Решение задачи самосинхронизации системы из двух осцилляторов

Размещено на http://www.allbest.ru/

ТарГУ им. М.Х. Дулати

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ О САМОСИНХРОНИЗАЦИИ СИСТЕМЫ ИЗ ДВУХ ОСЦИЛЛЯТОРОВ

Яхизова Ф.А., Джакашова Э.А.

Условия существования и устойчивости синхронных движений вибровозбудителей обычно получают на основе анализа дифференциальных уравнений движения системы. Для этого следует определить, при каких условиях исходная система имеет решение вида:

(1.0)

где S - число вибровозбудителей в системе;

- Угловые координаты роторов вибровозбудителей;

- синхронная частота;

- Число, принимающее значение I, в зависимости от направления вращения -го ротора;

- Фазовый угол -го ротора (в общем случае =const).

Для выяснения условий, при которых в исходной системе существуют устойчивые решения вида (1.0), чаще всего используют метод малого параметра Пуанкаре-Ляпунова [1]. Суть его применительно к задаче самосинхронизации заключается в том, что некоторые члены уравнений исходной системы полагают сколь угодно малыми и присваивают им соответственно бесконечное малый порядок . При этом параметр обязательно вводят в члены уравнений, описывающие взаимодействие вибровозбудителей в системе. Затем, пренебрегая малыми членами уравнений (полагая =0), переходят к решению упрощенной, так называемой порождающей системы, из которой определяют периодические решения с периодом Т = 2 / с точностью до произвольных постоянных =(1,…. S) Последние находят из специальных уравнений, полученных с учетом предположения, что . может принимать сколь угодно малые значения. Эти условия устанавливающие определенное соотношение между разовыми углами вращений роторов, называют условиями существования синхронных движений исходной системы.

Приведенные выше методы решения задачи самосинхронизации вибровозбудителей показывают, что сложность нахождения условий существования и устойчивости синхронных движений определяется, прежде всего видом исходной системы. Для квазилинейных систем эти условия часто могут быть получены в аналитической форме. В ряде случаев допускаются аналитические решения и для некоторых нелинейных систем. В общем же случае решение может быть получено лишь расчетом системы на ЭВМ.

Систематическое изложение теории синхронизации вибровозбудителей, а также обзор соответствующих исследований приведены в книгах И.И.Блехмана [2].

Использование явления самосинхронизации открывает возможности значительных усовершенствований приводных устройств вибрационных машин, позволяет устранить сильно шумящие и быстро изнашивавшиеся зубчатые зацепления, цепные передачи, карданные валы. Оказывается возможным располагать вибровозбудители на значительных расстояниях друг от друга и т.п.

Наряду с этим, в вибрационной технике существует еще одна широкая область технических применений эффекта самосинхронизации. Речь идет о возможности соединения отдельных резонансных вибромашин в единую систему, совершающую периодические колебания. Такая задача оказывается чрезвычайно актуальной при создании тяжелых резонансных вибромашин технологического назначения. При её положительном решении появляется возможность быстрого изменения увеличения размеров рабочих органов резонансных вибрационных машин, а также перехода к их секционированию. Для решения этой задачи узловое значение играет следующая теорема [3]. Рассмотрим две упругие дискретные одномерные системы, описываемые следующими линейными дифференциальными уравнениями о постоянными коэффициентами

 (1.1.)

(1.2.)

самосинхронизация вибровозбудитель синхронный вибрационный

В дальнейшем через будем обозначать матрицы коэффициентов системы (1.1) и (1.2)

Теорема, Пусть имеются две упругие системы, определяемые матрицами коэффициентов пусть существует такая частота Р₀, что

где E - единичная матрица (т.е. Р₀ является частотой собственных колебаний каждой из систем). Тогда при соединении любых двух масс принадлежащих разным системам, упругой связью произвольной жесткости. Частота Р₀ будет частотой собственных колебаний объединенной системы. Тогда система оказывается связанной и её характеристическое уравнение можно приставить в виде:

где б и в некоторые постоянные, а J_ij- матрица, находящийся на пересечении -ой строки и -го столбца, равен единице. Остальные элемненты этой матрицы равен нулю.

Характеристическая матрица в данном случае представлена в коагулированном виде. Требуется показать, что Р₀- является частотой собственных колебаний системы, т.е., что

Соотношения (1.4) позволяют получить такую линейную комбинацию первых отрок, которая при сложении с S ой строкой приводить характеристический определитель к виду

Определите коагулированной матрицы может быть вычислена на основе соотношения

При условии, что

Так как в случае (1.5) нулевая матрица, а det , согласно (1.3), равен нулю, то и теорема доказана.

Данная теорема утверждает, что, если имеются две вибрационные машины о резонансной настройкой на одну и ту же частоту, то резонансная настройка сохраняется и после того, как эти машины будут некоторым образом, объединены в одну общую систему.

Литература

1. Ляпунов А.М. Общая задача об устойчивости движения. М. Гостехиздат, 1980. 471 с.

2. Крюков Б. М. Динамика существенно- нелинейных систем. М. Машиностроение 1978. 270 с.

3. Крюков Б.И. Самосинхронизация вибромашин. М. Журнал. Машиностроение 1987г. №2.

Размещено на Allbest.ru