестановочные) соотношения для коммутирующих операторов представляют собой следующее:

.

А также для не коммутирующих операторов:

Операторы координаты и импульса в квантовой механике должны удовлетворять следующим коммутаторным соотношением:

где - символ Кронекера.

Здесь следует подробнее остановиться на понятии линейного оператора. Любая физическая величина в квантовой механике задается линейным оператором. Линейный оператор - оператор, сопоставляющий (отображающий) функцию (вектор) на одну и только одну функцию (вектор) , т. е. однозначно.

Свойства линейных операторов:

,

где с -константа

Линейный оператор по своей сути является способом нахождения другой функции по заданной функции. Примерами таких операторов являются интегрирование, дифференцирование и другие.

Операторы можно описать в матричном представлении. Пусть - линейный оператор (чья матрица имеет ранг 2), преобразующий вектор двумерого пространства в вектор того же пространства. Линейно-преобразованный вектор находится как произведение матрицы оператора , , на исходный вектор :

Для гильбертова пространства характерен тот факт, что каждому состоянию частицы можно поставить прямую линию, т.е. координатную ось. В реальности же для квантовой частицы таких состояний (координатных осей) бесконечное множество (учитывая бесконечное количество положений частицы). Значит, описывающих эти состояния частицы кет-векторов (независимых осей, то есть “измерений” пространства) также будет бесконечное число.

Здесь следует дать определение гильбертову пространству. Гильбертово пространство является своего родом аналогом фазового пространства в классической механике. Это бесконечномерное пространство H векторов с конечной длиной (то есть ), которое соответствует множеству квадратично-интегрируемых функций:

Удовлетворяющие уравнению Шредингера

волновые функции являются непрерывными комплексно-значными функциями от действительных переменных. Это множество функций от одного аргумента образуют линейное векторное пространство. В свою очередь сами пси функции являются векторами этого пространства (в более широком понимании одномерными подпространствами этого пространства). Сопоставление кет-вектора гильбертова пространства волновой функции Шредингера позволяет описать векторные свойства этих волновых функций:

Для некоторого состояния частицы то есть кет-вектор этого состояния, представляет собой бесконечный столбец из значений функций в каждой точке `x':

Подытожив, можно сказать, что в гильбертовом пространстве роль координат кет-вектора исполняют все возможные значения соответствующей ему функции .

Из курса линейной алгебры нам известно, что каждому векторному пространству можно сопоставить дуальное, то есть сопряженное ему векторное пространство. Здесь стоит остановиться поподробнее на понятии оператора эрмитова сопряжения.

Оператор эрмитова сопряжения, † (“крест”), по своей сути является двумя последовательно примененными операциями: транспонированием и последующим комплексным сопряжением. В случае когда операция эрмитова сопряжения применяется над некоторым оператором, в итоге получается новый оператор, эрмитовоЃ]сопряженный данному. Через транспонирование и комплексное сопряжение матрицы можно получить эрмитово-сопряженную матрицу:

Бывает, что применение эрмитова оператора сопряжения к некому оператору переводит этот оператор в сам себя. Тогда такой оператор называется эрмитовым (самосопряженным, вещественным):

Для элементов матрицы получаем следующее:

Здесь важно запомнить, что наблюдаемые физические величины выражаются соответствующими им эрмитовыми операторами.

Вернемся к гильбертову пространству. Пространство браЃ]векторов H* Ѓ] пространство, сопряженное гильбертову пространству кет-векторов H. Пространства H и H* геометрически подобны друг другу, иными словами обладают линейным изоморфизмом. БраЃ]вектора являются линейными функционалами, которые определены на линейном векторном пространстве кетЃ]векторов H. Любой линейной функцией от кетЃ]вектора, , можно задать вектор совершенно нового типа Ѓ] браЃ]вектор .

В процессе исследования бра-пространства была предложена гипотеза о сущестовании взаимо-однозначного соответствия между векторами в кет-пространстве и векторами в дуальном ему бра-пространства. Это предположение подтвердилось, в связи с чем кет-векторы и бра-векторы являются эрмитово сопряженными друг другу:

Как было сказано выше, оператор эрмитова сопряжения † есть транспонирование и последующее комплексное сопряжение. Следовательно, если , является векторЃ]столбцом, то Ѓ] векторЃ]строка, чьи координаты являются числами, комплексноЃ]сопряженными соответствующим координатам кетЃ]вектора :

В связи с принадлежностью кет-векторов и бра-векторов к разным векторным пространствам (кетЃ] векторы - пространству векторовЃ]столбцов, браЃ]векторы Ѓ] пространству векторовЃ]строк), математически операция их сложения не разрешается. Соответствие между кетЃ] и браЃ] векторами антилинейно.

Подытожив, можно сделать следующие выводы касательно вводного раздела настоящей выпускной квалификационной работы:

1. Ознакомление с понятием сильно коррелированных систем (СКС) и последующее описание СКС путем программного создания модели Хаббарда в следующих разделах данной ВКР.

2. Через формализм Гамильтона переход к гамильтониану системы путем процедуры канонического квантования и выражение из закона сохранения энергии в операторном виде уравнения Шредингера

3. Образование линейного векторного пространства множеством пси функций от одного аргумента и сопоставление им кет-вектора гильбертова пространства

2. Метод вторичного квантования

При математическом описании квантовой теории поля потребуется ввести такое понятие как квантование полей. Как уже было ранее сказано в предыдущем разделе, переход от классической механики Ньютона-Лагранжа-Гамильтона к квантовой механике Гейзенберга-Шредингера-Дирака был выполнен путем канонического (первичного) квантования, заключающегося в следующих пунктах:

1. Превращение в соответствующие операторы канонических координат и импульсов.

2. Наложение на получившиеся операторы коммутационных (перестановочных) соотношений:

В случае квантовой теории поля проводится аналогичная процедура под названием вторичное квантование, заключающееся в квантовании полей, а не координат и импульсов. При вторичном квантовании проводятся следующие операции:

1. Операторы канонических координат и импульсов теряют свой статус и вновь являются обычными координатами и импульсами

2. Поля превращаются в соответствующие операторы полей

3. На получившиеся операторы полей и сопряженных с ними импульсных полей накладываются коммутационные соотношения

Аналогично в квантовой теории поля, как и в квантовой механике, существуют квантовые состояния. Но здесь квантовые состояния являются состояниями полей, а не состоянии системы частиц (например, атома как системы ядро-электроны). При воздействии операторов полей на эти квантовые состояния происходит либо уничтожение, либо рождение частицы. В физическом понимании квантование поля представляет собой представление этого поля в виде набора отдельных излучающих осцилляторов, в связи с чем описание квантовой системы с изменяющимся числом частиц основано на квантовом гармоническом осцилляторе.

Квантовый гармонический осциллятор является аналогом классического осциллятора в квантовом мире, где колеблющаяся частица уже не подчиняется механики Ньютона. Для квантового осциллятора можно получить оператор Гамильтона, проведя первичное квантование классическому Гамильтониану:

связаны следующим коммутаторным соотношением:

Дальше можно найти собственные значения и вектора Гамильтониана. Для начала осуществляется переход к новым координатам . Их непосредственная связь со старыми координатами:

Следующим шагом будет подстановка новых значений в Гамильтониан:

Здесь эрмитовы операторы связаны также коммутаторным соотношением:

По сути являются приведенными координатой и импульсом.

Воспользуемся прямым методом Дирака, методом построения векторного пространства динамических состояний системы. Данный метод заключается в построении собственных векторов H при воздействии соответствующими операциями на один из них.

Зададим оператор числа частиц и эрмитово-сопряженные операторы Бозе :

Здесь есть возможность через операторы Бозе выразить приведенные импульс и координату:

При коммутаторном соотношении получаем

Следовательно

Наконец, можно выразить через оператор числа частиц и операторы Бозе сам Гамильтониан. Путем подстановки получаем:

В случае оператора числа частиц воспользуемся :

Тогда получаем Гамильтониан:

Если в домножить обе части на оператор можно получить следующую интересную закономерность:

В итоге оператор уменьшает число частиц ровно на одну. Его называют оператором уничтожения. Если аналогичным образом домножить с обеих сторон на :

То количество частиц, наоборот, увеличивается на единицу. Этот оператор носит название оператора рождения.

Подытожив текущий раздел настоящей выпускной кваливикационной работы, можно сделать следующие выводы:

1. Метод вторичного квантования требуется в случаях, когда число частиц в системе непостоянно и изменчиво при различных процессах, происходящих в этой системе.

2. Оператором уничтожения является тот оператор, при котором волновая функция состояния системы превращается в функцию другого состояния с уменьшенным на единицу числом частиц

3. Оператором рождения является тот оператор, при котором волновая функция состояния системы превращается в функцию другого состояния, но уже с увеличенным на единицу числом частиц

4. Метод вторичного квантования не зависит от статистики Ферми-Дирака или Бозе-Эйнштейна. Различие кроится только в наличие принципа Паули в Ферми статистике и отсутствии данного принципа в статистике Бозе.

3.Модель Хаббарда

Модель Хаббарда является максимально простой моделью для описания взаимодействия частиц в кристаллической решетке. Главным ее назначением стало описание перехода между проводящим состоянием и непроводящим (диэлектрическим) в твердом теле.

Основной характеристикой модели Хаббарда является его гамильтониан, наглядно демонстрирующий возможность перемещения атомов между узлами и их взаимодействие друг на друга в каждом из узлов. На сегодняшний день применение данной модели лежит в физике низких температур, где она максимально точно описывает поведение частиц.

Исходя из стандартного гамильтониана для газа Ферми с кулоновским взаимодействием, Хаббард и получил свою модель:

Первое слагаемое является кинетической частью гамильтониана. Для стандартной кубической решетки . Второе слагаемое описывает кулоновское взаимодействие электронов.

В узкозонных системах электроны сильно локализованы, также имеют большую эффективную массу. Здесь стоит перейти от импульсного представления к оператору узла:

где j описывает базис волновых функций Ваннье. Волновые функции Ванье совпадают с волновыми функциями на узле, их асимптоты являются плоскими волнами, расположенными далеко от самого атома.

Для той же кинетической части гамильтониана воспользуемся обратным преобразованием Фурье, учитывая выражение для узельного оператора:

Следующим шагом будет подстановки получившегося уже в потенциальную часть гамильтониана:

Основная порция энергии электронов в металлах и полуметаллах приходится на их взаимодействие между собой .

Положим, что взаимодействие между электронами только на одном узле:

Тогда выражение для гамильтонинана принимает следующий вид:

И мы получили гамильтониан Хаббарда, по сути описывающий модель Хаббарда.

Первым членом, отвечающим за кинетическую энергию, является выражение, описывающее перескоки электронов на соседние узлы. Здесь перескоки имеют амплитуду . Второй член гамильтонина есть кулоновское отталкивание электронов на узле, имеющим потенциал . Он показывает несостоятельность нахождения частиц с одинаковыми спинами на одном узле.

Для ближайших соседних узлов решетки гамильтониан Хаббарда принимает следующую форму:

Что говорит о том, что модель имеет только лишь параметр в виде матричного элемента перескока на соседний узел t и кулоновское отталкивание на узле U.

Модель Хаббарда и ее вариации используются в сильно коррелированных системах, таких как высокотемпературные проводники, наноструктуры, в различных спиновых системах. Основное назначение модели Хаббарда лежит в описании свойств этих систем, будь то сверхпроводящие свойства, магнитные и другие. Главным достоинством этой модели стало легкое описание системы сильновзаимодействующих электронов, где довольно просто можно установить фазовые переходы между проводящим и диэлектрическим состоянием.

На сегодняшний день по причине трудностей в аналитическом описании хаббардоподобных моделей все чаще пользуются спросом численные расчеты этих моделей. Различные методы, например метод точной диагонализации, помогают в решении данной проблемы.

4.Ферми газ в двумерной оптической решетке

Для начала рассмотрим определение газа Ферми, его свойства и особенности. Ферми газом называется газ, состоящий из частиц с полуцелым спином - фермионов. Частицы в таком газе высоко сконцентрированы, их масса довольно мала. Другим названием Ферми газа является газ Ферми-Дирака по причине его подчинения одноименной статистике Ферми-Дирака, позволяющей рассчитать вероятность нахождения ферми частиц в единице объема всего газа. Такой газ обладает квантовомеханическими эффектами, ярким примером Ферми газа можно назвать электроны в металле (полупроводнике).

Главной особенностью Ферми газа является наличие в нем энергии даже при нулевой температуре. Дело в том, что в отличие от обычного классического Бозе газа (газ Бозе-Эйнштейшна, подчиняется статистике Бозе-Эйнштейна), фермионы в газе Ферми из-за так называемого запрета Паули, не могут находиться в одном энергетическом квантовом состоянии. Каждая частица при Т = 0 займет свое отдельное состоянии с наименьшей энергией. На иллюстрации ниже приведена наглядная демонстрация различия бозе и ферми частиц:

Рис.1. Бозе и Ферми частицы

В итоге, по причине принципа запрета Паули даже при нулевой температуре, в Ферми газе квантовое состояние с нулевой энергией займет только одна частица, остальные распределяются (не обязательно на все, то есть от нуля до одного фермиона на каждое состояние) на состояния с уже имеющейся кинетической энергией, пусть и наименьшей для этого состояния.

Сама статистика Ферми-Дирака позволяет рассчитать среднее количество частиц в состоянии i с энергией при общем количестве различных квантовых состояний с энергией и химическом потенциале , представляющим собой энергию добавления одной частицы:

Химический потенциал при нулевой температуре принимает строго определенное значение энергии Ферми . При высоких же температурах как газ Ферми, так и Бозе газ ведет себя как обычный классический газ. Для того чтобы сохранить квантовые свойства Ферми газа нужно соблюдать значение температуры вырождения , выше которой газ уже становится невырожденным. В качестве примера в металлах температура вырождения равна 10⁴ K, в связи с чем газ Ферми в виде электронов в металлах всегда находится в вырожденном состоянии. На графике ниже можно увидеть зависимость энергетический состояний от количества частиц:

Рис 2. Зависимость энергетических состояний от количества частиц.

Таким образом в случае Ферми газа наибольшую вероятность представляют собой состояния с малой энергией.

Перейдем к такому понятию как оптическая ловушка (иногда также называемая оптический пинцет). Захватывать, перемещать и удерживать микрочастицы обычным максроскопическим механическим способом не представляется возможным по причине малых размеров этих частиц. Оптическая ловушка была призвана решить данную проблему и дать возможность манипулировать объектами в наномасштабах.

Основной принцип работы оптической ловушки происходит еще со школьного курса физики, где говорится о том, что фотон не обладает массой, но обладает импульсом, а значит и давлением. Изменяя направление импульса возникает сила, на принципе действия которой и основана оптическая ловушка. Главным достоинством оптической ловушки является сохранение образца в исходном виде, без каких-либо внутренних и внешних структурных изменений.

Деление на два способа работы оптической ловушки обусловлено соотношением размеров захватываемого объекта и длины волны излучения света, которым этот объект захватывается. В случае, когда размер частицы больше длины волны, на ней рассеивается передаваемая электромагнитная волна и сообщает ей импульс, толкающий ее в направлении интенсивности света (принцип работы градиентной силы). Местоположение захватываемой частицы в этом случае будет около максимальной интенсивности излучения лазера. Таким способом при использовании двух лазеров можно поймать частицу в пространстве и перемещать ее в точке фокусировки этих излучений.

Во втором случае при размерах частицы, меньших, чем длина волны излучения, в ход идет понятие электрического диполя. Попадающее на объект электрического поле наводит на нем электрический дипольный момент, который частица пытается скомпенсировать, вследствие чего она вращается и перемещается так же, как и в первом случае, в сторону изменения интенсивности света по принципу действия градиентной силы. На иллюстрации ниже приведен механизм работы каждого из двух случаев работы оптической ловушки:

Рис 3. Принципы работы оптической ловушки

Принцип оптической ловушки находит применение в создании оптических решеток. Оптическая решетка образуется в результате интерференции встречных лазерных пучков, в процессе которой упорядоченно создаются потенциальные ямы. Потенциальные ямы в свою очередь могут захватить нейтральные атомы, при условии если те достаточно охлаждены. Преимуществом оптической решетки является ее абсолютное отображение картины реального кристалла, где нейтральные атомы играют роль электронов в реальном кристалле. От глубины потенциальных ям зависит возможность частиц перемещаться между соседними ячейками оптической решетки или не перемещаться вовсе, в результате в решетке будет наблюдаться состояние изолятора Мотта. Это перемещение за счет туннельного эффекта будет происходить при достаточной глубине ямы и будет отсутствовать при чрезмерно большой яме.

В то время как в реальных кристаллах типичные размеры решетки довольно крошечные, где атомы расположены рядом друг с другом в нанометровых расстояниях, оптическая же решетка имеет типичные размеры примерно в тысячу раз больше, что обеспечивает увеличенную версию реального кристалла. Эта аналогия открывает огромные возможности для физики твердого тела. Реальные кристаллы невероятно сложны, так как необходимо учитывать множество различных взаимодействий, плюс колебания самой решетки. Поэтому очень трудно объяснить различные экспериментально наблюдаемые явления. С другой стороны, оптическая решетка обеспечивает идеализированную версию кристалла, где взаимодействия можно контролировать и точно настраивать, обеспечивая тем самым тестовый полигон для физики твердого тела, где могут быть исследованы различные теоретические модели. На иллюстрации ниже наглядно показывается получение и наблюдение оптической решетки:

Рис 4. Оптическая решетка.

5.Формулы для расчета фазовых переходов

В настоящей выпускной квалфикационной работе рассматривается квазиодномерная модель двухкомпонентного (два вещества) Ферми-газа при нулевой температуре на одноногих, двух- и трехногих лестницах (количество цепочек частиц в решетке) модели Хаббарда. Построена большая каноническая фазовая диаграмма двухкомпонентного спин-поляризованного газа. Установлено, что структура фазовой диаграммы модели притяжения Хаббарда для двух и трех ног лестницы существенно отличается от структуры фазовой диаграммы одной цепи. Выполняется проверка гипотезы того, что одноцепная модель является частным случаем и что многоцепные лестницы отображают качественные особенности корреляции между одномерным и трехмерным поведением электронов, наблюдаемые в экспериментах с захваченными ультрахолодными газами.

Дадим некоторые пояснения к формулировке задания настоящей выпускной квалфикационной работы.

Электроны в материалах - это заряженные частицы, которые отталкиваются друг от друга через кулоновское взаимодействие, но эффективное притяжение электронов друг с другом может быть создано путем их связи с колебаниями решетки (фононами). Модель Хаббарда описывает решетку с короткодиапазонным (локальным) электронно-электронным взаимодействием U, которое может быть как положительным (отталкивание), так и отрицательным (притяжение). Отталкивающая модель Хаббарда является минимальной моделью для семейства сверхпроводящих материалов и описывает взаимодействие между делокализующими эффектами прыжков электронов и локализующими эффектами отталкивания заряда. Модель Хаббарда притяжения же используется в качестве эффективного описания для некоторых систем с очень сильной электронно-фононной связью и для холодных атомов в оптических решетках. Он был использован для изучения, например, сверхпроводников с сильной связью.

Спиновая поляризация частицы является частным случаем такого общего понятия как поляризация. Спиновая же характеризуется преимущественным направлением спина вдоль какого-то направления. Различают два вида спиновой поляризации: продольная и попереченая. В первом случае спин направлен вдоль импульса частицы, во втором же спин перпендкулерн импульсу.

Квазиодномерной моделью кристалла является модель с цепочечным типом кристаллической упаковки и анизотропными (различными по направлениям) свойствами. Цепочки в такой модели слабо связаны, в связи с чем электроны легко могут перескакивать по цепочке, но с трудом переходят на другие цепочки.

На иллюстрации ниже в качестве примера показана двуногая модель Хаббарда, одна из которых смоделирована в настоящей работе.

Рис 5. Структура и параметры двуногой квадратной решетки Хаббарда.

Структура и параметры двуногой квадратной лестницы Хаббарда (а). Здесь U представляет собой кулоновское отталкивание электронов, а at описывает перемещение электрона по узлам одной цепочки (в случае t представляет собой перескок на другую цепочку).

С одним отверстием (белым кругом), созданным путем удаления частицы со спином вниз (синего круга) из наполовину заполненной спиновой лестницы, общий спин S=1/2 находится на фоне спинового зазора в режиме U/t Мотта (b). Установлено, что такой общий спин S=1/2 распределяется вокруг отверстия в данном месте с альтернативным распределением спинов вверх (красный круг) и вниз (синий круг) (с величиной, составляющей размер каждого полного круга, которая носит название корреляционной функции спин-отверстия). При a=0,4 легированный заряд плотно связан со спином 1/2; напротив, отверстие и спин-1/2 слабо связаны при a=1.

Также стоит отметить, что лестницы могут обладать открытыми граничными условиями (бесконечные цепочки) или периодическими граничными условиями (два конца цепочки замкнуты).

Фазовая диаграмма является типом диаграммы, используемой для отображения условий (давление, температура, объем и т. д.) в которых термодинамически различные фазы (такие как твердое, жидкое или газообразное состояния) происходят и сосуществуют в термодинамическом равновесии (равновесном состоянии, то есть параметры состояния не изменяются во времени, а энтропия максимальна).

Простейшей фазовой диаграммой можно назвать фазовую диаграмму однородной системы, например, воды с зависимостью температура-давление.

На иллюстрации ниже как раз приведена эта фазовая диаграмма:

Рис 6. Пример фазовой диаграммы воды.

Оси соответствуют давлению и температуре. Однофазные области разделены линиями, где происходят фазовые переходы (конденсация-испарение и остальные). Эти линии называются фазовыми границами между тремя фазами твердого тела, жидкости и газа.

Как уже было сказано ранее, в рассматриваемой работе конечным результатом моделирования являются фазовые диаграммы двухкомпонентного ферми-газа с зависимостью химического потенциала и эффективного магнитного поля .

Химический потенциал - это энергия, которая может быть поглощена или высвобождена в результате изменения количества частиц, например, во время фазового перехода. Химический потенциал определяется как скорость изменения свободной энергии термодинамической системы относительно изменения количества частиц, которые добавляются в систему. Таким образом, это частная производная свободной энергии по отношению к количеству частиц. Частицы склонны двигаться от более высокого химического потенциала к более низкому химическому потенциалу. Таким образом, химический потенциал является обобщением "потенциалов" в физике, таких как гравитационный потенциал. Когда шар катится с холма, он движется от более высокого гравитационного потенциала (более высокая внутренняя энергия, следовательно, более высокий потенциал для работы) к более низкому гравитационному потенциалу (более низкая внутренняя энергия). Точно так же, как молекулы (частицы в целом) движутся, реагируют, растворяются, плавятся и т. д., они всегда будут иметь тенденцию естественным образом переходить от более высокого химического потенциала к более низкому, изменяя число частиц, которое является сопряженной переменной к химическому потенциалу.

В каноническом ансамбле (состояния частиц с разной энергией; параметрами сокращенного описания такой системы являются число частиц и средняя энергия) энергия основного состояния модели Хаббарда, рассматриваемой в работе, является функцией от числа частиц со спином вверх и со спином вниз. Отсюда можно определить общее число частиц и общую поляризацию . Аналогично химическому потенциалу, эффективное магнитное поле h выражается как частная производная свободной энергии к общему числу частиц, но только к общей поляризации:

Подытожив все описанное выше теоретическое введение, можно сказать что, рассматриваемая в настоящей выпускной квалификационной работе модель Хаббарда притяжения-U определяется следующим Гамильтонианом:

где оператор создания фермиона со спином на участке i, число оператора частиц; суммирования проходят по участкам LxW W-ногой лестничной решетки длины L. U - локальное взаимодействие Хаббарда между фермионами с противоположными спинами, а t-амплитуда прыжка, которая задается t=1 без потери обобщения. Рассматривается только нулевая температура (T=0) и вычисляются энергии основного состояния с помощью метода DMRG, реализованного в пакете ALPS.

Расчет фазовой диаграммы