Некоторые механизмы формирования структур турбулентных потоков в трубах

Размещено на http://www.allbest.ru/

НЕКОТОРЫЕ МЕХАНИЗМЫ ФОРМИРОВАНИЯ СТРУКТУР ТУРБУЛЕНТНЫХ ПОТОКОВ В ТРУБАХ

Т.В. Волынкина - инженер

В.С. Слободянюк - докт. физ.-мат. наук



Annotation

The simplest models of flow motion and evolution of gas fluxes along cylindrical channels are studied to understand a process of turbulence generation.



Основная часть

поток турбулентность газ труба

В [1] обсуждаются возможные сценарии развития турбулентности в цилиндрической трубе на участке развитого течения газа. Использованные профили скорости формируются под влиянием возмущений конечной величины, поскольку пуазейлево течение устойчиво по отношению к малым возмущениям [2]. При этом конечные возмущения могут попадать в развитое течение из входных сечений трубы вместе с потоком газа.

Целью данной работы является расширение физических представлений о механизмах турбулизации течения газа в трубе. При этом делается попытка связать процесс турбулизации с уменьшением энтропии потока.

Анализируются ситуации, в которых ламинарное течение может терять устойчивость и турбулизоваться. Полагается, что такой переход должен сопровождаться ростом упорядоченности системы и соответствующим уменьшением энтропии [3].

Рис. 1 Схема течения

Рассмотрим стационарное, изотермическое ламинарное течение в трубе. Считая длину трубы L значительно большей ее диаметра d=2R, введем цилиндрическую систему координат, начало которой лежит в центре входного сечения трубы (рис. 1). Ось z полагаем совпадающей с осью трубы, ось r - направленной от оси трубы к стенке.

В этом случае для описания течения газа можно использовать систему уравнений газовой динамики в приближении пограничного слоя:

где с и P - плотность и давление газа; u и н - аксиальная и радиальная составляющие скорости, соответственно. Распределение давления в трубе в случае несжимаемой среды определяется перепадом давления на концах трубы, а при необходимости учета сжимаемости система уравнений дополняется уравнением состояния.

Граничные условия имеют вид:

при r = 0, z?0 - условие симметрии,

u = 0, (4)

при r = R, z?0 - условие прилипания,

u = u⁰(r) (5)

при z = 0, z?r?R - условие на входе канала.

При анализе причин, вызывающих появление турбулентных возмущений, следует иметь в виду, что турбулентность по своей природе явление нестационарное, трехмерное и в определенной мере стохастическое. Математическая постановка задачи типа (1ч5) существенно сужает и обедняет спектр возможных причин, механизмов и решений по сравнению с возможностями реального течения. Следовательно, нельзя исключать вероятность того, что какие-то решающие факторы, существующие в реальном потоке, могут оказаться неучтенными моделью или будут отображаться ею неадекватно.

Прежде всего, это относится к условию (5). Профиль скорости во входном сечении u⁰(r) “отвечает” за учет предыстории потока и, в частности, за учет роли внешних возмущений, вносимых потоком в расчетное поле. Вид функции u⁰(r) часто бывает неизвестным, и она задается в значительной мере произвольно. Опыт показывает [4], что на входном участке трубы могут возникать водоворотные зоны, отрыв потока от стенки и другие сложные для моделирования явления, которые могут быть источниками турбулентных возмущений.

С другой стороны, сами уравнения модели (1-3) на начальном участке трубы оказываются слишком упрощенными и не годятся для восприятия “входной” информации в полном объеме.

Усложнение же формы записи уравнений газовой динамики, помимо математического усложнения модели, приводит к еще большему росту неопределенности в граничных условиях. По-видимому, оптимальным решением проблемы входных условий было бы проведение модельных расчетов течения перед входом в трубу (область z < 0), с последующим сращиванием решения (возможно итерационным) с расчетами потока внутри канала (область z?0).

В пользу этого утверждения можно привести следующий аргумент. Для обеспечения плавного входа в трубу и гашения возмущений, приходящих извне, используют специальным образом профилированный нецилиндрический входной участок трубы, сужающийся до диаметра входного канала и сохраняющий осевую симметрию [7]. В частности, в установке О.Рейнольдса он имел колоколообразную форму [9]. Естественно, что этот участок отличался от основного течения в канале, что требует отдельного рассмотрения.

Таким образом, важность задания входных условий, адекватных реальным, для получения расчетным путем реальной картины перехода ламинарного течения в турбулентное является достаточно очевидной.

Существование упомянутого выше отрыва потока от стенки приведет к нарушению условия прилипания (4), а появление в потоке канала тороидальных вихревых структур, весьма подверженных азимутальным неустойчивостям [9], может привести к потере симметрии задачи. Кроме того, отказ от приближения сплошности, которое используется в модели, но не всегда существует в реальности, допускает появление тангенциальных разрывов скорости, которые “размываются” в структуры турбулентного следа [2]. И, наконец, отметим, что временная эволюция любого возмущения не может быть отслежена с помощью стационарных уравнений (1-3).

Проанализируем информацию о турбулентности, которая остается в системе (1-3), с учетом всех перечисленных ограничений, в надежде на то, что эта информация будет достаточно “прозрачной” и обозримой, если рассматривать локальные изменения энтропии как критерий турбулизации либо ламинаризации потока [3].

Обратимся к уравнению неразрывности (1). Оно, с одной стороны, в наименьшей степени подвергнуто упрощениям, с другой, требуется его неукоснительное выполнение, в то время как уравнения движения имеют возможность “подстраиваться” под требования уравнения неразрывности.

Для трубы с непроницаемыми стенками из постоянства расхода вдоль оси z следует соотношение:

где R = R(z) - переменный радиус трубы.

В случае трубы постоянного радиуса из (6) следует, что

Тогда из (1) получаем, что

где Ш(r) - функция тока.

Таким образом, течение в цилиндрическом канале, даже на его начальном участке, является одномерным, независимо от сжимаемости среды и от того, является ли течение вязким или невязким.

Одномерность потока в трубе может нарушаться в следующих случаях:

1. если профиль скорости u(r) будет знакопеременным;

2. произойдет отрыв потока от стенки канала;

3. имеются разрывы в профиле скорости u(r).

Знакопеременность u(r) говорит о наличии либо вихревого, либо обратного течения в какой-то области сечения трубы. Отрывы от стенки или разрывы (тангенциальные) скорости достаточно быстро трансформируются в вихревые структуры турбулентного следа [2].

Но тогда в указанных случаях профиль скорости будет иметь хотя бы одну точку перегиба, а это в соответствии с теоремой Релея-Толмина [5] является необходимым и достаточным условием неустойчивости потока.

Если же поперечное сечение трубы меняется вдоль z, то поток в канале является заведомо неодномерным. В этом случае, чтобы удовлетворить закону постоянства расхода (6), необходимо отказаться от условия “прилипания” и допустить наличие “проскальзывания” потока относительно стенки. При этом в диффузоре облегчается отрыв пограничного слоя от поверхности канала, а в конфузоре отрыв, наоборот, затруднен наличием динамического напора потока на стенку.

Это можно объяснить следующим образом. Для стационарного течения несжимаемого газа, полагая скорость проскальзывания потока относительно стенки u_R > 0, можно (6) привести к виду:

где - среднее по сечению трубы ускорение потока.

Как видно из (9), поток в диффузоре () тормозится, а в конфузоре () ускоряется. В диффузоре ламинарное течение легко распадается на вихри, так как процесс торможения при больших скоростях сопровождается интенсивным вихреобразованием [6].

В ускоряющемся потоке конфузора случайное начальное возмущение, нарастающее со временем, перемещается в пространстве и поэтому в фиксированной точке пространства возмущение исчезает через определенный промежуток времени. Другими словами, появляющаяся в конфузоре неустойчивость является конвективной неустойчивостью.

Результатом описанных процессов является тот известный факт [7], что критическое число Re для диффузора меньше, а для конфузора больше, чем для цилиндрической трубы.

Вычислим теперь изменения энтропии в потоке. Для этого выделим на некоторой линии тока в точке 1 элементарный объем, содержащий N частиц. Пользуясь выражением для энтропии S идеального газа [8], изменение энтропии этих частиц при их изотермическом перемещении в близкую к 1 точку 2 можно определить соотношением:

В соответствии с [3] будем считать, что при ДS > 0 в потоке газа идет естественный процесс хаотизации с ростом энтропии, при ДS < 0 - процесс роста структурной упорядоченности, который будем отождествлять со стремлением к турбулизации потока.

Если поперечное сечение трубы меняется настолько медленно, что в первом приближении поток можно считать одномерным, то, пренебрегая вязкостью и сжимаемостью газа, из (2) и (6) получаем:

где - положительная конечная величина.

Из (10) с учетом (11) следует, что ДS<0 в диффузоре и ДS>0 в конфузоре.

Рассмотрим теперь несколько частных случаев течения в трубе.

Установившееся движение невязкого несжимаемого газа в канале. Пусть невязкий, несжимаемый газ перетекает по цилиндрической трубе из области с давлением P₀ в область с давлением P₁. При этом полагаем, что P₀ > P₁ (рис. 1).

Согласно (7), (1) и (2) уравнения, описывающие движения газа в трубе, принимают вид:

Из (12) следует, что несжимаемый и невязкий газ проходит через трубу, не создавая внутри нее перепада давления и сохраняя неизменным радиальный профиль продольной скорости, т.е. движется по инерции. Ускоряющее действие перепада давления (P₀ - P₁) проявляется уже в струе, выходящей из трубы.

При этом, в соответствии с (10), энтропия потока возрастает и, следовательно, на участке ускорения течение должно остаться ламинарным. Далее, вниз по течению, струя, расширяясь, тормозится, энтропия потока уменьшается, и он становится турбулентным.

Рис. 1 Неустойчивость круглой струи

На рис. 2, взятом из [9], приведена теневая фотография круглой струи СО₂, вытекающая в воздух из сопла диаметром 6,35 мм со скоростью 38,71 м/с при числе Re=30000. Видно, что при выходе из сопла, на расстоянии порядка диаметра канала струя ламинарна, затем появляется неустойчивость и переход к турбулентному режиму. Как видно на рис. 2, приведенное выше качественное описание характера течения на основе соотношения (10) согласуется с наблюдениями.

Заметим, что градиент давления на ламинарном участке струи:



в силу того, что L>>2R, значительно больше величины (P₀ - P₁)/L, которую обычно используют для описания вязкого течения газа в трубе.

В случае течения с противодавлением, когда выполняется условие:

течение в канале по-прежнему описывается соотношениями (12), однако за пределами трубы (z > L) поток тормозится на всем протяжении струи. При этом участок ламинарного течения, существовавший в предыдущем случае, теперь становится участком интенсивного торможения потока с положительным градиентом давления, определяемым соотношением (13). Энтропия потока при этом уменьшается и идет процесс турбулентного структурообразования.

Отметим также, что в области z < 0 в процессе формирования входных условий возможно торможение потока и возникновение турбулентных возмущений. В этом случае течение в трубе будет турбулентным и вихревым из-за того, что в начальном сечении на линии тока ротор скорости отличен от нуля, и это отличие сохраняется вдоль всей линии тока. Область существования такого движения ограничена стенками, входным и выходным сечениями канала.

Как отмечается в [2], границей применимости уравнений Эйлера, а в данном случае соотношений (12), к турбулентному движению являются области с размерами порядка минимального масштаба турбулентности:

л~l/Re^3/4

где l - внешний масштаб турбулентности; Re - число Рейнольдса потока.

Следовательно, можно считать, что модель невязкого газа “уверенно замечает” только возмущения с масштабами:

л >> л₀.

Полагая l~10^-2м, Re = Re_кр = 2300, получаем:

л₀~10^-5м.

Следует отметить, что даже возмущениям с масштабами л >> л₀ течение “не позволяет” эволюционировать в потоке, внутри трубы, поскольку является изэнтропическим.

Изотермическое течение невязкого сжимаемого газа. Рассмотрим задачу предыдущего раздела, учитывая сжимаемость газа. Систему уравнений (1-3) дополним уравнением состояния совершенного газа:

P=Aс, (15)

где A = const. Из (15) следует, что

Уравнение движения, как уравнение Бернулли, с учетом изотермичности потока можно записать следующим образом [10]:

Здесь индексом “0” отмечены величины во входном сечении трубы, без индекса - внутри канала.

Из соотношений (7) и (15) получаем, что

С учетом (18) выражение (17) можно записать в виде:

Здесь - число Эйлера; - скорость газа на линии тока в трубе, нормированная на величину u₀.

Величина Eu определяется начальными условиями и, следовательно, остается постоянной величиной. Тогда из (19) видно, что скорость газа на линии тока в трубе меняется скачкообразно во входном сечении канала, оставаясь в дальнейшем постоянной вдоль z, внутри трубы. Давление и плотность изменяются при этом в соответствии с (18). Таким образом, за исключением указанной особенности при z ? 0, данный случай похож на предыдущий.

В области z ? 0 возможны 3 типа процессов:

а) Eu >1, т.е. P₀>с₀u₀. При этом из (18) следует

В соответствии с (10) ДS>0. В этом случае при переходе через начальное сечение скорость растет скачкообразно, а давление и плотность таким же образом снижаются. Энтропия при этом возрастает, что говорит о хаотизации потока;

б) Eu = 1, т.е. P₀ = с₀u₀², ДS = 0.

Это случай изоэнтропического течения с постоянными параметрами u = u₀, P=P₀, с=с₀;

в) 0 < Eu ? 1, т.е. P₀ < с₀u₀², ДS < 0.

В области z ? 0 скачком уменьшается скорость, возрастают плотность и давление газа. Энтропия при этом уменьшается, происходит упорядочение потока, которое можно рассматривать как стремление к его турбулизации.

Одномерное изотермическое течение сжимаемого вязкого газа. Будем считать газ совершенным. Систему уравнений в этом случае можно записать в виде:

где - универсальная газовая постоянная; м* - молярная масса газа; T -абсолютная температура.

С учетом первых двух уравнений (20), третье уравнение можно переписать в виде:

В силу существования условий прилипания скорости на стенке и максимальности ее значения на оси, профиль u(r) монотонно спадает по радиусу, а производная отрицательна и также монотонно уменьшается от оси к стенке. Такие профили дают . Тогда из (21) имеем:

где - изотермическая скорость звука.

Из (22), с учетом (10), можно получить неравенство:

Из (22) и (23) видно, что если скорость потока в некоторой точке больше изотермической скорости звука, то градиент давления в этой точке тормозит поток, а энтропия газа уменьшается. При скорости меньшей изотермической - картина обратная. Уменьшение энтропии в первом случае обусловлено тем, что градиент давления и вязкие силы совершают работу над элементом массы газа. Элемент может получать при этом энергию в механической форме. Предположение изотермичности течения, используемое в модели, “запрещает” преобразование этой энергии в тепло и система “перераспределяет” ее по внутренним, механическим степеням свободы (вихревым), формируя тем самым турбулентные структуры.

Формирование структур стимулируется тем обстоятельством, что между дозвуковым и сверхзвуковым режимами в стационарном случае нет плавного перехода. Действительно, как следует из (21), при u = C_T профиль скорости перестает зависеть от градиента давления и описывается уравнением:

Решение (24), удовлетворяющее условию прилипания на стенке, имеет вид:

где a - произвольная постоянная.

Такое решение, с одной стороны, дает бесконечно большую скорость на оси канала, с другой, противоречит условию u = C_T вблизи стенки. Таким образом, область применимости решения (25) пространственно должна быть ограничена тангенциальными разрывами скорости, которые, как известно, трансформируются в структуры турбулентного следа [2, 6].

Следовательно, переход из дозвукового режима течения в сверхзвуковой является нестационарным процессом. Это соответствует наблюдениям, согласно которым ламинарный и турбулентный режимы разделены нестационарным режимом перемежаемости [2, 7].

Отказ от предположения об изотермичности потока несколько усложнит картину эволюции энтропии из-за того, что часть механической энергии за счет вязкости превращается в тепловую. Однако кардинальным образом картина при этом не изменится, так как переход ламинарного движения в турбулентное возникает при больших числах Re > Re_кр, которые соответствуют малой вязкости. Кроме того, известно [2], что роль диссипации энергии существенна в области мелкомасштабной турбулентности вязкого интервала масштабов. В крупномасштабных же пульсациях не происходит заметной диссипации энергии. В то же время последние являются определяющими в процессе формирования турбулентности.

В случаях ламинарных течений с малыми величинами противодавления можно предположить, что масштабы турбулентных пульсаций лежат в вязком интервале и возникшие возмущения быстро исчезают за счет диссипации. Это объясняет существование таких течений.

Приближенный расчет двумерного поля скоростей изотермического сжимаемого совершенного газа в длинной трубе. Обычно относительную роль сил инерции и сил вязкости для течения в трубе характеризуют числом Рейнольдса (Re), которое определяют соотношением:

В качестве величин с, U, L, м выбирают некоторые характерные значения для рассматриваемого потока. Однако в длинной трубе, за исключением сравнительно короткого начального участка, реализуется полностью развитое течение, на котором силы инерции становятся равными нулю. Этого обстоятельства величина (26) не учитывает.

Введем локальное число Рейнольдса:

Будем считать, в соответствии с (7), произведение сu, не зависящим от z, а м - постоянной величиной, что для изотермического процесса и слабой зависимости вязкости от давления оказывается справедливым. Рассмотрим случай, когда перепад внешнего давления отсутствует. Функцию L(z) выберем так, чтобы при z>?, Re(z)>0. Для этого потребуем, чтобы при z>?, L(z)>0. Простейшая аппроксимационная зависимость, удовлетворяющая этому условию, может быть выбрана следующим образом:

где d - диаметр канала.

Из (28) следует уравнение для определения u(r,z):

Уравнение (29) решается методом разделения переменных, и решение имеет вид:

где J₀(x) - функция Бесселя нулевого порядка; С - произвольная постоянная. При решении использовано условие прилипания на стенке канала и условие ограниченности скорости на оси.

Для определения постоянной С применимо условие, что при z=0 и r=0, u=u₀⁰. Тогда поле скорости в трубе определяется выражением:

Из (20) можно вычислить поле плотности и поле давления:

где верхний и нижний индекс 0 означает величину в точке r = 0, z = 0.

Из (10) с учетом сжимаемости получим соотношение, определяющее локальное изменение энтропии, отнесенной к единице объема:

Из (33) видно, что давление вдоль z плавно растет, выходя на постоянную величину. Этот рост давления обусловлен сжимаемостью газа. Следовательно, в трубе реализуется ламинарный режим с противодавлением. Как следует из (34), энтропия в этом течении уменьшается во всех его точках, что свидетельствует о стремлении потока к турбулизации.

Анализ выражения (31) показывает, что радиальный профиль скорости в точке r=r*, определяемой соотношением имеет точку перегиба, так как имеет локальный экстремум. Но в таком случае, в соответствии с теоремой Релея-Толмина [5], ламинарный профиль скорости (31) оказывается неустойчивым. В точке перегиба напряжение трения оказывается максимальным, что может привести к появлению тангенциального разрыва скорости в окрестности точки r = r*, с последующей эволюцией этого разрыва в турбулентные структуры.



Выводы

1. При попытках математического моделирования процессов турбулизации потока в длинной трубе необходимо, по меньшей мере, предусмотреть расчет газодинамических характеристик во внешней области, примыкающей к входному сечению трубы, для задания входных условий адекватных реальным.

Кроме того, в процессе счета необходимо реализовать выделение областей, содержащих проскальзывание потока относительно стенки канала, тангенциальные разрывы скорости, точки перегиба, участки локального торможения и другие особенности течения, а также проведение детального анализа последствий, вытекающих из этих особенностей.

2. Точки перехода течения через локальную изотермическую скорость звука и участки потока, на которых локальная энтропия уменьшается, представляют собой наиболее вероятные области генерации турбулентности.

3. Пренебрежение вязкостью газа, предположения о его несжимаемости и адиабатичности течения могут в ряде случаев существенно исказить результаты моделирования процессов турбулизации.



Литература

1. Волынкина Т.В., Слободянюк В.С. К вопросу описания турбулентных потоков в трубе // Вестн. Кыргызско-Российского Славянского ун-та. 2002. Т. 2. №2. С. 104-110.

2. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Гидродинамика. М.: Наука,1980. 535 с.

3. Климонтович Ю.Л. Критерии относительной упорядоченности открытых систем // УФН. 1996. Т. 166. №11. С. 1231-1243.

4. Богомолов А.М., Михайлов К.А. Гидравлика. М., 1965. 633 с.

5. Шлихтинг Г. Возникновение турбулентности. М.: И.Л., 1962. 203 с.

6. Липманн Г.У. Взлет и падение идей в турбулентности // УФН. 1984. Т. 143. Вып. 4. С. 641-656.

7. Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя. М.: Наука, 1974. 711 с.

8. Базаров И.П. Термодинамика. М.: Высшая школа, 1983. 344 с.

9. Альбом течений жидкости и газа. М.: Мир, 1986. 181 с.

10. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. М.: Наука, 1978. 756 с.

Размещено на Allbest.ru