Исследование способов описания асферических поверхностей

Размещено на http://www.allbest.ru//

Размещено на http://www.allbest.ru//

Национальный исследовательский университет информационных технологий, механики и оптики

Исследование способов описания асферических поверхностей

И.И. Бондарь

В работе рассмотрены проблемы аппроксимации асферических поверхностей при описании их с помощью уравнений различного вида. Представлен алгоритм пересчета уравнения профиля асферической поверхности, выполнена оценка точности аппроксимации при различных параметрах поверхности.

аппроксимация асферический поверхность

Введение

Асферические поверхности широко применяются в практике расчета оптических систем, прежде всего из-за широких возможностей аберрационной коррекции, которые они предоставляют [1]. Одна из областей применения асферических поверхностей, в том числе высшего порядка, - применение в миниатюрных объективах, например, камерах мобильных телефонов, веб-камерах и др [2].

Традиционно асферические поверхности принято разделять на поверхности второго и высшего порядка. Существуют различные уравнения для описания асферических поверхностей высшего порядка. В некоторых программах для автоматизированного расчета оптических систем (САРО, OPAL) одним из способов задания асферики высшего порядка являются коэффициенты уравнения в системе координат, связанной с вершиной поверхности [3]:

, (1)

Где , коэффициент связан с радиусом кривизны при вершине поверхности , а коэффициент с эксцентриситетом е образующей кривой второго порядка .

В других программах, например, в ZEMAX, используется уравнение вида [2]:

, (2)

Где - кривизна поверхности при вершине.

Переход от уравнения типа (1) к типу (2) однозначен только для случая уравнения второго порядка, поэтому при использовании поверхностей высшего порядка в случае необходимости проверки расчетов, выполненных при помощи различных программ для автоматизированного расчета оптических систем, необходимо выполнять расчет коэффициентов уравнения асферической поверхности.

В данной работе для пересчета предлагается использовать метод наименьших квадратов, который в общем виде описывается следующим образом:

(3)

Где - матрица системы, - столбец неизвестных, - столбец свободных членов, m - количество известных значений функции, n - количество коэффициентов в уравнении.

Пересчет из уравнения (1) в уравнение (2)

В случае пересчета из уравнения (1) в уравнение (2) в матрицу системы записываются степени координаты , а в столбце неизвестных после вычислений будут записаны вычисленные значения коэффициентов :

, (4)

Поскольку для использования метода наименьших квадратов необходимо, чтобы в правой части уравнения содержались только неизвестные коэффициенты и их множители, в столбец свободных членов помимо координаты переносится первый член уравнения (2):

(5)

При этом значения кривизны поверхности и эксцентриситета вычисляются из уравнения (1) следующим образом:

, (6)

Пересчет из уравнения (2) в уравнение (1)

При пересчете из уравнения (2) в уравнение (1) в матрицу системы записываются степени координаты , а в столбце неизвестных после вычислений будут записаны вычисленные значения коэффициентов :

, (7)

При этом, поскольку первые два коэффициента и напрямую связаны с параметрами поверхности второго порядка (, ), они не участвуют в матрице системы, а записываются в столбец свободных членов:

(8)

Параметры пересчета

При пересчете коэффициентов методом наименьших квадратов возникает несколько вопросов:

Сколько коэффициентов использовать при пересчете (параметр n)?

Сколько точек на поверхности использовать для вычислений (параметр m)?

Как расположить точки на поверхности?

В данной работе предлагает для определения этих параметров n и m использовать итерационный алгоритм:

Для первого приближения количество полученных коэффициентов принимается равным количеству исходных коэффициентов. При этом необходимо помнить о том, что в уравнении (1) первые два коэффициента связаны с параметрами поверхности второго порядка и не участвуют в пересчете. Таким образом, количество коэффициентов в уравнении (2) должно быть на 2 коэффициента меньше чем в уравнении (1).

Производятся вычисления для некоторого количества точек, и оценивается погрешность восстановления полученной поверхности при помощи среднеквадратического отклонения между исходной поверхностью и вычисленной.

Производится проверка устойчивости метода - количество точек увеличивается в два раза и производится проверка. Если величина среднеквадратического отклонения изменилось не существенно, значит метод достаточно устойчивый и коэффициентов достаточно. Если же величина среднеквадратического отклонения существенно изменилось, метод не устойчив, и имеет смысл пересчитать поверхность с большим количеством коэффициентов конечного уравнения.

Таким образом, повторяя пункты 1-3, можно добиться заданной точности пересчета за счет подбора большего количества перечитываемых коэффициентов и большего количества точек.

Точки на поверхности распределяются равномерно в меридиональном сечении в пределах светового диаметра поверхности.

Пример пересчета

Для системы, рассчитанной с использованием программы САРО, получено уравнение асферической поверхности (1), в котором:

, , .

Для проверки расчетов в программе Zemax уравнение требует нахождения коэффициентов в уравнении вида (2). С использованием изложенного выше алгоритма пересчета получены следующие значения коэффициентов:

, , , .

Система, для которой проводился пересчет, должна обладать дифракционным качеством изображения при высоком относительном отверстии. В программе САРО среднеквадратическое отклонение волновой аберрации составляет 0,002, максимальная волновая сферическая аберрация 0,0084 для длины волны 0,643 мкм. В программе Zemax с использованием полученных коэффициентов для той же системы получено СКО волновой аберрации 0,0018, максимальная волновая сферическая аберрация 0,0062.

Литература

1. Русинов М.М. Несферические поверхности в оптике. Расчет, изготовление и контроль. М.: Либроком, 2010.

2. Шеннон Г., Трайбер Х. Техническая оптика. М., Техносфера, 2006. 424 с .

3. Родионов С.А., Шехонин А.А. Математические модели оптических поверхностей при автоматизированном проектировании. Изв.вузов. Приборостроение, Т.39, 1996. с.99-103

Размещено на Allbest.ru