Развитие топологического метода для комплексного подхода к определению показателей надежности технических систем

Размещено на http://www.allbest.ru/

ФГБОУВПО «Ивановский государственный энергетический университет имени В.И. Ленина», г. Иваново, Российская Федерация

Развитие топологического метода для комплексного подхода к определению показателей надежности технических систем

Г.В. Чекан



Существует большое количество методов оценки надежности. Наиболее эффективной для оценки показателей надежности технических систем является инженерная методика на основе теории Марковских процессов [1-3]. Для ее реализации должны быть учтены следующие допущения:

- время безотказной работы и время восстановления каждого элемента системы имеют экспоненциальное распределение вероятностей;

- функционирование системы контролируется непрерывно, т. е. момент отказа обнаруживается немедленно после его возникновения;

- восстановление элемента начинается сразу после его отказа при наличии свободной бригады, обслуживающей данный элемент; при отсутствии свободной ремонтной бригады отказавший элемент ставится в очередь на обслуживание.

Данная методика весьма эффективна, однако она базируется лишь на одном методе определения показателей надежности, что в некоторых ситуациях может быть нерационально.

Комплексный подход к определению показателей надежности технических систем.

В результате анализа существующей инженерной методики и других способов определения показателей надежности технических систем было выявлено, что граф переходов и состояний является основой для реализации не только теории Марковских процессов, но и топологического метода. Были проведены исследования для выявления достоинств и недостатков каждого из этих методов [4]. В итоге были сформулированы следующие выводы:

1. Топологический метод позволяет быстро определить показатели надежности для стационарных состояний технических схем, описанных графом типа «дерево».

2. Инженерная методика определения показателей надежности на основе теории Марковских процессов эффективна при работе с более сложными системами, описанными многосвязными графами переходов и состояний, когда реализация существующих на данный момент алгоритмов на базе топологического метода громоздка или невозможна в принципе.

Из этого следует, что эти два метода, использующие одни и те же исходные данные в виде графа переходов и состояний, целесообразно объединить. Данный вывод лежит в основе комплексного подхода к определению показателей надежности технических систем, который использует как топологический метод, так и теорию Марковских процессов.

Основные этапы предлагаемого комплексного подхода:

1) формулировка понятия «отказ» и исходных данных;

2) построение графа переходов и состояний;

3) анализ графа и выбор рационального алгоритма решения:

а) составление по графу и дальнейшее решение системы дифференциальных и (или) алгебраических уравнений (теория Марковских процессов);

б) составление по графу выражений непосредственно для каждого состояния (топологический метод);

4) вычисление требуемых показателей надежности;

5) в случае необходимости проведение контрольного расчета методом, который не использовался для основного расчета, и оценка возможной погрешности.

Для большей наглядности составлен алгоритм реализации, который представлен на рис. 1.



Рис. 1. Алгоритм реализации комплексного подхода к определению показателей надежности

Так как предложенный подход использует теорию Марковских процессов, то для него справедливы указанные выше допущения.

Основные достоинства предложенного комплексного подхода, по сравнению с существующей инженерной методикой, следующие:

1) возможность выбора более рационального метода расчета в зависимости от вида графа, описывающего интересующую техническую систему;

2) возможность в случае необходимости осуществить контрольный расчет.

Применение метода, основанного на теории Марковских процессов, предпочтительнее при работе с многосвязными графами, а топологический метод целесообразно использовать во всех случаях с графами типа «дерево». Подобная специализация в рамках предложенного подхода позволяет значительно сократить объем вычислений для получения конечного результата.

Однако возможны случаи, когда в рамках предложенного комплексного подхода потребуется проведение контрольного расчета для технической системы, описанной многосвязным графом с помощью топологического метода. Как было отмечено выше, данная операция, в соответствии с известными алгоритмами, может вызвать существенные трудности. Поэтому целесообразно развитие топологического метода в целях осуществления расчетов показателей надежности технических систем, описанных многосвязными графами переходов и состояний.

Развитие топологического метода оценки надежности технических систем. Топологический метод очень удобен для определения показателей надежности технических систем, описанных графами типа «дерево», так как не требуется составлять и решать сложные системы уравнений, а все показатели надежности можно определить непосредственно из самого графа.

Финальная вероятность для i-го состояния определяется как [1]

, (1)

где n - число узлов графа; B_mi - произведение интенсивностей переходов из всех крайних свободных узлов в узел, соответствующий i-му состоянию системы при перемещении по кратчайшему пути в направлении стрелок.

Однако большинство восстанавливаемых технических систем с неравнонадежными элементами, избыточные системы и системы с приоритетным обслуживанием описываются многосвязными графами. В этих случаях в графе может быть несколько кратчайших путей в i-е состояние из начального и конечных отказных состояний [1].

Существующий алгоритм определения показателей надежности технических систем, описанных многосвязными графами с использованием топологического метода, заключается в следующем [1]:

1) преобразование сложного многосвязного графа в совокупность простых графов типа «дерево»;

2) вычисление вероятностей состояний, соответствующих узлам простых графов;

3) вычисление вероятностей пребывания исходной системы во всех возможных ее состояниях;

4) вычисление количественных характеристик надежности исходной системы.

Преобразование многосвязного графа в совокупность графов типа «дерево» подробно описано в [1], поэтому здесь акцентировать на нем внимание нецелесообразно в виду его громоздкости. Реализация существующего алгоритма для многосвязных графов сложна и не наглядна, что исключает ее использование в рамках комплексного подхода к определению показателей надежности технических систем.

Чтобы решить эту задачу, был разработан алгоритм выбора кратчайшего пути для многосвязных графов. Он заключается в следующем: при наличии нескольких кратчайших путей из одного состояния следует выбрать тот путь, интенсивность перехода по которому будет наибольшей, т. е. при наличии альтернативы выбирать путь по интенсивности восстановления .

Для оценки эффективности предложенного алгоритма, по сравнению с «разбиением» многосвязного графа на совокупность графов типа «дерево», была рассмотрена классическая задача определения показателей надежности дублированной системы с неравнонадежными устройствами (рис. 2,а).

В качестве комплексного показателя надежности для технических систем, в соответствии с рекомендациями [5], был выбран коэффициент готовности К_Г.

Функционирование рассмотренной системы описывает граф переходов и состояний, представленный на рис. 2,б.



Рис. 2. Дублированная система с неравнонадежными устройствами: а - структурная схема; б - граф переходов и состояний

(0) - оба элемента исправны;

(1) - первый элемент отказал, второй в работе;

(2) - второй элемент отказал, первый в работе;

(3) - отказ второго элемента при отказе первого;

(4) - отказ первого элемента при отказе второго.

Состояния (3) и (4) - аварийные.

Предполагается, что рассмотренную систему обслуживает одна ремонтная бригада, а ремонт отказавших элементов осуществляется в порядке их отказов (прямой приоритет обслуживания).

Решение данной задачи с помощью «разбиения» многосвязного графа на совокупность графов типа «дерево» приведено в [1]. Также эта задача была решена в общем виде с использованием предложенного алгоритма выбора кратчайшего пути.

Была проведена оценка погрешностей расчета коэффициента готовности, полученного с использованием двух различных методов, в зависимости от соотношения между интенсивностями отказов и восстановлений элементов системы (рис. 3).



Рис. 3. Зависимость погрешности расчета коэффициента готовности от соотношения между интенсивностями отказов и восстановлений элементов системы

Анализ полученной зависимости позволяет выявить следующие закономерности:

1. Если интенсивности отказов и восстановлений величины одного порядка, то погрешность при использовании алгоритма выбора кратчайшего пути относительно высока.

2. При разнице между ними в один порядок погрешность снижается на два порядка.

3. При дальнейшем увеличении разницы на один порядок погрешность сокращается на три порядка вплоть до нуля.

Для большинства реальных технических систем интенсивности отказов и восстановлений различаются как минимум на 2-3 порядка, поэтому погрешность расчета показателей надежности для таких систем либо мала, либо вообще стремится к нулю, что позволяет сделать вывод о возможности использования предложенного алгоритма вместо «разбиения» многосвязного графа на совокупность графов типа «дерево».

Для практической реализации предложенного алгоритма выбрана реальная техническая система: замкнутая распределительная районная электрическая сеть с номинальным напряжением 35 кВ (рис. 4,а). Она расположена в Ильинском районе Ивановской области и включает в себя четыре подстанции: Аньково, Игрищи, Северная и Крапивново, связанные воздушными линиями электропередачи. Подробное описание данной сети представлено в [6], а интенсивности отказов и восстановлений отдельных элементов взяты из [7]. Для нее требуется определить комплексные показатели надежности: коэффициент готовности и среднее время наработки до первого отказа.

Граф переходов и состояний для данной технической системы представлен на рис. 4,б. Условные обозначения на графе, характеризующие состояния сети, следующие:

(0) - все три участка в работе;

(1) - отказ первого участка;

(2) - отказ второго участка;

(3) - отказ третьего участка;



Рис. 4. Замкнутая распределительная районная электрическая сеть: а - общий вид; б - граф переходов и состояний (прямой приоритет обслуживания)

(1,2) - отказ первого и второго участков;

(1,3) - отказ первого и третьего участков;

(2,1) - отказ второго и первого участков;

(2,3) - отказ второго и третьего участков;

(3,1) - отказ третьего и первого участков;

(3,2) - отказ третьего и второго участков.

Учитывая кратность резервирования Ѕ, следует отметить, что при отказе какого-то одного участка система остается работоспособной. Это состояния (0), (1), (2) и (3). Все остальные состояния - аварийные.

Решим поставленную задачу, воспользовавшись комплексным подходом к определению показателей надежности, а для подтверждения достоверности алгоритма выбора кратчайшего пути проведем проверку, используя в качестве эталона теорию Марковских процессов.

Стоит отметить, что максимальное соотношение между интенсивностями отказов и восстановлений элементов этой реальной технической системы составляет. Исходя из этого, можно предположить, что погрешность при использовании алгоритма выбора кратчайшего пути будет несущественной.

В ходе работы с графом, используя алгоритм выбора кратчайшего пути, получаем:

; ;

; ;

; ;

; ;

; ;

Тогда по (1) рассчитаем вероятности для каждого из состояний:

;

;

;

.

Вероятности остальных (нерабочих) состояний рассчитываются аналогично.

Тогда получим следующее значение для коэффициента готовности (полностью работоспособное состояние данной технической системы):



Вероятность отказа данной технической системы составит

Для определения среднего времени наработки до первого отказа рассмотренной технической системы принимаем , тогда

,

где - среднее время восстановления данной технической системы [6].

Теперь осуществим проверку, используя теорию Марковских процессов. Графу, изображенному на рис. 4,б, соответствует следующая система дифференциальных уравнений:

(2)



Решаем систему уравнений (2) для стационарного состояния при использовании условий полноты состояний системы .

В ходе расчета с использованием программного комплекса MathCAD были получены следующие результаты:

;

;

;

;

где К_Г - коэффициент готовности.

Проведем аналогичный расчет для определения среднего времени наработки до первого отказа рассмотренной технической системы:

,

где - среднее время восстановления данной технической системы [6], а .

Оценим погрешности расчетов для коэффициента готовности и среднего времени наработки до первого отказа, выполненных с использованием различных методов:



так как , то

где К_Г1 и Т_Оср1 получены с использованием топологического метода, а эталонные К_Г2 и Т_Оср2 - с использованием теории Марковских процессов.

Стоит отметить, что выбранная в качестве примера техническая система имеет малое значение вероятности отказа (порядка 10-⁷), поэтому при расчете коэффициента готовности учтены девять значащих цифр. Столь высокая точность требуется для объективной оценки погрешностей результатов расчетов, выполненных с использованием различных методов.

Исходя из полученных величин погрешностей, можно утверждать, что результаты расчета, проведенного с использованием топологического метода на основе предложенного алгоритма выбора кратчайшего пути, практически совпадают с результатами эталонного расчета. Это свидетельствует о достоверности алгоритма выбора кратчайшего пути, который целесообразно использовать вместо «разбиения» многосвязного графа на совокупность графов типа «дерево» для определения показателей надежности реальных технических систем с помощью топологического метода.

Предложенный комплексный подход к определению показателей надежности технических систем позволяет более эффективно и наглядно решать поставленные задачи. Данный подход отличается от существующей инженерной методики рациональным использованием более эффективных алгоритмов, а также возможностью подтверждения достоверности полученных результатов.

Для полноценной реализации данного подхода был усовершенствован топологический метод определения показателей надежности технических систем. Проведенные оценки погрешностей расчетов коэффициента готовности подтверждают возможность использования алгоритма выбора кратчайшего пути вместо «разбиения» многосвязного графа на совокупность графов типа «дерево» для определения показателей надежности реальных технических систем с помощью топологического метода.

Развитие топологического метода позволяет использовать его не только в рамках комплексного подхода к определению показателей надежности технических систем, описанных многосвязными графами, но и как самостоятельный математический аппарат.

Предложенные разработки могут быть реализованы в виде специализированного программного продукта, который позволит автоматизировать расчеты показателей надежности технических систем.



Список литературы

инженерный надежность технический топологический

1. Половко А.М., Гуров С.В. Основы теории надежности. - 2-е изд., перераб. и доп. - СПб.: БХВ - Петербург, 2006. - 704 с.

2. Китушин В.Г. Надежность энергетических систем. Ч. 1. Теоретические основы: учеб. пособие для вузов. - Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2003. - 256 с.

3. Половко А.М., Гуров С.В. Основы теории надежности. Практикум. - СПб.: БХВ - Петербург, 2006. - 506 с.

4. Слышалов В.К., Чекан Г.В. Анализ методов, основанных на теории графов для определения показателей надежности схем ЭЭС // Вестник ИГЭУ. - 2010. - Вып. 4. - С. 30-32.

5. Дьяков А.Ф., Молодюк В.В. Проблемы и пути повышения надежности ЕЭС России // Методические вопросы исследования надежности больших систем энергетики. Вып. 62: Проблемы надежности существующих и перспективных систем энергетики и методы их решения / отв. ред. В.А. Савельев. - Иваново, 2012. - С. 3-11.

6. Чекан Г.В. Математическая модель для оценки показателей надежности замкнутой распределительной электрической сети // Вестник СамГТУ. Сер. «Технические науки» / Самарский государственный технический университет. - Самара, 2010. -№4(27). - С. 242-245.

7. Электротехнический справочник: в 4 т. Т. 3. Производство, передача и распределение электрической энергии / под общ. ред. проф. МЭИ В.Г. Герасимова и др. - 9-е изд., стер. - М.: Изд-во МЭИ, 2004. - 964 с.

Размещено на Allbest.ru