Компьютерное моделирование формообразования металлических оребренных панелей

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Компьютерное моделирование формообразования металлических оребренных панелей

Задачи формообразования металлических изделий имеют большой теоретический и практический интерес. Однако проведение математического моделирования процессов формообразования металлических изделий затруднено вследствие того, что в математической модели требуется учет всех типов нелинейностей уравнений механики деформируемого твердого тела (МДТТ), а именно: геометрической, физической и контактной. Тем не менее, развитие компьютерных технологий, с одной стороны, и появление такого мощного метода дискретизации уравнений МДТТ, как метод конечных элементов (МКЭ), с другой стороны, позволяют в настоящее время проводить компьютерное моделирование таких технологических процессов, как формообразование металлических изделий, в постановке, близкой к реальности.

Большой интерес в классе задач формообразования металлических изделий представляет задача об определении формы упреждающей оснастки, так как вследствие упругой разгрузки металлических изделий, после выхода изделия из контакта со штампом, это изделие принимает заранее неизвестную форму (разгрузочную конфигурацию). В особой степени эта проблема возникает при формообразовании металлических панелей. Такие панели используются в авиационной промышленности, кораблестроении и так далее.

Задачи определения формы упреждающей оснастки рассматривались в [1-4]. В этих работах упреждающая оснастка предполагается в виде поверхности с непрерывной геометрией. Однако известны некоторые технологические процессы формообразования металлических панелей со стержневой оснасткой [5, 6], построение математических моделей которых требует новых подходов.

В этих работах разработан метод задания упреждающей кинематики деформирования на решении задачи о деформировании оребренной металлической панели с учетом необратимых деформаций пластичности и ползучести. Этот метод основан на решении ряда прямых задач о формообразовании панели при ее контакте с жесткими телами, при соответствующем уточнении кинематических законов движения жестких тел при каждом решении прямой задачи. Задача формообразования ставится и решается как обратная задача: необходимо найти такие движения жестких тел в контакте с панелью, что после выхода жестких тел из контакта и последующей упругой разгрузки, получается требуемая форма панели.

Целью настоящей работы является развитие постановок и методов решения задач о формообразовании металлических панелей с заданной кинематикой движения стержневой оснастки с учетом необратимых деформаций пластичности и ползучести и определением остаточной формы панели после снятия нагрузки. Кинематика движения стержневой оснастки в математической модели приближается заданным законом движения контактных жестких полусфер, по размерам, близким к контактируемой с панелью частям стержневой оснастки. Настоящая работа рассматривается как первый шаг к решению задачи об определении упреждающей оснастки. Проводится решение прямой задачи формообразования оребренной панели, результаты компьютерного моделирования сопоставляются с данными эксперимента.

Для численного решения задач формообразования металлических панелей используется пакет MSC.Marc. В этом пакете реализованы конечно-элементные формулировки геометрически нелинейных уравнений деформирования неупругих тел с учетом контактных взаимодействий.

1. Математическая формулировка задачи формообразования металлических панелей. При формовании металлических панелей из оребренных листов реализуется кинематика деформирования с малыми деформациями (т.е. относительными удлинениями/укорочениями, не превышающими по абсолютной величине 3%), но повороты и перемещения допускаются произвольно большими. Для такого типа деформаций наиболее подходящей является общая лагранжева формулировка уравнений механики деформируемого твердого тела (МДТТ) с использованием в качестве мер деформаций тензор деформаций Грина-Лагранжа , а в качестве мер напряжений - второй тензор Пиолы-Кирхгофа [7-9]. Отметим, что эти тензоры напряжений и деформаций сопряжены по мощности внутренних сил, т.е. справедливо равенство

оребренный металлический пластичность

, (1)

где - мощность внутренних сил на единицу объема тела в отсчетной конфигурации; , - компоненты второго тензора напряжений Пиолы-Кирхгофа и тензора деформаций Грина-Лагранжа соответственно. Здесь и далее точка над величиной обозначает материальную производную от этой величины.

Рассмотрим следующие геометрически и физически нелинейные уравнения МДТТ.

1. Уравнения равновесия в слабой форме (уравнение баланса виртуальных работ) без учета объемных сил:

, (2)

где - область, занимаемая панелью в отсчетной конфигурации. На замкнутой кусочно-гладкой границе области ставятся силовые граничные условия (Неймана)

, (3)

и кинематические граничные условия (Дирихле)

. (4)

Здесь звездочка обозначает заданную величину; - компоненты вектора перемещений материальной точки в декартовой системе координат; , где - компоненты радиус-вектора материальной точки в отсчетной конфигурации; индексы пробегают значения от 1 до 3; по повторяющимся индексам производится суммирование.

2. Кинематические соотношения (соотношения связи компонент тензора деформаций Грина-Лагранжа с компонентами тензора градиента перемещений)

. (5)

3. Определяющие соотношения упругопластического материала, учитывающего деформации ползучести, имеют следующий вид

, (6)

где - компоненты тензора определяющих соотношений упругопластического материала, приведенные в [9]. Для теории пластического течения материала с изотропным упрочнением эти компоненты зависят от следующих параметров: , , , , где - модуль Юнга материала, - коэффициент Пуассона, - предел текучести при одноосном растяжении, - касательный модуль ( соответствует идеальному упругопластическому материалу), см. рис. 1.

Компоненты тензора скоростей деформаций ползучести определяются через известные компоненты тензора напряжений по закону установившейся ползучести Нортона [7-10]

, (7)

где - компоненты девиатора тензора напряжений

, (8)

- эффективное напряжение (второй инвариант девиатора тензора напряжений)

. (9)

Скаляр определяется по формуле , где и - константы ползучести, определяемые из эксперимента на одноосное растяжение.

2. Процедуры численных решений задач формообразования металлических панелей. Для интегрирования уравнений (2) по времени используем пошаговую процедуру. Предполагая решение в момент времени известным, линеаризуем уравнение баланса виртуальных работ относительно этого момента времени с учетом соотношений (5), (6). Пространственную дискретизацию полученного линеаризованного уравнения проводим с использованием МКЭ. В результате, на каждом шаге по времени решаем систему линейных алгебраических уравнений [7-9]

, (11)

где - матрица касательной жесткости, определенная в момент времени ; , , - векторы перемещений ансамбля узловых точек в моменты времени и соответственно; - вектор внешних сил в момент времени ; - вектор внутренних сил в момент времени . Полученное решение на каждом шаге по времени уточняется методом Ньютона-Рафсона [7-9].

Для численного решения задач формообразования металлических панелей используем пакет MSC.Marc 2012 [11], в котором реализованы рассмотренные выше формулировки нелинейных уравнений деформирования неупругих тел.

Задача формообразования ставится и решается как обратная: для заданного режима деформирования необходимо найти такую форму матрицы, прижав к которой исходную панель, после выдержки ее в заневоленном состоянии в течение заданного времени, после снятия нагрузки получается требуемая форма панели.

3. Результаты компьютерного моделирования процесса формообразования металлической панели. Рассмотрим оребренную панель размером 350350 мм. Ребра в продольном и поперечном направлениях расположены с одинаковым шагом 70 мм. Толщина ребра 3 мм, высота вместе с основанием 13 мм. Основание имеет переменную толщину: в центре ячейки 1,5 мм, вблизи ребер 2,5 мм. Конечно-элементная модель панели представлена на рис. 2, 3, стрелками показаны кинематические граничные условия в угловых узлах. Модель содержит 105209 изопараметрических восьмиузловых элементов (тип элемента 7 в классификации пакета MSC.Marc, в [12] показано, что такой тип элемента достаточно хорошо воспроизводит решение задач об изгибе пластин) и 161304 узлов. Общее число уравнений 483912. Для предотвращения смещения панели как твердого целого в углах введены 24 стержневых элемента с малыми жесткостями.

Панель формовалась путем поджатия равномерно распределенной нагрузкой 0,08 МПа к оснастке, имеющей двойную кривизну с радиусами м и м. Оснастка моделировалась заданием 36 жестких тел, имеющих форму полусфер, расположенных в начальный момент времени под центрами пересечения продольных и поперечных ребер. Деформирование панели происходит при вхождении жестких тел в контакт с панелью. Отметим, что жесткие тела могут проскальзывать по гладкой поверхности панели (предполагается, что контакт панели с жесткими телами происходит без трения).

Заданы следующие константы материала панели из алюмолитиевого сплава 1201 [13]: для упругих деформаций МПа, ; для пластических деформаций МПа, ; для деформаций ползучести , .

Процесс формования панелей в режиме ползучести проводился в три этапа: 1) относительно быстрое нагружение панели за время 0,1 час; 2) фиксация изогнутой панели в течение 0,9 час; 3) упругая разгрузка за время 0,1 час.

На первом этапе происходит сравнительно быстрое нагружение панели. Если при деформировании панели эффективное напряжение превышает предел текучести , то неупругая деформация на первом этапе процесса формования происходит за счет пластических деформаций. На втором этапе происходит релаксация напряжений. Цель этого этапа - по возможности приблизить разгруженную конфигурацию панели к желаемой форме, поэтому, чем больше будет время выдержки панели под постоянным давлением, тем будет меньше упругая разгрузка. На третьем этапе происходит упругая разгрузка, поэтому здесь значение длины интервала времени роли не играет. Однако необходимо отметить, что при слишком быстром освобождении панели в реальном процессе могут появиться нежелательные инерционные эффекты.

Таким образом, на этапах 1 и 2 расчета панель выдерживалась под нагрузкой в течение 1 часа в режиме пластического деформирования и деформаций ползучести. При этом происходила релаксация напряжений, сопровождающаяся накоплением необратимых деформаций ползучести. Затем осуществлялась упругая разгрузка в течение 0,1 часа (этап 3). В табл. 1 приведены полученные в расчете значения остаточного прогиба (в мм) срединной поверхности панели в точках (x,y) (начало системы координат находится в крайнем левом углу панели, см. рис. 2), в скобках приведены значения, полученные в эксперименте [13].

Следует отметить, что расчетные значения превышают экспериментальные во всех сечениях. Этого следовало ожидать, поскольку в расчетах использовались константы материала на растяжение, с использованием различных констант материала на растяжение и на сжатие [13] значения остаточного прогиба должны уменьшиться и стать ближе к экспериментальным значениям.

На рис. 4 показана деформированная конфигурации панели в конце этапа 1 (нагружение панели за время 0,1 час), на рис. 5 - в конце этапа 2 (после выдержки под нагрузкой в течение 1 часа).

На рис. 6 показана остаточная форма панели после упругой разгрузки в течение 0,1 часа (в конце этапа 3).

Библиографический список

оребренный металлический пластичность

1. Аннин Б.Д., Олейников А.И., Бормотин К.С. Моделирование процессов формообразования панелей крыла самолета SSJ-100 // Прикладная механика и техническая физика. 2010. Т. 51, № 4. С. 155-165.

2. Бормотин К.С. Вариационные методы решения обратной задачи оптимального деформирования в ползучести // Информатика и системы управления. 2011. № 2. С. 106-116

3. Бормотин К.С. Обратные задачи оптимального управления в теории ползучести // Сибирский журнал индустриальной математики. 2012. Т. 15, № 2. С. 33-42.

4. Бормотин К.С., Олейников А.И. Вариационные принципы и оптимальные решения обратных задач изгиба пластин при ползучести // Прикладная механика и техническая физика. 2012. Т. 53, № 5. С. 136-146

5. Горев Б.В. Технология фоpмообpазования кpупногабаpитных деталей из листа и плит в pежиме ползучести // Технология машиностроения. 2008. № 2. С. 11-17.

6. Гоpев Б.В., Масанов И.Ж. Особенности дефоpмиpования листовых констpукционных плит из алюминиевых сплавов в pежимах ползучести // Технология машиностроения. 2009. № 7. С. 13-20.

7. Bathe K.-J. Finite Element Procedures. New Jersey, Upper Saddle River: Prentice Hall, 1996.

8. Zeinkiewicz O.C., Taylor R.L. The Finite Element Method. Oxford: Butterworth-Heinemann, 2000.

9. Коробейников С.Н. Нелинейное деформирование твердых тел. Новосибирск: Изд-во СО РАН. 2000.

10. Коробейников С.Н., Олейников А.И., Горев Б.В., Бормотин К.С. Математическое моделирование процессов ползучести металлических изделий из материалов, имеющих разные свойства при растяжении и сжатии // Вычислительные методы и программирование. 2008. Т. 9, № 1. С. 346-365.

11. MARC Users Guide. Vol. A: Theory and Users Information. Santa Ana (CA): MSC.Software Corporation, 2012.

12. Олейников А.И., Коробейников С.Н., Бормотин К.С. Влияние типа конечно-элементного представления при моделировании формообразования панелей из упругопластического материала // Вычислительная механика сплошных сред. 2008. Т. 1, № 2. С. 63-73.

13. Сухоруков И.В., Горев Б.В., Клопотов И.Д., Веричев С.Н. Формообразование подкрепленных панелей двойной кривизны в условиях ползучести // Труды XVI международной конференции по теории оболочек и пластин. Н. Новгород: Изд-во Нижегородского университета, 1994. Т. 3. С. 199-207.

Размещено на Allbest.ru