Расчет стержня кругового очертания с жесткими закреплениями по концам на радиальную нагрузку

Размещено на http://www.allbest.ru/

ФГБОУ ВО «Саратовский государственный технический университет имени Гагарина Ю.А», Россия, Саратов

Расчет стержня кругового очертания с жесткими закреплениями по концам на радиальную нагрузку

Шагивалеев Камиль Фатыхович

Сурнин Дмитрий Аркадьевич

Круговые стержни находят широкое применение во многих областях современной техники: промышленном и гражданском строительстве, мостостроении, машиностроении, судостроении, самолетостроении, строительстве специальных сооружений и т. д. Поэтому совершенствование методов расчета таких стержней представляет для строительной механики практический интерес.

Круговой стержень рассчитывают независимо для нагрузок в плоскости стержня и из его плоскости. Поэтому расчет стержня следует начинать с разложения внешних нагрузок по трем направлениям: радиальном, тангенциальном и по бинормали. Затем следует перенести все нагрузки в данном сечении на ось стержня с добавлением соответствующих изгибающих и крутящих моментов.

Обозначения, положительные направления перемещений, усилий и моментов, допущения, дифференциальные зависимости приняты в соответствии с работой [1]. Основные дифференциальные зависимости расчета плоского кругового стержня имеют вид:

(1-3)

Отсюда видно, что после проектирования внешней нагрузки на плоскость стержня и перпендикулярно к ней уравнения распадаются на две независимые группы: левая группа уравнений описывает изгиб стержня в его плоскости, а правая - из его плоскости.

Рассмотрим изгиб кругового стержня, имеющего по концам жесткие закрепления и нагруженного в его плоскости на участке равномерно распределенной радиальной нагрузкой q (рис.1):

(4)

Рис. 1. Изгиб кругового стержня

Граничные условия при рассматриваемом способе опирания стержня имеют вид: при

(5)

Продифференцируем по первое уравнение системы (1) и из полученного результата вычтем второе уравнение системы (1), при будем иметь:

 ( (6)

Для решения дифференциального уравнения (6) применим операционное исчисление, связанное с преобразованием Лапласа [2]. Полагая , по теореме дифференцирования оригинала [2] получим:

((7)

где - комплексный параметр;

- произвольные постоянные.

Изображение для рассматриваемой нагрузки (4) имеет вид [2]:

((8)

Переходя в уравнении (6) от оригиналов к изображениям (7),(8), получим операторное уравнение:

. ((9)

Из (9) находим:

((10)

Переходя в выражении (10) от изображений к оригиналам [2], получим искомое решение:

 ((11)

где - единичная функция, которая при равна 1 и при равна 0;

- единичная функция, которая при равна 1 и при равна 0.

Обращаем внимание на то, что единичные функции и приняты только для сокращения записи выражения.

Так, например, если записать выражение для без единичных функций, то будем иметь:

на участке (12)

на участке

на участке

Из первого уравнения системы (1) найдем:

( (13)

Учитывая (11), будем иметь:

 (14)

Выразив в третьем уравнении системы (1) через перемещение , а вместо подставив выражение (14), будем иметь:

(15)

Для решения дифференциального уравнения (15) применим операционное исчисление, связанное с преобразованием Лапласа [2]. Полагая и учитывая граничные условия при (5), по теореме дифференцирования оригинала [2] получим:

(16)

где - произвольная постоянная.

Переходя в уравнении (15) от оригиналов к изображениям (16), получим операторное уравнение, из которого найдем :

 (17)

Переходя в выражении (17) от изображений к оригиналам [2], получим искомое решение:

(18)

Имея , по дифференциальным зависимостям (1) можно записать выражения для перемещений, усилий и моментов.

Произвольные постоянные находим из граничных условий при (5). Ввиду громоздкости все операции не приводятся.

Окончательно решение уравнения (15) имеет вид:

 (19)

Выражения для перемещения момента и усилий:

(20)

Выражения (19), (20) получены в общем виде. Они позволяют рассчитать круговой стержень в его плоскости при любом положении равномерно распределенной радиальной нагрузки q по длине стержня, при различных размерах участка нагружения и при различных значениях центрального угла .

Результаты работы могут найти применение в научных и проектных организациях.

Библиографический список

стержень круговой очертание

1. Прочность, устойчивость, колебания: Справочник. Т.1.М.: Машиностроение, 1968. - 831 с.

2. Араманович И.Г. Функции комплексного переменного. Операционное исчисление. Теория устойчивости / И.Г. Араманович, Г.Л. Лунц, Л.Э. Эльсгольц. - М.: Наука, 1968. - 416 с.

Размещено на Allbest.ru