Задачі прогнозування виникають при підтримці прийняття рішень в багатьох галузях, зокрема при прийнятті рішень щодо визначення параметрів технічних рішень при проектуванні технічних систем. При цьому розробник має одержати інформацію щодо деяких характеристик системи (наприклад, надійність, вартість, тощо) при заданих значеннях інших параметрів (наприклад, продуктивність, пропускна спроможність, швидкодія, тощо). З цією метою доречно використати досвід експерта відносно прийняття аналогічних рішень. У [1] запропоновано метод використання досвіду експерта, що базується на прогнозуванні параметрів рішень з використанням методу багатовимірної лінійної екстраполяції (БЛЕ) [2]. У цій статті пропонується модернізація методу БЛЕ на основі використання додаткової експертної інформації щодо характеру взаємовпливу параметрів з метою підвищення точності прогнозування і якості рішень, що приймаються.

Сутність методу

Зформулюємо задачу прогнозування. Дано:

1) інформація відносно k об'єктів, які в подальшому називаються прецедентами: X_1, X₂,.,X_k Rⁿ - n-вимірні лінійно-незалежні вектори параметрів прецедентів; k < n + 1; y₁, y₂,., y_k R - множина значень параметра прецедентів, який використовується при прийнятті рішення;

2) інформація відносно об'єкту, що проектується: вектор X_k+1 Rⁿ Треба знайти y_k+1 R - прогнозоване значення параметра, який використовується при прийнятті рішення, для об'єкта, що проектується. (Далі вектори X_1, X₂,.,X_k,X_k+1 Rⁿ називаються векторами умов).

Значення прогнозованого параметру на будь-якому векторі умов дорівнюють значенню прогнозуючої функції. Складність вирішення задачі прогнозування полягає в тому, що існує принципово нескінчена множина G прогнозуючих функцій F, значення яких на векторах умов прецедентів точно співпадають зі значеннями прогнозованого параметру для цих прецедентів, а на векторі умов, який задає систему, що проектується, відмінні від його істинного значення. Тому для підвищення точності прогнозування необхідно зменшити потужність множини G прогнозуючих функцій, яка в ідеальному випадку містить всього одну функцію. Таке скорочення потужності множини G може бути досягнуте за рахунок використання апріорних знань експертів відносно залежності параметру що прогнозується від інших. На цьому, власне кажучи, базується метод регресійного аналізу, в якому залежність, що відшукується, визначається як зважена сума функцій певного типу (наприклад, поліноміальна екстраполяція). Проте це можливо далеко не завжди і тільки тоді, коли експерт в змозі визначити таку залежність, виходячи з об'єктивних законів природи.

Стосовно задачі прогнозування параметрів технічних рішень, особливо їх надійності та вартості, така можливість є дуже сумнівною.

В той же час від експерта може бути отримана інформація відносно деяких властивостей прогнозуючої функції F. До таких властивостей відносяться:

знак значень функції F на усіх векторах умов;

зростає, чи зменшується F при збільшенні параметру x_i, тобто знак похідної F/x_i);

зростає, чи зменшується швидкість зміни F при збільшенні параметру x_i, (тобто знак другої похідної ²F/x²_i).

Таким чином, будемо шукати прогнозуючі функції серед класів функцій, які мають визначені експертом знаки значень та першої і другої похідних по кожному із складових вектору умов. Метод повинен бути придатним і коли експерт не в змозі визначити всі чи частину вказаних властивостей.

Сутність методу, що пропонується, полягає в тому, що значення складових x_i i = (1, n) векторів умов замінюються частковими прогнозуючими функціями f_i (x_i), властивості яких визначено у перебігу діалогу з експертом.

Формуються набори Q₁, Q_2,… Q_q часткових прогнозуючих функцій, причому кожний такий набір є декартовий добуток множин часткових прогнозуючих функцій. В якості часткових прогнозуючих функцій застосовуються однопараметричні функції, які мають властивості, визначені у перебігу діалогу з експертом. Така мінімальна кількість параметрів функцій забезпечує можливість обчислення їх при малій кількості прецедентів, що розширює межі практичного застосування методу. Накладемо на часткові прогнозуючі функції f_ih (_i,x_ij) таку вимогу:

1 i (n - 1); 1 j k, 1 h q [f_ih (0,x_ij) = x_ij], (1)

де n - кількість параметрів прецедента, причому n-ий параметр вважається прогнозованим; k - кількість прецедентів; q - кількість наборів прогнозуючих функцій.

Неважко побачити, що виконання цієї умови призводить до того, що при рівності нулю параметрів всіх часткових прогнозуючих функцій результати прогнозування пропонованим методом співпадають з результатами прогнозування методом БЛЕ, тобто метод БЛЕ є частковим випадком методу, що пропонується.

Пропонується визначати параметри часткових прогнозуючих функцій у такий спосіб.

Множина U прецедентів потужністю k розділяється на навчальну множину U_н потужністю (k - 1), та перевіряючу підмножину U_п, яка містить єдиний прецедент з вектором параметрів X_k. Параметри часткових прогнозуючих функцій визначаються спочатку, виходячи з умови найменшої помилки прогнозування параметрів прецедента X_k-1 на основі перших (k - 2) прецедентів. На наступному етапі з одержаних таким чином прогнозуючих функцій вибираються ті, що забезпечують мінімальну помилку прогнозування прецедента X_k по (k - 1) - му прецеденту. Цей спосіб прогнозування здійснюється за таким алгоритмом.

Алгоритм.

1. i: = 1; h: = 1.

2. У матриці (2) параметрів прецедентів, яка представлена таблицею,

кожний елемент x_{j, i}, j (1, k) замінюється на f_ih (_i, x_{j, i}), де f_ih - часткова прогнозуюча функция по i-му параметру з набору функцій Q_h; _{i -} невідомий параметр прогнозуючої функції.

2. Аналогічно тому, як це виконується для методу БЛЕ [2], конструюється лінійний простір {Xⁱ} для перетвореної таким чином матриці параметрів прецедентів:

(2)

де X_{r -} вектор параметрів r-го прецедента (r-ий вектор-рядок перетвореної матриці параметрів прецедентів).

3. Задається функція відстані побудованого лінійного простору Xⁱ до вектору X_k-1 параметрів (k - 1) - го прецедента, що розглядається, як прецедент, параметри якого прогнозуються:

Ф (Xⁱ,X_k-1) =X^{i -} X_k-1² (3)

прогнозуюча функція часткова експертна інформація

4. Для визначення параметру _i часткової прогнозуючої функції і параметрів _ij

j = (1, k - 2), які задають вектор параметрів X₀ⁱ, що має у просторі Xⁱ найменшу відстань до вектору X_k-1, вирішується система рівнянь

(4)

Перші (k - 2) рівнянь системи (4) визначають умови мінімуму відстані вектору X₀ⁱ від простору Xⁱ, а останнє - умову точного прогнозування значення параметру y_k-1. Таким чином, маємо (k - 1) невідомих і (k - 1) рівняння, що при умові лінійної незалежності рівнянь є необхідною умовою існування єдиного рішення системи рівнянь. Якщо система (4) виявиться несумісною, то можна скористатися відомими методами визначення приблизного рішення системи, яке, наприклад, мінімізує суму квадратів похибок.

5. Матриця (2) прецедентів перетворюється таким чином: у клітини стовпчика параметру x_i записуються значення функцій f_i,h (_i,x_ji), j = (1, k), що обчислюються згідно зі знайденим в результаті рішення системи рівнянь (4) і заданим значенням x_ji.

6. i: = i + 1;

7. Якщо i n - 1, то п.2, інакше п.8.

8. h: = h + 1;

9. Якщо h q, то п.10,інакше п.11.

10. i: = 1 перейти до п.2.

11. Кінець.

Таким чином, в наслідок виконання алгоритму одержуємо множину матриць прецедентів, перетворених згідно з різними наборами часткових прогнозуючих функцій. Далі визначається оптимальний набір часткових прогнозуючих функцій. Для цього, використовуючи метод БЛЕ, прогнозують значення параметру y_k прецедента X_k, який утворює перевіряючу підмножину, і вважають оптимальним той набір часткових прогнозуючих функцій, який забезпечує мінімальну відносну похибку прогнозування. Саме цей набір функцій використовується для прогнозування параметрів системи, що проектується.

Експериментальна перевірка запропонованого методу для прогнозування реальних технічних пристроїв (зокрема накопичувачів на жорстких магнітних дисках) показала, що запропонований метод в усіх експериментах забезпечував меншу (1 - 5 % при кількості прецедентів 5), ніж при застосуванні методу БЛЕ, відносну похибку прогнозування.

Висновки

1. Тоценко В.Г. Підтримка прийняття рішень, що повторюються з урахуванням досвіду // Реєстрація, зберігання і оброб. даних. - 1999. - Т.1. - №1. - С.110-117.

2. Растригин Л.А., Пономарев Ю.П. Экстраполяционные методы проектирования и управления. - М.: Машиностроение, 1986. - 117 c.

Размещено на Allbest.ru