Моделирование деформирования и разрушения мезообъемов модельных хрупких пористых материалов

Размещено на http://www.allbest.ru/

2

Моделирование деформирования и разрушения мезообъемов модельных хрупких пористых материалов

Пористые керамики, костные ткани и геосреды часто представляют собой иерархически организованные многомасштабные системы. В полях внешних приложенных сил эволюция такой многомасштабной системы приводит к накоплению повреждений разных масштабов и формированию новых структур, т.е. усложнению самой системы. Одной из фундаментальных проблем при моделировании таких сред является построение определяющих уравнений, описывающих все аспекты механического поведения, включая деформационный отклик и особенности разрушения, этих систем.

Эффективным подходом к изучению подобных систем является развиваемая авторами эволюционная методология [1 - 4]. С математической точки зрения описывающая нестационарное поведение твердых деформируемых тел полная система дифференциальных уравнений механики сплошной среды вместе с определяющими соотношениями представляет собой систему нелинейных динамических уравнений. С физической точки зрения нагружаемый материал рассматривается как нелинейная динамическая многомасштабная система, в которой явно задаются нелинейные положительные и отрицательные обратные связи, регулирующие взаимодействия между формирующимся в материале напряженно-деформированным состоянием и его откликом на нагружение (накопление повреждений на разных масштабах, деградацию прочностных свойств). Подобный подход позволяет эффективно описать эволюцию свойств пористых материалов на разных уровнях, включая локализованное накопление повреждений и неупругих деформаций микро- и мезомасштаба, деградацию прочности, формирование трещин разных масштабов и макроскопическое разрушение.

В соответствии с эволюционной концепцией описания процессов деформирования и последующего разрушения материалов [1 - 2] полная система уравнений при описании движения сплошной среды включает в себя фундаментальные законы сохранения массы, импульса и энергии, геометрические соотношения и две группы определяющих соотношений. Эволюционные определяющие уравнения первой группы задают связь между напряжениями и деформациями в релаксационной (скоростной) форме: скорости приращения напряжений пропорциональны скоростям приращения упругих деформаций, которые в свою очередь представляют собой разность скоростей полных и неупругих деформация. Задачей эволюционных уравнений второй группы является определение скоростей неупругих деформаций входящих в определяющие уравнения первой группы. В общем случае это кинетические уравнения, задающие скорости неупругой деформации и обеспечивающие релаксацию упругих напряжений. В настоящей работе эти скорости неупругой деформации определены в соответствии с теорией пластического течения. В этом случае имеет место мгновенная релаксация напряжений на каждом временном шаге при численном решении уравнений. Предельная поверхность напряжений записана в форме Мизеса - Шлейхера. Это позволяет учесть зависимость сдвиговой прочности от давления, что в свою очередь определяет разную прочность материала в условиях сжатия и растяжения. За основу взята модель пластичности Друккера - Прагера - Николаевского с неассоциированным законом течения, позволяющая описывать процесс дилатансии как независимый от внутреннего трения. В этом случае пластический потенциал не совпадает с функцией текучести [4].

Разрушение материла в развиваемом подходе описано как процесс деградации прочности материала до нуля при формировании трещин на сверхбыстрой катастрофической стадии эволюции напряженно-деформированного состояния, следующей за стадией предразрушения, на которой постепенно копятся повреждения. Эта деградация осуществляется через параметр поврежденности. Функция деградации среды (поврежденность)

D = D(t, м_у, е_тек) ? 1

зависит от накапливаемой средой неупругой деформации е_тек и вида напряжённого состояния м_у (коэффициента Лоде - Надаи):

, (1)

Здесь H(x) - функция Хевисайда, , - начальные степени деформации на упругой стадии, по достижении которых в материале начинается накопление повреждений в областях сжатия и растяжения соответственно. Причём , таким образом, повреждения в областях растяжения - сдвига (м_у < 0) начинают копиться при существенно меньших напряжениях, чем при м_у > 0 в областях сжатия - сдвига. Скорости накопления повреждений для локальных областей, где м_у < 0 также существенно выше, чем в областях сжатия - сдвига (м_у > 0). Этот процесс дополнительно регулируется параметром е_* = е_*(м_у) в (1). Таким образом, отклик среды на вид напряжённого состояния (её текущая прочность) формируется в среде в процессе её нагружения. Следовательно, прочностные параметры будут деградировать существенно быстрее в тех областях среды, где коэффициент Лоде - Надаи пониженный, м_у < 0. е_0* - параметр модели, t_* имеет смысл характерного времени процесса.

Для проведения расчетов рассмотрены две разные морфологии модельных пористых структур: перекрывающиеся сферические поры (ПСП) и перекрывающиеся сферические тела (ПСТ) [5 - 7]. В первом случае модельный образец пористой среды состоит из сплошного тела, включающего в себя сферические пустоты разного радиуса в случайно выбранных точках заданного объема. Этой морфологии соответствует в реальных материалах система изолированных пор при низкой пористости. Подобная пористая структура в керамике может быть обусловлена процессами коалесценции и сфероидизации пор на последней стадии спекания. Во втором случае геометрическая модель строится заполнением объема сферическими частицами сплошного материала, которые располагаются в случайно выбранных точках объема с разными радиусами и могут перекрываться. Эта модель является отражением процесса получения керамического материала спеканием идеальных сферических частиц (порошка).

Результаты моделирования получены решением полной системы уравнений в трехмерной постановке методом конечных разностей по схеме второго порядка точности, подробно описанной в работе [8]. Расчеты механического поведения в условиях одноосного сжатия были проведены для модельных объектов указанных двух типов морфологии и для двух значений пористости 15% и 31,5%. Физико-механические свойства в расчетах соответствовали частично стабилизированному диоксиду циркония в тетрагональной фазе.

Анализ усредненных диаграмм нагружения показал, что для образцов с меньшей пористостью диаграммы идут выше, что согласуется с экспериментальными данными. Для одной и той же пористости ниже расположены диаграммы для ПСТ-морфологии. Эту же информацию для чисто упругого поведения сообщают авторы статей [5,6]. Боле того, согласно [5] зависимость усредненного модуля Юнга E от пористости p для разных морфологий подчиняется степенной зависимости

E = E_d(1 - p)^m,

где E_d - модуль Юнга плотного материала скелета, а показатель m = 2 для ПСП структур и m = 4 для ПСТ структур. Полученные в наших расчетах значения этого показателя равны m =2,9 для ПСП структур и m = 4,0 для ПСТ. Экспериментальные исследования на пористых материалах из диоксида циркония с различной пори-стостью в диапазоне 10-75% и разным соотношением размеров пор и размеров зерна керамики свидетельствуют о том, что зависимость модуля Юнга керамических образцов от пористости лучше аппроксимируется экспоненциальной функцией

E = E_d exp(-b•p) [9].

Отличие этой экспоненциальной зависимости и степенной зависимости для ПСТ-морфологии не значительное в диапазоне пористости 10-40%. Полученные в наших расчетах данные также хорошо совпадают со степенной зависимостью для ПСТ-морфологии из [5].

(а) (б)

Распределение поврежденности на поверхностных гранях исследуемых объемов с пористостью 15% и разной морфологией пор: а - ПСП, б - ПСТ.

Представляет интерес также оценка зависимости от пористости прочностных характеристик. Экспериментальные данные для керамик из диоксида циркония в работе [9] также были аппроксимированы экспоненциальной функцией с разными параметрами в зависимости от соизмеримости размеров пор и размеров зерна. Расчетные данные хорошо ложатся на экспериментальные кривые для ПСП-морфологии.

Изображения модельных структур в дискретном представлении расчетной сеткой из кубических ячеек (вокселов) с областями поврежденности представлены на рисунке.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

керамика пористый эволюционный моделирование

Макаров П.В. Эволюционная природа деструкции твердых тел и сред // Физ. мезомех. 2007. Т. 10. № 3. С. 23 - 38.

Макаров П.В. Математическая теория эволюции нагружаемых твердых тел и сред // Физ. мезомех. 2008. Т. 11. № 3. С. 19 - 35.

Макаров П.В., Еремин М.О. Модель разрушения хрупких и квазихрупких материалов и геосред // Физ. мезомех. 2013. Т. 16. № 1. С. 5 - 26.

Костандов Ю.А., Макаров П.В., Еремин М.О., Смолин И.Ю., Шиповский И.Е. О разрушении хрупких тел с трещиной при сжатии // Прикладная механика. 2013. Т. 49. №1. С. 124 - 132.

Bruno G., Efremov A.M., Levandovskyi A.N., Clausen B. Connecting the macro- and microstrain responses in technical porous ceramics: modeling and experimental validations // J. Mater. Sci. 2011. Vol. 46. P. 161 - 173.

Roberts A. Garboczi E. Elastic properties of model porous ceramics // J. Am. Ceram. Soc. 2000. Vol. 83. № 12. P. 3041 - 3048.

Torquato S. Random heterogeneous media: microstructure and improved bounds on elastic properties // Appl. Mech. Rev. 1991. Vol. 44. P. 37 - 76.

Wilkins M.L. Computer Simulation of Dynamic Phenomena. Berlin, Heidelberg: Springer-Verlag, 1999. 246 p.

Буякова С.П., Кульков С.Н., Масловский В.И. Структура, фазовый состав и механическое поведение керамики на основе диоксида циркония // Вестник Томского государственного университета. Бюллетень оперативной научной информации. 2003. № 13. С. 28 - 34.

Размещено на Allbest.ru