Размещено на http://www.allbest.ru/

4

Обеспечение устойчивости программного движения электромеханического манипулятора

А.В. Соколов

Российский университет дружбы народов

Россия, 117198, Москва, ул. Миклухо-Маклая, 6

Исследуются вопросы обеспечения асимптотической устойчивости программного движения электромеханических систем с голономными и неголономными связями. Находятся условия асимптотической устойчивости движения модели трехзвенного управляемого электромеханического манипулятора.

Ключевые слова: движение системы тел; голономные и неголономные связи; асимптотическая устойчивость; трехзвенный электромеханический манипулятор.

асимптотическая устойчивость голономные связи манипулятор

Введение^{Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ, код 10-01-00381}.

© Соколов А. В., 2012

Для изучения динамики манипуляционных роботов, определения конструктивных параметров и законов управления необходимо иметь расчетные механические модели, с достаточной точностью описывающие свойства реальных роботов. Выбор расчетной модели в каждом случае обусловлен кинематической схемой манипулятора, механическими свойствами (инерционными, упругими, диссипативными и т.п.) его деталей и узлов, типом и характеристиками приводов, а также необходимой точностью производимых расчетов.

С математической точки зрения расчетная модель манипуляционного робота представляет собой систему дифференциальных уравнений. Эта модель может содержать уравнения, описывающие также явления немеханической природы, например, элект-рические процессы в цепях электродвигателей приводов.

1. Условия асимптотической устойчивости движения управляемого электромеханического манипулятора

Поставим задачу нахождения условий, обеспечивающих асимптотическую устойчивость программного движения электромеханических систем с голономными и неголономными связями.

Для электродвигателя постоянного тока с независимым возбуждением выполняются соотношения [1]

,(1.1)

,(1.2)

где - угол поворота ведомой шестерни редуктора; - передаточное число редуктора (отношение числа зубьев ведомой и ведущей шестерен); и - соответственно коэффициент индуктивности и электрическое (омическое) сопротивление обмотки ротора электродвигателя; u - управляющее электрическое напряжение; - момент электромагнитных сил, создаваемых двигателем и приложенных к его ротору; - суммарный момент инерции ротора электродвигателя и ведущей шестерни редуктора относительно оси вращения; - момент сил реакции, действующих на ведущую шестерню; k - коэффициент, зависящий от напряжения на входе цепи возбуждения. Предположим, что это напряжение постоянно. Тогда k = const.

При описании динамики манипуляционных роботов обычно используют уравнения Лагранжа второго рода:

.(1.3)

Уравнения (1.1), (1.2) описывают электрические процессы, проходящие в электродвигателе звена манипулятора; (1.3) - динамику звена манипулятора. Аналогичные уравнения можно составить для каждого звена. Уравнения типа (1.1), (1.2), (1.3) можно объединить в систему [2]:

(1.4)

Заданной программой движения манипуляционной системы можно считать ограничения, наложенные на обобщенные координаты и скорости, которые в общем виде можно представить как совокупность уравнений голономных и неголономных связей:

,, (1.5)

В [3] было показано, что для обеспечения асимптотической устойчивости интегрального многообразия , описываемого уравнениями (1.5), следует использовать вместо уравнений связей (1.5) уравнения программных связей:

(1.6)

в которых возмущения связей рассматриваются как переменные, удовлетворяющие дифференциальным уравнениям

(1.7)

где ,

,

Правые части уравнений (1.7) можно выбрать так, чтобы их тривиальное решение было асимптотически или экспоненциально устойчиво [4]. Будем считать, что из асимптотической или экспоненциальной устойчивости тривиального решения

уравнений (1.7) следует соответственно асимптотическая или экспоненциальная устойчивость интегрального многообразия .

Подставим вместо выражение , полученное из (1.4).Тогда будем иметь

(1.8)

Уравнения (1.7) подбираем так, чтобы они удовлетворяли системе дифференциальных уравнений:

 (1.9)

где матрицы имеют размерности: - (mm), - (mr), - (rm), - (rr) - и состоят из коэффициентов, которые подбираются исходя из условий асимптотической устойчивости движения.

Рассмотрим более подробно поиск коэффициентов (матриц коэффициентов) , из (1.9), которые подбираются из условий асимптотической устойчивости движения.

Введем обозначения:

(1.10)

Можно записать уравнения (1.9) в виде

,(1.11)

где в матрице A на соответствующих местах находятся соответствующие блок-матрицы. Функцию Ляпунова представим в виде

,(1.12)

где , , ,

- блок-матрицы соответствующих размерностей.

Так как векторы и матрицы , состоят из скалярных функций и , то будут выполняться равенства . Отсюда следует, что

.

Перепишем функцию Ляпунова (1.12) с учетом изложенного:

(1.13)

Будем искать функцию Ляпунова V в виде [5]

(1.14)

где B,C,D,E,F,G,K,L,M - симметрические матрицы с постоянными коэффициентами. Сравнивая правые части в выражениях (1.12), (1.13), (1.14) для функций V, получим

.(1.15)

Таким образом, , , , , , , , , , остальные .

Найдем производную V . Для этого продифференцируем выражение (1.14). Получим

(1.16)

Подставим в (1.16) вместо и выражения из (1.9):

(1.17)

Производная от функции Ляпунова имеет структуру вида

(1.18)

Распишем подробнее (1.18):



(1.19)

Перегруппируем слагаемые в выражении (1.17) к виду (1.19), тогда получаем вид матрицы Н:

(1.20)

Рассмотрим случай, когда

(1.21)

Тогда матрица Н будет иметь вид

(1.22)

Функцию Ляпунова V и ее производную можно записать еще так:

,

,

где

(1.23)

По теореме Ляпунова об асимптотической устойчивости будем добиваться положительной определенности функции и отрицательной определенности функции . Это эквивалентно требованию положительной определенности матрицы и отрицательной определенности матрицы .

1) Положительная определенность матрицы : главные миноры матрицы удовлетворяют условию

,. (1.24)

2) Отрицательная определенность матрицы : главные миноры матрицы удовлетворяют условию

, i - нечетное, ,

, j - четное, . (1.25)

Таким образом, мы будем иметь условий (1.24), (1.25) типа неравенств, наложенных на искомые коэффициенты матриц , , , и на коэффициенты матриц B,C,D,E,F,G,K,L,M.

В общем случае условий (1.24), (1.25) недостаточно для однозначного нахождения коэффициентов матриц . Поэтому при решении конкретных задач произвольно выберем постоянные коэффициенты матриц B,C,D,E,F,G,K,L,M, а также используем дополнительные условия задачи.

2. Исследование условий асимптотической устойчивости движения трехзвенного управляемого электромеханического манипулятора

Найдем коэффициенты матриц , обеспечивающих асимптотическую устойчивость движения, в задаче попадания схвата трехзвенного электромеханического манипулятора из произвольной точки рабочей зоны - полуплоскость левее прямой x = 6 в точку , минуя препятствие, которое ограничено замкнутой кривой : . К тому же потребуем, чтобы схват манипулятора во время движения был параллелен оси .

Пример задания ограничения на движение схвата манипулятора

Связи голономные и неголономные, накладываемые на движения манипулятора, имеют вид [6]

(2.1)

где координаты схвата x и y выражаются с использованием кинематики через обобщенные координаты :

Уравнения (1.8) примут вид

(2.2)

Уравнения (1.9) примут вид

(2.3)

Уравнения (1.10) примут вид

(2.4)

Будем искать функцию Ляпунова в виде (1.14)

(2.5)

где, , b, c, d, e, f, g - постоянные коэффициенты, , , - матрицы с постоянными коэффициентами, причем , ,.

В уравнении (1.12) , матрица R будет иметь вид

или . (2.6)

Найдем производную . Для этого дифференцируем выражение (2.5).

Получим

(2.7)

Подставим в (2.7) вместо и выражения из (2.3). Производная от функции Ляпунова имеет структуру вида , где из (1.20) получаем матрицу Н вида

(2.8)

Здесь

, , , , ,

, .

Рассмотрим случай, когда

(2.9)

Тогда матрица Н будет иметь вид

или . (2.10)

Функцию Ляпунова и ее производную можно записать еще так:

где

(2.11)

.

где : ,



По теореме Ляпунова об асимптотической устойчивости будем добиваться положительной определенности функции и отрицательной определенности функции . Это эквивалентно требованию положительной определенности матрицы и отрицательной определенности матрицы . Так как и , будем добиваться положительной и отрицательной определенности квадратичных форм и , имеющих вид (2.11) и содержащих коэффициенты

.

1) Для положительной определенности квадратичной формы и отрицательной определенности квадратичной формы необходима положительная и отрицательная определенность матриц и . Из этих условий следует

и . (2.12)

2) Для положительной определенности квадратичной формы и отрицательной определенности квадратичной формы необходима положительная и отрицательная определенность матриц и . Из этих условий следует

и . (2.13)

Найдем частное решение задачи поиска коэффициентов , обеспечивающих асимптотическую устойчивость заданного движения манипулятора. Выберем коэффициенты b, c, d, e, f, g:

b = 8, c = 3, d = 2, e = 4, f =1, g =5. (2.14)

Матрица будет иметь вид

Условия положительной определенности матрицы в (2.12) выполняются.

Матрица будет иметь вид

.

Пусть , , . (2.15)

Тогда .

Условия отрицательной определенности матрицы в (2.12) выполняются.

Пусть

, , , ,

, , , . (2.16)

Матрица будет иметь вид

.

Условия положительной определенности матрицы в (2.13) выполняются.

Матрица будет иметь вид

.

Пусть

, , , , , , , . (2.17)

Условия отрицательной определенности матрицы в (2.13) выполняются.

Таким образом, мы нашли все искомые коэффициенты , , , при помощи которых будет обеспечиваться асимптотическая устойчивость заданного движения (2.1) трехзвенного электромеханического манипулятора. В результате матрица коэффициентов из (2.4) примет вид

(2.18)

Список литературы

Чиликин М.В., Ключев В.И., Сандлер А.С. Теория автоматизированного электропривода. М.: Энергия, 1979.

Соколов А.В. Об управлении движением электромеханического манипулятора // Проблемы механики и управления. Пермь, 2003. Вып. 35. С. 136-151.

Мухарлямов Р.Г. Математическое моделирование динамики несвободных механических систем // Вестн. Рос. ун-та дружбы народов. Сер.: Прикл. математика и информатика. 1996. № 1. С.31-37.

Мухарлямов Р.Г. О построении множества систем дифференциальных уравнений устойчивого движения по интегральному многообразию // Дифференц. уравнения, 1969. Т. 5, № 4. С. 688-699.

Программное движение механических систем / под. ред. А.С.Галиуллина. М., 1971. 158 с.

Соколов А.В. Управление программным движением многозвенного манипулятора // Проблемы механики и управления. Пермь, 2002. Вып. 34. С. 76-93.

Размещено на Allbest.ru