Первоначальное знакомство с формулами (1) и (2) происходило по косвенным работам [4, 5], так как сама магистерская диссертация Creager была недоступна. Анализ конструкции вышеуказанных формул показал, что они могут быть получены из следующего представления комплексных функций и [6].

Для mode I:

(6) где.

Для mode II:

(7) где .

Выражения (6) и (7) при - это соответствующее формулам (1) и (2) (тоже при ) комплексное описание трещины в линейной механике разрушения. Покажем.

Общее представление функции напряжений Э. Гурса через две комплексные функции и имеет вид:

, (8)

где Используя результаты работы [7], можно получить описание этой комплексной функции конкретно для трещины:

, (9)

где , , , .

Здесь и - комплексные постоянные коэффициенты. Из простого сравнения (8) и (9) следует, что

(10)

Для mode I имеем [6]: , .

Для mode II: , .

Что и требовалось показать. Если продифференцировать (10), то имеем известные комплексные функции Вестергарда для описания напряженного состояния тела с трещиной. Дополнительные слагаемые в формулах (6) и (7) были легко подобраны, исходя из внешнего вида (1) и (2). В дальнейшем представилась возможность познакомиться с самой магистерской диссертацией Creager [1], в частности с формулами (4) и (5). Выяснилось, что предложенные формулы (6) и (7) непосредственно следуют из (4) и (5). Комплексные функции (6) и (7) позволяют без особого труда добавить к (1) и (2) формулы для перемещений, исходя из известного [8] комплексного выражения:

Для mode I в прямоугольной системе координат имеем:

, (11)

где - модуль упругости II рода, - для плоского напряженного состояния, - для плоской деформации, - коэффициент Пуассона.

Для mode II:

(12)

Тем самым завершен полный набор асимптотических формул для описания НДС в вершине предельно узкого U-выреза.

Плотность энергии деформации

Ясно, что применять напрямую коэффициенты интенсивности напряжений и для оценки НДС у вершины узкого U-выреза не корректно. Наличие радиуса у вершины, хотя и очень малого, вносит существенное изменение. По сравнению с острой трещиной сингулярность напряжений пропадает, они становятся конечными и с другими законами развития. Для оценки соответствующего НДС можно использовать любые подходы, которые имеются в теории упругости. Однако повторимся, интересы автора лежали в области механики разрушения. Поэтому в работе предлагается оценивать НДС у вершины рассматриваемого U-выреза через плотность энергии упругой деформации. Эта характеристика вписана не только в арсенал теории упругости, но и линейной механики разрушения [9, 10].

В полярной системе координат плотность энергии деформации можно представить как

(13)

Выпишем формулы для напряжений и перемещений в полярной системе координат, используя основополагающие комплексные выражения [8]:

Суммарно для mode I и mode II имеем:

Эти формулы для напряжений и перемещений подставляем в выражение для плотности энергии деформации (11). После операций дифференцирования и большого числа элементарных преобразований получаем:

, (14)

где

При выражение (14) переходит в известное выражение [9, 10] для плотности энергии деформации в механике острых трещин.

Логично считать, что разрушение в точке с координатами , на, контуре вершины U-выреза происходит тогда, когда плотность энергии деформации в этом месте равна или выше ее критической величины (гипотеза Бельтрами):

(15)

Следует обратить внимание на следующее. В эллиптических координатах плотность энергии деформации на поверхности выреза представляется как , где и (плоская деформация). Фактически имеет место критерий максимального напряжения . Это отмечал Sih G. C. [11].

Некоторые расчеты и графические построения

Из выражения для в формулах (1) можно найти связь между коэффициентом интенсивности напряжений и упругим коэффициентом концентрации напряжений в вершине узкого выреза с некоторым малым радиусом . Пусть , , , где - номинальные напряжения. Имеем

(17)

при . Отсюда может быть предложен способ нахождения через коэффициенты концентрации напряжения . Он заключается в том, что подсчитываются несколько значений правой части формулы (17) при изменении и, соответственно, . Эти значения ложатся, как правило, на некоторую прямую на графике зависимости "правой части формулы" от параметра, которую затем экстраполируется на значение радиуса. В результате графическим путем находится искомое значение .

Рис.2. Графическое определение коэффициента

На рис.2 показан пример графического определения для плоского симметричного образца с узким U-образным вырезом при чистом изгибе. Коэффициенты концентрации взяты из монографии Петерсона [12]. Точность полученных таким способом результатов для оценки может быть довольно высокой. Однако данный метод можно рассматривать скорее как принципиальный в плане связи и , нежели практический.

Рис.3. Эпюры напряжений, и в сечении

На рис.3 показаны характерные графики для напряжений, и. Они построены для , и условных ,. На рис.3 а показана эпюра напряжений - mode I. Именно эти напряжения будут играть основополагающую роль в разрушении. Несмотря на их резкое возрастание при приближении к кромке U-трещины, они конечны. Пунктиром также показано как выглядела бы эпюра указанных напряжений, если бы предельно узкий U-вырез выродился в острую трещину. Пути резкого возрастания напряжений заметно различаются. Из рис.3 б следует, что напряжения - mode I и - mode II имеют одинаковую эпюру (ввиду тождественности аналитического описания). Она уходит в ноль у кромки U-выреза, что и следовало ожидать. Пунктиром показано, как бы выглядела эпюра указанных напряжений, если бы узкий U-вырез выродился в острую трещину с вершиной в начале координат . Разница обнаруживается существенная в связи с отсутствием или наличием сингулярности.

На рис.4 показаны эпюры плотности энергии деформации на кромках вершины предельно узкого U-выреза для mode I и mode II. Они построены по формулам (14) для эллиптического контура.

а б

Рис.4. Эпюры плотности энергии деформации: а - mode I; б - mode II

Эпюры построены для задачи плоской деформации при следующих исходных данных. Модуль сдвига , где модуль упругости , коэффициент Пуассона . Коэффициенты интенсивности напряжений , радиус в вершине U-выреза . Для нормального разрыва (mode I) максимальная плотность наблюдается (рис.4а) для точки контура в направлении . Это направление возможного разрушения не вызывает сомнений, ни с точки зрения теории, ни с точки зрения практики.

Для поперечного сдвига (mode II) расчеты показывают, что максимальная плотность наблюдается при . Положительные значения соответствуют углу, где окружные напряжения отрицательны, а отрицательные значения - углу, где положительны. Из здравого смысла следует, что разрушение можно ожидать только в точке, где окружные напряжения положительны, т.е. растягивающие, что обеспечивает раскрытие возможной микротрещины. В данном примере это имеет место при .

Поговорим о точности полученных асимптотических формул (14) для оценки плотности энергии деформации кромке вершины предельно узкого U-выреза. В качестве объекта исследования выбрано mode I и направление . Сравнивались точное решение, полученное по формуле

(18)

и асимптотическое (14), представленное в виде:

(19)

Для (18) точные значения напряжений подсчитывались по комплексным выражениям (3), которые после необходимых преобразований имели вид:

где

;

;

Точные значения деформаций и определялись из обобщенного закона Гука для плоской деформации.

На рис.5 показаны две графической зависимости относительных погрешностей вычисления плотности энергии деформации по асимптотической формуле (19) в сравнении с точными решениями по формуле (18). Одна графическая зависимость соответствует , другая . В обоих вариантах принималось: . Из рисунка следует, что для обоих вариантов погрешность вблизи вершины U-выреза () находится в пределах, что для практических расчетов вполне допустимо. Вариант с дает четкую картину уменьшения погрешности при приближении к контуру вершины выреза вплоть до "минус". Т.е. с уменьшением радиуса решения у контура вершины для по формуле (14) становятся все более точными. Как следствие, это характеризует также точность представленных в работе асимптотических формул для напряжений и перемещений.

Рис.5. Относительная погрешность расчета по асимптотической формуле (14)

Выводы по работе