Исследование взаимодействия слоя вязкой жидкости с упругой стенкой на базе одномассовой модели

Размещено на http://www.allbest.ru//

Размещено на http://www.allbest.ru//

Исследование взаимодействия слоя вязкой жидкости с упругой стенкой на базе одномассовой модели

Могилевич Л.И.

Разработана механическая модель для исследований гидроупругих колебаний стенки канала, заполненного вязкой жидкостью. Исследуется влияние торцевого опирания упругой стенки канала на ее резонансные колебания. Канал расположен на вибрирующем основании. Для построения математической модели применяется метод приведенной массы. Разработана математическая модель канала, включающая в себя систему уравнений динамики вязкой жидкости, уравнения динамики стенки канала, с соответствующими краевыми условиями. Решение системы осуществлено методом возмущений. Построены амплитудно-частотные характеристики (АЧХ) стенки канала и давления в слое вязкой жидкости. Проведены расчеты АЧХ стенки канала и давления в жидкости и определены резонансные частоты.

Ключевые слова:гидроупругие колебания, вязкая жидкость, пластина, математическое моделирование, давление, амплитудно-частотные характеристики вязкий жидкость колебание резонансный

INVESTIGATION OF THE INTERACTION BETWEEN THE VISCOUS FLUID AND THE ELASTIC WALL BASED ON A ONE-MASS MODEL

Mogilevich L. I., Popov V. S., Chernenko V.A.

Yuri Gagarin state technical university of Saratov

In this paper we developed a mechanical model for hydroelastic oscillations of channel wall, interacting with viscous liquid. We study the impact of conditions at the edges of channel wall on resonance oscillations. The channel is located on vibrating foundation. The equivalent mass method is used to construct the mathematical model. The mathematical model of the channel has been developed, incorporating a system of fluid dynamics equations, a channel wall equation, with corresponding boundary conditions. The solution of hydroelastic problem has been carried out by perturbation method. The amplitude-frequency characteristics (AFC) of the channel wall and the pressure in the layer of the fluid are constructed. The AFC of the channel wall and the pressure in the fluid have been calculated and resonant frequencies determined.

Keywords: hydroelastic oscillations, a viscous fluid, a plate, mathematical modelling, pressure, amplitude-frequency characteristics

Во многих современных машинах и приборах их упругие элементы конструкций (пластины, балки, оболочки) контактируют с жидкостью [1-9]. В связи с этим появляется необходимость исследования взаимодействия упругих элементов конструкций машин с жидкостью, в условиях вибрации оснований машин и пульсации давления жидкости [10-16].

Введем в рассмотрение следующую механическую модель канала (см. рис. 1), имитирующую указанные условия. В рамках данной модели канал образован параллельными стенками 1,2 и вязкой несжимаемой жидкостью 3 между ними. Стенка 1 абсолютно жесткая, а стенка 2 - упругая пластина. Используя метод приведенной массы, будем моделировать перемещения стенки 2 в рамках одномассовой модели, т.е. будем считать ее жесткой на упругом подвесе. Ширина канала 2?, длина b, при этом считаем, что ширина намного меньше длины, толщина слоя жидкости , амплитуда колебаний стенки 2, где . Введем декартовую систему координат x,у,z. Учитывая вышесказанное, примем длину канала в направлении оси y неограниченной, иными словами будем рассматривать плоскую задачу. Канал будем считать расположенным на вибрирующем основании и ограничимся рассмотрением режима установившихся гармонических колебаний. На торцах канала истечение жидкости будем считать свободным в ту же жидкость с давлением слева и справа.

Закон движения вибрирующего основания запишем как

, (1)

где - амплитуда колебаний основания; щ - частота; t - время.

Тогда виброускорение основания имеет вид: .

Динамика вязкой жидкости в канале описывается системой уравнений Навье-Стокса и уравнением неразрывности [17]:

;

;

, (2)

здесь ,- проекции вектора скорости жидкости на оси координат;

p - давление; с, н - плотность и коэффициент кинематической вязкости жидкости.

Рис. 1. Расчетная схема канала

Краевые условия - условия прилипания жидкости к стенкам канала и условия свободного истечения на торцах [5-9, 15-16] :

, при ;

, при , (3)

при ,

при , (4)

где - закон движения пластины 2.

Уравнение движения стенки 2 представляется в виде

,(5)

где - приведенная масса стенки 2; - приведенная жесткость упругого подвеса, определяются по [6,18,19]. F - сила, действующая со стороны сдавливаемого слоя жидкости на стенку.

Сила F запишется в виде

, (6)

здесь - нормальное напряжение, которое действует со стороны жидкости на пластину-стенку [17].

Введем безразмерные переменные

, , , , , ; ; ; . (8)

Здесь ш, л, Re - параметры, которые характеризуют поставленную задачу.

Подставляя (8) в (3)-(7), получаем задачу гидроупругости в безразмерном виде, которая включает в себя уравнения динамики жидкости:

;

; (9)

,

и уравнения движения стенки канала

, (10)

где - масса жидкости внутри модели.

При этом граничные условия (4), (5) запишутся как

при ;

при ; (11)

при .

Для тонкого слоя жидкости ш << 1. В нулевом приближении по ш уравнения (9) и (10) упрощаются.

Принимая во внимание, что толщина слоя жидкости значительно больше перемещений пластины-стенки 2, можно сказать, что л = o(1), . Тогда в нулевом приближении по л, рассматривая асимптотическое разложение получим линеаризованную задачу динамики жидкости как уравнения

, (12)

и граничные условия

;

; (13)

,

и уравнения движения стенки 2

. (14)

Решение задачи (12) с учетом граничных условий (13) при установившемся гармоническом законе вибрации позволяет записать давление как:

, (15)

где обозначим [7, 11]:

.

Уравнение (14) с учетом решения (15) преобразуется как:

, (16)

где обозначения ; .

Решение уравнения (16) при гармоническом виброускорении основания (2) имеет вид

(17)

где - амплитудные частотные характеристики.

Приведенная масса и приведенная жесткость определены по методу приведенной массы [18, 19]. Рассмотрим консольноеопирание пластины-стенки на торцах, рис. 2. В этом случае по методу приведенной массы будем иметь и .

Здесь - масса пластины; - модуль Юнга материала пластины; - момент инерции пластины относительно оси; - плотность материала пластины.

Для численного моделирования, взяты следующие значения геометрических размеров и физических параметров пластина из стали: , , , , , , , .

Расчет АЧХ осуществлялся в безразмерных величинах в виде в пакете Maple [20], на основе результатов расчетов были построены графики АЧХ при консольном опирании (см. рис. 2).

Рис. 2. Зависимость АЧХ от

Для сравнения также рассмотрим шарнирное опирание на одном торце и жесткое защемление на втором торце пластины-стенки тогда, и . Результаты расчетов АЧХ для данного случая представлены на рис. 3.

Рис. 3. Зависимость АЧХ от

Учитывая безразмерные величины (8), давление в размерном виде запишется

Или

(18)

где .

Принимая во внимание (17), давление запишем как

или

где - АЧХ давления,

Окончательно имеем

. (19)

Выделим из (19) АЧХ давления:

.

Здесь .

Иными словами, получаем, что АЧХ давления примет вид

.

Рассмотрим консольное опирание пластины на торцах. Расчет АЧХ давления производился в пакетеMaple [20]. Результаты расчетов АЧХ давления представлены на рис 4.

Рис. 4. Зависимость амплитудных частотных характеристик от

Во втором случае рассмотрим шарнирное опирание на одном торце и жесткое защемление на втором торце пластины-стенки, тогда и. Результаты расчетов АЧХ давления для данного случая представлены на рис. 5.

Рис. 5. Зависимость амплитудных частотных характеристик от

В заключение можно сказать, что решение поставленной задачи наглядно показывает зависимость резонансных частот от вида опирания упругой стенки, вязкости жидкости и геометрических размеров канала. Были определены амплитудно-частотные характеристики, которые в свою очередь позволяют определить резонансные частоты колебаний и значение исследуемых параметров (амплитуд перемещений стенки и давления в жидкости) на данных частотах. В частности, расчеты АЧХ давления показали, что на резонансных частотах давление жидкости в канале может оказываться в несколько раз меньше давления насыщенного пара.

Следовательно, на резонансных частотах возможно возникновение кавитации, что отрицательно влияет на работу машин и ведет к развитию кавитационной коррозии [21, 22] ее упругих элементов, взаимодействующих с жидкостью.

Выполнено при поддержке РФФИ грант № 16-01-00175-а и грант №15-01-01604-а.

Список литературы

Аврамов К.В., Стрельникова Е.А. Хаотические колебания пластинок при их двустороннем взаимодействии с потоком движущейся жидкости // Прикладная механика. 2014. Т. 50. № 3. С. 86-93.

Amabili M. Vibrations of Circular Plates Resting on a Sloshing Liquid: Solution of the Fully Coupled Problem // Journal of Sound and Vibration. 2001. Vol. 245. № 2. P. 261-283

Askari E., Jeong K.-H.,Amabili M.,Hydroelastic Vibration of Circular Plates Immersed in a Liquid-filled Container with Free Surface // Journal of Sound and Vibration. 2013. Vol. 332. № 12. P. 3064-3085

Башта Т. М. Машиностроительная гидравлика. М.: Машиностроение, 1971. 672 с.

Попова А.А. Математическое моделирование динамических процессов в виброопоре с упругими элементами конструкции // Вестник Саратовского государственного технического университета. 2007. Т. 1. № 4. С. 25-31.

Могилевич Л.И., Попов В.С. Прикладная гидроупругость в машино- и приборостроение. Саратов: Саратовский ГАУ, 2003. 156 с.

Могилевич Л.И., Попов В.С., Попова А.А. Динамика взаимодействия упругих элементов вибромашины со сдавливаемым слоем жидкости, находящимся между ними // Проблемы машиностроения и надежности машин. 2010. №4. С. 322-331

Могилевич Л.И., Д.В. Кондратов Упругогидродинамика машин и приборов на транспорте. М.: РГОТУПС, 2007. 168 с.

Попова А.А. Математическое моделирование процессов взаимодействия вязкой жидкости с тонкостенными ребристыми элементами гидродинамических демпферов и трубопроводов: дис. … канд. техн. наук / СГТУ. Саратов, 2008. 174 с.

Агеев Р.В., Могилевич Л.И., Попов В.С., Попова А.А. Движение вязкой жидкости в плоском канале, образованном вибрирующим штампом и шарнирно опертой пластиной // Тр. МАИ. 2014. № 78.

Агеев Р.В., Кузнецова Е.Л., Куликов Н.И., Могилевич Л.И., Попов В.С. Математическая модель движения пульсирующего слоя вязкой жидкости в канале с упругой стенкой // Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Механика. 2014. № 3. С. 17-35.

Агеев Р.В., Могилевич Л.И., Попов В.С. Колебания стенок щелевого канала с вязкой жидкостью, образованного трехслойным и твердым дисками // Проблемы машиностроения и надежности машин. 2014. № 1. С. 1-8.

Grushenkova E.D., Mogilevich L.I., Popov V.S., Rabinsky L.N., Kuznetsova E.L. Mathematical model of three-layer plate interaction with viscous incompressible liquid layer under foundation vibration // Applied Mathematical Sciences. 2015. Т. 9. № 112. С. 5551-5559.

Могилевич Л.И., Попов В.С. Исследование взаимодействия слоя вязкой несжимаемой жидкости со стенками канала, образованного соосными вибрирующими дисками // Известия Российской академии наук. Механика жидкости и газа. 2011. № 3. С. 375-388.

Popov V.S., Popova A.A., Sokolova D.L. Mathematical modeling of longitudinal oscillations tapered narrow channel wall under pulsating pressure of highly viscous liquid // Applied Mathematical Sciences. 2016. Т. 10. № 53. С. 2627-2635.

Ageev R.V., Mogilevich L.I., Popov V.S., Popova A.A., Kondratov D.V. Mathematical model of pulsating viscous liquid layer movement in a flat channel with elastically fixed wall // Applied Mathematical Sciences. 2014. Т. 8. № 157-160. С. 7899-7908.

Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. М.: Дрофа, 2003. 840 с.

Курс сопротивления материалов // М. М. Филоненко-Бородич, С. И. Изюмов, В. А. Олисов, И.Н. Кудрявцев, Л. И. Мальгинов. М.: Гостехиздат. Ч. 1. 1955. 644 с., Ч. 2. 1956. 539 с.

Могилевич Л.И., Попов В.С. Динамика взаимодействия упругого цилиндра со слоем вязкой несжимаемой жидкости // Изв. Российской академии наук. Механика твердого тела. 2004. № 5. С. 179.

Говорухин В.Н., Цибулин В.Г. Введение в Maple V. Математический пакет для всех. М.: Мир, 1997.

Могилевич Л.И., Попова А.А., Попов В.С., Симдянкин А.А. Исследование влияния кавитационного износа гильз двигателя внутреннего сгорания с водяным охлаждением КамАЗ-740 на их деформацию в блоке // Совершенствование методов гидравлических расчетов водопропускных и очистных сооружений. 2007. № 1 (33). С. 120-126.

Могилевич Л.И., Попов B.C., Попова А.А. Колебания гильзы цилиндра двигателя внутреннего сгорания с водяным охлаждением под действием ударных нагрузок со стороны поршневой группы // Проблемы машиностроения и надежности машин. 2008. № 3.

Размещено на Allbest.ru