Нелинейный анализ цифровых систем фазовой автоподстройки частоты
Бифуркационные эффекты, возникающие в одномерных дискретных динамических системах, описывающие фазовую автоподстройку частоты в цифровых системах. Для рассмотренного неунимодального отображения наблюдается эффект сходимости бифуркационных значений.
| Рубрика | Производство и технологии |
| Вид | статья |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 15.01.2019 |
| Размер файла | 836,2 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Нелинейный анализ цифровых систем фазовой автоподстройки частоты
Кудряшова Е.В., кафедра прикладной кибернетики СПбГУ, kudryashova_lena@mail.ru
Кузнецова О.А., кафедра прикладной кибернетики СПбГУ, o_a_kuznetsova@mail.ru
Селеджи С.М., кафедра прикладной кибернетики СПбГУ, ssm@SS1563.spb.edu
Проблемы синхронизации систем возникают в различных областях науки и техники, в таких, например, как системы фазовой автоподстройки (ФАП). В работе рассматриваются бифуркационные эффекты, возникающие в одномерных дискретных динамических системах, описывающих фазовую автоподстройку частоты в простейших цифровых системах ФАП.
В работе представлены численные значения бифуркационных параметров такой системы, вычисленные с помощью специальных аналитических методов и современных математических пакетов длинных чисел. Кроме того, показано, что для рассмотренного неунимодального отображения наблюдается эффект сходимости бифуркационных значений параметра системы, аналогичный эффекту Фейгенбаума для унимодальных отображений. нелинейный цифровой автоподстройка частота
В системах фазовой автоподстройки (ФАП), используемых для синхронизации и генерации сигналов в радиосвязи, телекоммуникациях и компьютерных архитектурах, возникают проблемы синхронизации частот [1-19]. Качественный анализ уравнений ФАП позволяет определить необходимые условия работы системы (при которых, например, имеются синхронизация частот и коррекция расфазировок) [20,21]. В предложенной работе рассматривается дискретное одномерное неунимодальное отображение, описывающее работу цифровой ФАП.
В одной из первых работ, посвященных анализу цифровых ФАП [22], был рассмотрен алгоритм исследования периодических решений и показано, что даже в простой дискретной модели ФАП наблюдаются бифуркационные явления, приводящие к появлению новых устойчивых периодических решений и изменению их периода. В дальнейшем в работах [23] для таких систем была рассмотрена модель перехода к хаосу через каскад удвоения периода. Объединение и развитие этих идей в работах Г.А. Леонова и С.М. Селеджи [20, 21] позволило построить бифуркационное дерево перехода к хаосу через каскад удвоения периода. Для этого аналитически были получены первые несколько бифуркационных значений параметров, в то время как расчет последующих бифуркационных значений и изучение хаоса потребовали применения компьютерного моделирования. Эти вычисления выявили эффект аналогичный эффекту Фейгенбаума для унимодальных отображений [20, 24, 25]. Позднее в работах [26-28] для получения более точных численных значений бифуркационных параметров рассматриваемой системы потребовалось применение качественной теории динамических систем, специальных аналитических методов и современных математических пакетов длинных чисел.
Вычисление бифуркационных параметров
Рассмотрим блок-схему простейшей дискретной ФАП с аналоговым входом (См. Рис. 1).
Рисунок 1: Функциональная блок-схема ФАП
Здесь эталонный генератор OSCmaster вырабатывает синусоидальный сигнал:
где A - амплитуда, - сдвиг по фазе, - частота,
- фаза входного сигнала,
- период входного сигнала.
Сигнал поступает на Sampler (дискретизатор) и преобразуется в дискретный сигнал в моменты времени , определяемые импульсами управляемого генератора DCO. Выход дискретизатора пропускается через фильтр (Filter), и оставшийся на выходе фильтра сигнал поступает на вход управляемого генератора DCO.
Случай совпадения начальных частот эталонного и подстраиваемого генераторов имеет большое значение в инженерной практике дискретных ФАП [20, 29]. Определяя значение сдвига по фазе в интервале [-р, р] с учетом кратности 2р, можно в этом случае, согласно работам [20, 21], перейти к уравнению:
где r - положительное число.
В работе [20] указана верхняя граница параметра , при котором система (2) является отображением отрезка в себя, и аналитически получены первые три бифуркационных параметра системы , , . Было доказано, что при система является глобально асимптотически устойчивой, параметры и соответствуют бифуркации удвоения периода, а параметр соответствует бифуркации “расщепления” цикла: глобально устойчивый цикл периода 2 теряет устойчивость и рождаются два локально устойчивых цикла периода 2. В дальнейшем система переходит к хаосу через каскад бифуркаций удвоения периода.
Явление перехода к хаосу через бифуркации удвоения периода хорошо изучено для целого класса отображений отрезка в себя. В 1975 г. при исследовании бифуркаций удвоения периода логистического отображения
М. Фейгенбаум заметил, что для последовательных бифуркационных значений параметра л справедлива сходимость:
и что аналогичный эффект имеет место для многих других отображений. В дальнейшем развитие теории ренорм-групп позволило доказать универсальность открытого Фейгенбаумом эффекта для одномерных однопараметрических унимодальных отображений отрезка в себя [30-34].
Отметим, что функция , представленная на Рис. 2, не является унимодальной или бимодальной. Здесь является нечетной функцией и имеет два локальных экстремума , а последовательность , начатая в точке , не проходит через точки локальных экстремумов и - последовательность отображена на рисунке в виде линий последовательно соединяющих точки
Рисунок 2: Отображение
Применение современных вычислительных пакетов, процедуры вычисления мультипликаторов и теории переходных процессов позволило получить численно первые 15 бифуркационных значений параметра системы (2), которые представлены в Таблице 1. Для полученных бифуркационных значений были также получены числа Фейгенбаума, которые представлены в последней колонке таблицы.
Таблица 1: Бифуркационные значения и числа Фейгенбаума дискретной динамической системы
|
N |
T |
rj |
Дj |
|
|
1 |
Ѕ |
2 |
||
|
2 |
Ѕ |
Р |
3.75973373258170937649 |
|
|
3 |
2/4 |
3.44522922330131157542194433174191398 |
4,624046596639769740149960075495 |
|
|
4 |
4/8 |
3.51289246475156628374774642737133234 |
4,660150061404217425922602823766 |
|
|
5 |
8/16 |
3.52752537124074929576590188097963033 |
4,6671810989023526532815779401952 |
|
|
6 |
16/32 |
3.53066537881483452997938899118568510 |
4,668778772473917134313391117376 |
|
|
7 |
32/64 |
3.53133816341597711569260339404602099 |
4,669109815433731376068465041681 |
|
|
8 |
64/128 |
3.53148226632466689433857302550273505 |
4,6691821019439780251939905083339 |
|
|
9 |
128/256 |
3.53151312936160242470979217662168692 |
4,6691974124177884207133643832507 |
|
|
10 |
256/512 |
3.53151973930661242566549959454182848 |
4,6692007126313128442197371622798 |
|
|
11 |
512/1024 |
3.53152115495569002125505077904545367 |
4,6692014168180717991991829239267 |
|
|
12 |
1024/2048 |
3.53152145814442932002148295601459890 |
4,669201567957076525629797957062 |
|
|
13 |
2048/4096 |
3.53152152307817542202214372051946438 |
4,6692016002863903548904303401188 |
|
|
14 |
4096/8192 |
3.53152153698499549756050390115891712 |
||
|
15 |
8192/16384 |
3.53152153996341049568039036147220653 |
Заключение
Из полученных значений видно, что здесь для неунимодального отображения (2) наблюдается эффект сходимости бифуркационных значений параметра , аналогичный эффекту Фейгенбаума для унимодальных отображений.
Литература
1. G.A. Leonov, N.V. Kuznetsov, S.M. Seledzhi. Nonlinear Analysis and Design of Phase-Locked Loops (chapter in "Automation control - Theory and Practice)// In-Tech. - 2009. - Pp. 89-114.
2. Kuznetsov N.V. Nonlinear Analysis of Phase Synchronization Systems: Phase-locked Loop and Costas Loop// Seminar series on Complex systems, networks, control and chaos. - City University of Hong Kong. - 2012. - Invited lecture.
3. G.A. Leonov, N.V. Kuznetsov, M.V. Yuldashev, R.V. Yuldashev. Analytical method for computation of phase-detector characteristic// IEEE Transactions on Circuits and Systems Part II. - Express Briefs. - Vol. 59. - Num. 10. - 2012. - Pp. 633-637.
4. G.A. Leonov, N.V. Kuznetsov, M.V. Yuldashev, R.V. Yuldashev. Differential equations of Costas loop// Doklady Mathematics. - 86(2). - 2012. - Pp. 723-728.
5. G.A. Leonov, N.V. Kuznetsov, M.V. Yuldashev, R.V. Yuldashev. Computation of Phase Detector Characteristics in Synchronization Systems// Doklady Mathematics. - 2011. - Vol. 84. - No. 1. - Pp. 586-590.
6. N.V. Kuznetsov, G.A. Leonov, M.V. Yuldashev, R.V. Yuldashev. Analytical methods for computation of phase-detector characteristics and PLL design// ISSCS 2011 - IEEE International Symposium on Signals, Circuits and Systems, Proceedings. - 2011. - Art. num. 5978639. - Pp.7-10.
7. G.A. Leonov, S.M. Seledzhi, N.V. Kuznetsov, P. Neittaanmдki. Asymptotic analysis of phase control system for clocks in multiprocessor arrays// ICINCO 2010 - Proceedings of the 7th International Conference on Informatics in Control, Automation and Robotics. - Vol. 3. - 2010. - Pp. 99-102.
8. N.V. Kuznetsov, G.A. Leonov, P. Neittaanmдki, S.M. Seledzhi, M.V. Yuldashev, R.V. Yuldashev. Nonlinear Analysis of Phase-locked loop// IFAC Proc. Volumes (IFAC-PapersOnline). - 4(1). - 2010. - Pp. 34-38.
9. N.V. Kuznetsov, G.A. Leonov, S.M. Seledzhi. Nonlinear analysis of the Costas loop and phase-locked loop with squarer// Proceedings of Eleventh IASTED International Conference Signal and Image Processing. - Vol. 654. - 2009. - Pp. 1-7. - ACTA Press.
10. N. Kuznetsov, G. Leonov, S. Seledzhi. Phase Locked Loops Design And Analysis// ICINCO 2008 - 5th International Conference on Informatics in Control, Automation and Robotics. - Proceedings Volume SPSMC. - 2008. - Pp. 114-118.
11. N.V. Kuznetsov, G.A. Leonov, S.M. Seledzhi. Analysis of phase-locked systems with discontinuous characteristics of the phase detectors// IFAC Proceedings Volumes (IFAC-PapersOnline). - 1(1). - 2006. - Pp. 107-112.
12. Kuznetsov N.V., Leonov G.A., Neittaanmдki P., Seledzhi S.M., Yuldashev M.V., Yuldashev R.V. Simulation of phase-locked loops in phase-frequency domain// International Congress on Ultra Modern Telecommunications and Control Systems and Workshops, - 2012. - Pp. 351-356. - Art. no. 6459692.
13. Kuznetsov N.V., Leonov G.A., Neittaanmдki P., Seledzhi S.M., Yuldashev M.V., Yuldashev R.V. Nonlinear mathematical models of Costas Loop for general waveform of input signal// IEEE 4th International Conference on Nonlinear Science and Complexity, NSC 2012 Proceedings. - 2012. - Pp. 109-112.
14. Kuznetsov N.V., Leonov G.A., Yuldashev M.V., Yuldashev R.V. Nonlinear analysis of Costas loop circuit// ICINCO 2012 - Proceedings of the 9th International Conference on Informatics in Control, Automation and Robotics. - 2012. - Vol. 1. - Pp. 557-560.
15. Kuznetsov N.V., Neittaanmдki P., Leonov G.A., Seledzhi S.M., Yuldashev M.V., Yuldashev R.V. High-frequency analysis of phase-locked loop and phase detector characteristic computation// ICINCO 2011 - Proceedings of the 8th International Conference on Informatics in Control, Automation and Robotics. - 2011. - Vol. 1. - Pp. 272-278.
16. Kuznetsov N.V., Leonov G.A., Seledzhi S.M. Phase synchronization and control of clock generators// 7th Seminar of Finnish-Russian University Cooperation in Telecommunications (FRUCT) Program. -2010. -Pp. 76-82.
17. Kuznetsov N.V., Leonov G.A., Neittaanmдki P., Seledzhi S.M., Yuldashev M.V., Yuldashev R.V. Nonlinear analysis of Phase-Locked Loop// Mathematical and Numerical Modeling in Science and Technology. - 2010.
18. Kuznetsov N.V., Leonov G.A., Seledzhi S.M., Neittaanmдki P. Analysis and design of computer architecture circuits with controllable delay line// ICINCO 2009 - 6th International Conference on Informatics in Control, Automation and Robotics. -2009. - Vol. 3 SPSMC. - Pp. 221-224.
19. D. Abramovitch Phase-locked loops: A control centric tutorial// In Proceedings of the American Control Conference. -1. - 2002. - Pp. 1-15. - Plenary lecture.
20. Леонов Г.А., Селеджи С.М. Системы фазовой синхронизации в аналоговой и цифровой схемотехнике// СПб. - Невский диалект. -2002.
21. Leonov G.A., Seledzhi S.M. Stability and bifurcations of phase-locked loops for digital signal processors// International Journal of Bifurcation and Chaos.. - 2005. - 15(4) . - Pp. 1347-1360.
22. Osborne H.C. Stability analysis of an Nth power digital phase-locked loop - Part 1: First-order DPLL// IEEE Transactions on Communications. - 1980. - Vol. 28. - No 8. - Pp. 1343-1354.
23. Белых В.Н., Максаков В.П. Разностные уравнения и динамика цифровой системы фазовой синхронизации первого порядка// Радиотехника и электроника. - 1979. - 24(5) . - С. 958-964.
24. Abramovich S., Kudryashova E., Leonov G.A., Sugden S. Discrete Phase- Locked Loop Systems and Spreadsheets// Spreadsheets in Education (eJSiE). - 2005. - Volume 2. - Issue 1.
25. Saleh R. Al-Araji, Zahir M. Hussain, Mahmoud A. Al-Qutayri. Digital Phase Lock Loops: Architectures and Applications // Springer. - 2006.
26. Кудряшова Е.В. Вычисление бифуркационных параметров для цифровой системы фазовой автоподстройки// Вестник С.-Петерб. ун-та. - 2009. - Сер. 10. - Вып. 3. - C. 78-81.
27. Kudryashova E.V. Cycles in continuous and discrete dynamical systems: Computations, computer-assisted proofs, and computer experiments// Jyvaskyla Univ. Printing House. - 2009.
28. Шурухова Д.К. Аппроксимация бифуркационных параметров удвоения периода для дискретных систем фазовой синхронизации// Дипломная работа. - СПбГУ. - 2012.
29. Banerjee T., Sarkar B.C. Chaos, intermittency and control of bifurcation in a ZC2-DPLL // Int. J. Electron. Commun. - 2009. - 96(7). - Pp. 717-732.
30. Cvitanovich P. Universality in Chaos// 2nd Edition. - Adam Hilder Publ. - 1989.
31. Feigenbaum M. J. Quantitative universality for a class of nonlinear transformations// Journal of Statistical Physics. - 1978. - 19. - Pp. 25-52.
32. Вул Е. Б., Синай Я.Г., Ханин К.М. Универсальность Фейгенбаума и термодинамический формализм// УМН. - 39:3(237) . - 1984. - C. 3-37.
33. Campanino M., Epstain H. On the existence of Feigenbaum fixed-point// Comm, Math, Phys. - 1981. - Vol. 79. - №2. - Pp. 261-302.
34. Lanford O.E. A computer assisted proof of the Feigenbaum conjectures// Bull. Amer. Math. Soc. - 1982. - 6(3). - Pp. 427-434.
Размещено на Allbest.ru
Подобные документы
Исследование оптимальных по критерию быстродействия цифровых электромеханических систем управления с апериодическими регуляторами состояния и типовых СУЭП с регуляторами класса "вход-выход". Определение скорости и положения вала рабочего органа.
курсовая работа [1,3 M], добавлен 16.11.2013Особенности освоения методики конструкционных расчётов устройств СВЧ. Методы расчета фильтра низкой частоты исследуемого устройства. Анализ, разработка конструкции микросборки. Изготовление схем способом химического и электролитического осаждения металла.
курсовая работа [413,5 K], добавлен 28.02.2010Устройство, принцип работы и анализ системы автоматического регулирования (САР) частоты вращения приводного электродвигателя стенда для обкатки двигателя внутреннего сгорания. Сущность методик определения устойчивости по критериям Гурвица и Найквиста.
курсовая работа [277,1 K], добавлен 16.09.2010Разработка системы двухдвигательного асинхронного электропривода согласованного вращения механизмов передвижения козлового крана, питаемого от преобразователей частоты. Анализ снижения динамических нагрузок с помощью оптимального способа управления.
магистерская работа [1,7 M], добавлен 31.05.2017Назначение и классификация моделей, подходы к их построению. Составление математических моделей экспериментально-статистическими методами. Моделирование и расчет цифровых систем управления. Разработка и исследование модели статики процесса ректификации.
учебное пособие [1,8 M], добавлен 26.03.2014Выбор электродвигателя и его обоснование. Определение частоты вращения приводного вала, общего передаточного числа и разбивка его по ступеням, мощности, частоты вращения и крутящего момента для каждого вала. Расчет червячных передач, подбор смазки.
курсовая работа [286,5 K], добавлен 22.09.2013Рассмотрение принципа действия вентилятора. Определение частоты вращения рабочего колеса и его диаметра, мощности электродвигателя. Характеристика сети трубопроводов; вычисление частоты вращения рабочих колес насосов, отклонения фактического напора.
курсовая работа [451,7 K], добавлен 09.10.2014Исследование системы стабилизации частоты вращения двигателя без корректировки, а также с введённой корректирующей цепью. Передаточные функции отдельных звеньев. Исследование устойчивости системы с использованием алгебраического критерия Гурвица.
курсовая работа [522,2 K], добавлен 20.11.2013Демпфирующие свойства шпиндельного узла. Теоретическое определение частоты собственных колебаний шпинделя. Расчет критической частоты вращения двухопорного шпинделя. Амплитуды соседних по периоду свободных затухающих колебаний шпиндельного узла.
реферат [103,8 K], добавлен 24.06.2011Индукционные плавильные печи. Расчет параметров системы индуктор-загрузка. Расчет числа витков индуктора и частоты источника питания. Составление энергетического баланса. Полная, активная и реактивная мощности. Расчет реактивного сопротивления.
курсовая работа [212,9 K], добавлен 01.04.2013
