Решение нелинейной задачи теплопроводности для двухсвязной пластинки переменной толщины

Размещено на http://www.allbest.ru/

2

РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНОЙ ЗАДАЧИ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ ДЛЯ ДВУХСВЯЗНОЙ ПЛАСТИНКИ ПЕРЕМЕННОЙ ТОЛЩИНЫ

Фомин Владимир Геннадиевич

Саратовский государственный технический университет имени Гагарина Ю.А., Россия, Саратов

УДК 539.3

Аннотация: В работе рассматривается нелинейная задача теплопроводности для двухсвязной пластинки переменной толщины. В качестве методов решения используются аналитический метод и метод конечных элементов. Линеаризация краевой задачи теплопроводности проводится с помощью переменной Кирхгофа. Проводится сравнение результатов для линейной и нелинейной постановок задачи для двух методов.

Ключевые слова: нелинейная задача теплопроводности, пластинка переменной толщины, преобразование Кирхгофа, метод конечных элементов.

переменная Кирхгофа задача теплопроводность

В современной транспортной сфере используется большое количество элементов подверженных тепловому воздействию. Моделирование поведения материалов различных деталей конструкций позволяет спрогнозировать поведение элементов в тех или иных условиях. Учет нелинейности теплофизических свойств материалов способствует увеличению запаса прочности элементов конструкций или узлов, либо уменьшению веса изделий.В данном случае рассматривается тонкая изотропная пластинка переменной толщины, внутренней контур которой и внешний -описываются в безразмерной полярной системе координат уравнениями , где соответствует контуру, а - . Закон изменения толщины пластинки представляется формулой: , здесь ,- известные функции.

Учитывая малую толщину пластинки считаем, что температура не меняется по толщине пластинки. Полагаем, что основания пластинки теплоизолированы, коэффициент теплопроводности материала зависит от температуры, на контурах выполняются условия первого рода:

на

Поле температур находится из решения нелинейного уравнения теплопроводности при условиях (1).

Здесь , где - коэффициент теплопроводности при , (273 К), - температурный коэффициент.

Линеаризацию краевой задачи теплопроводности проводим с использованием переменной Кирхгофа.

, (2)

при этом разрешающее уравнение преобразуется к следующему:

. (3)

Граничные условия для функции примут вид:

на (4)

Решение уравнения (3) построено в работе [1]. Его общий интеграл выглядит следующим образом:

. (5)

Здесь - собственные функции, соответствующие спектру собственных значений ,,…,,… уравнения типа Хилла: , а , - частные решения уравнения

, , - постоянные интегрирования.

, .

В выражении (5) суммирование ведется по всем собственным значениям

,,…,,…

Неизвестные коэффициенты,, входящие в общий интеграл линеаризованного уравнения (5), находятся из граничных условий (4). Для их определения используется метод наименьших квадратов. Тогда решение (5) ограничим конечной суммой

(6)

Интервал изменения полярного угла в исследуемой области разобьем на равных частей . Удовлетворяя граничным условиям (4) в точках контура получим следующую систему уравнений:

(7)

Здесь и - координаты - ой точки соответственно на контурах и : , - шаг деления интервала изменения полярного угла . Число неизвестных в системе (7) в 2-3 раза меньше количества уравнений, и определяются они методом наименьших квадратов, который приводит к системе уравнений с неизвестными.

После определения постоянных интегрирования , общее решение (6) становится известным. Обратный переход к функции температур осуществляется по формуле

. (8)

Для сравнения полей температур краевая задача (3), (4) была решена другим способом - методом конечных элементов.

В этом случае интегрирование уравнения (3) в декартовой системе координат эквивалентно нахождению экстремуму функционала

.

Для отыскания минимума функционала область разбивалась на треугольные элементы по той же схеме, что и в работе [2],

,где - число элементов,

,- средняя толщина элемента.

В пределах каждого элемента функция аппроксимировалась линейным сплайном .

Обратный переход от функции к функции температур осуществлялся по формуле (8).

В качестве примера рассмотрена квадратная пластинка переменной толщины с центральным эллиптическим отверстием из титанового сплава ВТ6 со следующими характеристиками:

, .

Закон изменения толщины пластинки определялся следующей зависимостью: ,

, ,

где- толщина пластинки на расстоянии от начала координат,

- толщина пластинки на расстоянии от начала координат,

и - полуоси эллипса, - половина стороны квадрата.

Соотношение геометрических параметров квадратной пластинки с эллиптическим отверстием:

, , .

Значения температур на контурах,

на :, (273 К), на : , (673 К).

величина на принималась равной 0,25 , значение .

Учет неоднородности теплофизических свойств материала вносит поправку в значения температур до 19%. Максимальное расхождение между аналитическим методом и методом конечных элементов не превышает 4%.

Библиографический список:

1.Фомин В.Г. Пластинки сложного очертания под действием температурного поля.Aвтореф.дисс.… к. ф.-м. н. Саратов. 1991. 20 с.

2.Фомин В.Г. Моделирование двухсвязной пластинки, находящейся в поле температур под воздействием агрессивной среды. //Математические методы в технике и технологиях - ММТТ-29 [текст]: сб. трудов XXIX Междунар. науч. конф.: в 12 т. Т.2. / под общ. ред. А.А. Большакова. - Саратов: Саратов. гос. техн. ун-т; Санкт-Петербург: СПбГТИ(ТУ), СПбПУ, СПИИРАН; Самара: Самарск. гос. техн. ун-т, 2016. 230 с.С.83-85.

Размещено на Allbest.ru