Математическое моделирование колебаний стенки вибрационного кавитатора на базе одномассовой модели

Размещено на http://www.allbest.ru//

Размещено на http://www.allbest.ru//

ФГБОУ ВПО «Саратовский государственный технический

университет имени Гагарина Ю.А.»

Математическое моделирование колебаний стенки вибрационного кавитатора на базе одномассовой модели

Черненко Александр Викторович

Произведено исследование взаимодействия вязкой несжимаемой жидкости, находящейся в канале, с упругой стенкой канала, при условия вибрации основания канала. Найдены закон движение стенки канала, амплитудная частотная характеристика стенки канала при шарнирном опирание, определена резонансная частота колебания.

Ключевые слова: гидроупругие колебания, вязкая жидкость, пластина, оболочка, математическое моделирование.

Chernenko Alexander Victorovich

Federal State Educational Institution of Higher Professional Education Yuri Gagarin State Technical University of Saratov

Russia, Saratov

Undergraduate

E-mail: 3chav@mail.ru

MATHEMATICAL SIMULATION OF OSCILLATIONS OF CAVITATOR WALL VIBRATION ON THE BASIS SINGLE-MASS MODEL

Investigated the interaction of a viscous incompressible fluid in a channel with elastic wall of the channel, under conditions of vibration the base of the channel. Found the law of motion of the duct wall, am plitochnaya frequency response of the channel wall when the pivot bearing, defined resonant frequency oscillations was found.

Keywords: hydroelastic oscillations, viscous liquid, plate, shell, mathematical modeling.

вибрационный кавитатор колебание

Работа ряда вибрационных машин происходит в условиях взаимодействия их рабочих элементов с жидкостью [1-6]. Вследствие этого, возникает необходимость изучения взаимодействия рабочих элементов машин с жидкостью, находящейся между этими элементами, при условии вибрации элементов (канала) и пульсации давления жидкости [7-11].

Рассмотрим схему вибрационного кавитатора, который может быть использован для обеззараживания жидкости [12]. Схема кавитатора представлена на рис.1. Стенки 1,2 образуют канал, который заполнен вязкой несжимаемой жидкостью 3. Стенка 2 обладает упругой податливостью и на основе метода приведенной массы моделируются одномассовой моделью, т.е. жесткой стенкой с упругим подвесом [4,11,13]. Ширина канала 2? значительно b, его длины, а толщина слоя жидкости значительно больше амплитуды колебания стенки. Назначим декартовую систему координат x,у,z. Так как длина принята не ограниченная по оси у, то математическая модель переходит к плоской задачи. Модель располагается на виброосновании, которое совершает гармонические колебания. На торцах канала наблюдается свободное истечение в полости с давлением слева и справа.

Закон движения вибрирующего основания представим в виде :

, (1)

здесь - амплитуда колебаний основания; щ - частота; t - время.

Динамика вязкой жидкости, находящейся в канале между стенками плоского канала описывается системой уравнений Навье-Стокса и неразрывности [4, 14, 15]:

;

; ,(2)

где , - проекции вектора скорости жидкости на оси координат;

p - давление; с, н - плотность и коэффициент кинематической вязкости жидкости.

Рис.1 Расчетная схема вибрационного кавитатора

Краевые условия - условия прилипания жидкости к стенкам и условия свободного истечения на левом и правом торце[2, 4, 6, 13] :

, при ; , при ,(3)

при , при ,(4)

здесь - закон движения стенки 2.

Уравнения движения стенки 2 имеет следующий вид :

,(5)

здесь - приведенная масса стенки 2; - приведенная жесткость упругого подвеса стенки 2, определяются по [3,16,17]. F - сила, действующая со стороны сдавливаемого слоя жидкости на пластину.

Выражения для силы F запишется как :

, (6)

здесь - нормальное напряжение, действующее со стороны жидкости на стенку [15].

Введем безразмерные переменные

, , , , , ; ; ; . (8)

Здесь ш, л, Re - параметры, характеризующие задачу.

Подставляя (8) в (3)-(7) получаем задачу упругогидродинамики в безразмерном виде, включающую в себя уравнения динамики жидкости

;

; (9) ,

и уравнения движения стенок канала

, (10)

где - масса жидкости в канале.

При этом граничные условия (4), (5) запишутся в виде

при ; при ;(11)

при .

3. Для тонкого слоя жидкости ш << 1. В нулевом приближении по ш уравнения (9) и (10) упрощаются, так как в них можно положить .

Учитывая, что перемещение стенки 2 значительно меньше толщины слоя жидкости, можно утверждать, что л = o(1), . Тогда в нулевом приближении по л, рассматривая асимптотическое разложение получим линеаризованную задачу динамики жидкости в виде уравнений [2,3,4]

, (12)

и граничных условий

; ; (13)

,

и уравнения движения абсолютно жестких тел (стенки 2)

. (14)

Решение задачи (12) с учетом граничных условий (13) при установившемся гармоническом законе вибрации позволяет записать давление в виде

, (15)

где введены обозначения [3, 4]:

.

Уравнение (14) с учетом решения (15) примет вид

,(16)

здесь введены обозначения по [4,13] ; .

Решение уравнения (16) при гармоническом виброускорении основания (2) имеет вид

(17)

где -амплитудные частотные характеристики.

Приведенная масса и приведенная жесткость определены по методу приведенной массы [16, 17]. Рассмотрим шарнирное опирание пластины на торцах [18] в этом случае по методу приведенной массы будем иметь и .

Здесь - масса пластины; - модуль Юнга материала пластины; - момент инерции пластины относительно оси; - плотность материала пластины.

Также для расчета было принято, что стенка канала выполнена из стали с параметрами , , , , , .

Расчет амплитудно-частотных характеристик производился в безразмерных величинах в виде в программе Maple [19], на основе полученных амплитудно-частотных характеристик был построен график в зависимости от при шарнирном опиранием.

Рис. 2 Зависимость амплитудных частотных характеристик от

По полученным результатам при моделирование колебаний стенки вибрационного кавитатора на базе одномассовой модели можно сделать вывод, что предложенная математическая модель имеет практическое значение. Можно создать установку для обеззараживания жидкости на основе эффекта кавитации, созданного в результате упругих колебаний стенок [12]. Это актуальная тема для дальнейшей работы по возможности создания технологии очистки на базе эффекта вибрационной кавитации.

Приношу благодарность своему научному руководителю профессору Попову В.С. за постановку задачи и полезные обсуждения

Литература

Башта Т. М. Машиностроительная гидравлика. М.: Машиностроение, 1971. 672 с.

Попова А.А. Математическое моделирование динамических процессов в виброопоре с упругими элементами конструкции // Вестник Саратовского государственного технического университета. 2007. Т. 1. № 4. С. 25-31.

Могилевич Л.И., Попов В.С. Прикладная гидроупругость в машино- и приборостроение. Саратов: Саратовский ГАУ, 2003. 156 с.

Могилевич Л.И., Попов В.С., Попова А.А. Динамика взаимодействия упругих элементов вибромашины со сдавливаемым слоем жидкости, находящимся между ними // Проблемы машиностроения и надежности машин. 2010. №4. С. 23-32

Могилевич Л.И., Д.В. Кондратов Упругогидродинамика машин и приборов на транспорте. М.: РГОТУПС, 2007. 168 с.

Попова А.А. Математическое моделирование процессов взаимодействия вязкой жидкости с тонкостенными ребристыми элементами гидродинамических демпферов и трубопроводов. Диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук / Саратовский государственный технический университет. Саратов, 2008. 174 с.

Агеев Р.В., Могилевич Л.И., Попов В.С., Попова А.А. Движение вязкой жидкости в плоском канале, образованном вибрирующим штампом и шарнирно опертой пластиной // Труды МАИ. 2014. № 78.

Агеев Р.В., Кузнецова Е.Л., Куликов Н.И., Могилевич Л.И., Попов В.С. Математическая модель движения пульсирующего слоя вязкой жидкости в канале с упругой стенкой // Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Механика. 2014. № 3. С. 17-35.

Агеев Р.В., Могилевич Л.И., Попов В.С. Колебания стенок щелевого канала с вязкой жидкостью, образованного трехслойным и твердым дисками // Проблемы машиностроения и надежности машин. 2014. № 1. С. 3-11.

Grushenkova E.D., Mogilevich L.I., Popov V.S., Rabinsky L.N., Kuznetsova E.L. Mathematical model of three-layer plate interaction with viscous incompressible liquid layer under foundation vibration // Applied Mathematical Sciences. 2015. Т. 9. № 112. С. 5551-5559.

Могилевич Л.И., Попов В.С. Исследование взаимодействия слоя вязкой несжимаемой жидкости со стенками канала, образованного соосными вибрирующими дисками // Известия Российской академии наук. Механика жидкости и газа. 2011. № 3. С. 42-55.

Черненко А.В. Обеззараживание жидкости на основе эффекта вибрационной кавитации // Совершенствование методов гидравлических расчетов водопропускных и очистных сооружений. 2014. Т. 1. № 1 (41). С. 88-92.

Ageev R.V., Mogilevich L.I., Popov V.S., Popova A.A., Kondratov D.V. Mathematical model of pulsating viscous liquid layer movement in a flat channel with elastically fixed wall // Applied Mathematical Sciences. 2014. Т. 8. № 157-160. С. 7899-7908.

Козлов В.Г. Устойчивость периодического движения жидкости в плоском канале // Изв. АН СССР. МЖГ. 1979. № 6. С. 24-32.

Лойцянский Л.Г. механика жидкости и газа. М.: Дрофа, 2003. 840с.

Курс сопротивления материалов // М. М. Филоненко-Бородич, С. И. Изюмов, В. А. Олисов, И. Н. Кудрявцев, Л. И. Мальгинов. М.: Гостехиздат. Ч. 1, 1955. 644 с., Ч. 2, 1956. 539 с.

Могилевич Л.И., Попов В.С. Динамика взаимодействия упругого цилиндра со слоем вязкой несжимаемой жидкости // Известия Российской академии наук. Механика твердого тела. 2004. № 5. С. 179.

Попова А.А. Взаимодействие шарнирно закрепленной пластины со слоем вязкой жидкости // Научные труды SWorld. 2014. Т. 29. № 4. С. 3-5.

Говорухин В.Н., Цибулин В.Г. Введение в Maple V. Математический пакет для всех. М.: Мир, 1997.

Размещено на Allbest.ru