Математическая модель температурного поля диска газотурбинного двигателя

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Математическая модель температурного поля диска газотурбинного двигателя

И.А. Данилушкин, А.А. Московцев Самарский государственный технический университет

Аннотация

Рассматриваются вопросы математического моделирования температурного поля диска при нагреве в процессе термопластического упрочнения поверхности диска газотурбинного двигателя. Основными методами исследования являются методы математического анализа, теории теплопроводности и компьютерное моделирование. Найдена функция Грина, позволяющая получить передаточную функцию объекта в терминах структурной теории распределённых систем.

Ключевые слова: диск газотурбинного двигателя, термопластическое упрочнение, математическая модель температурного поля диска, объект с распределенными параметрами.

Повышение прочности и эффективности функционирования наиболее нагруженных элементов конструкции, к которым относятся диски турбин и компрессоров, является основным вопросом, связанным с продлением срока эксплуатации газотурбинных двигателей. Одним из способов повышения надежности и долговечности дисков газотурбинных двигателей является процедура термопластического упрочнения [1], в процессе которой участок диска нагревается с заданной скоростью до определённой температуры. Нагрев может осуществляться различными способами: с помощью печи сопротивления или индукционной установки.

Требования к точности нагрева диска газотурбинного двигателя не позволяют получить удовлетворительное качество модели объекта управления в классе систем с сосредоточенными параметрами. Необходимо рассматривать задачу синтеза системы автоматического управления температурным полем диска как объектом с распределёнными параметрами, что, в свою очередь, должно быть отражено в математической модели объекта управления.

Математическая модель описывает температурное распределение по объему диска газотурбинного двигателя. При разработке модели был принят ряд допущений, которые позволили получить удовлетворительную точность описания температурного поля диска с помощью аналитических методов:

1) поведение температурного поля может быть описано линейным дифференциальным уравнением;

2) торцевые поверхности диска имеют гладкую форму.

Температурное поле диска рассматривается в цилиндрической системе координат. Из-за малой толщины диска температурное распределение по толщине можно не учитывать. В таком случае получим двумерное уравнение теплопроводности с соответствующими краевыми и начальными условиями, описывающее температурное поле диска:

,

, , ;(1)

, , ;(2)

, , ;(3)

, , ,(4)

где - температурное поле диска, - температуропроводность, , c - теплопроводность и удельная теплоёмкость, - плотность материала, R - внешний радиус диска, - функция, описывающая распределение удельной мощности теплоисточников по диску.

С помощью граничных условий можно задать потери только с боковой поверхности цилиндра, которые из-за малой толщины диска принимаются равными нулю. Потери с торцевой поверхности цилиндра могут быть учтены с помощью функции распределения теплоисточников . Методы структурной теории распределенных систем позволяют получить решение для неоднородного дифференциального уравнения с помощью операции пространственного интегрирования произведения функции распределенных теплоисточников и функции Грина уравнения (1) по области определения [2], [3].

Для нахождения функции Грина объекта необходимо решить дифференциальное уравнение в частных производных (1) с граничными условиями (2)-(3) и начальными условиями (4) для функции распределения теплоисточников , заданной уравнением вида [3]:

,(5)

т.е. при воздействии импульсного источника в точке в начальный момент времени.

Найдём функцию Грина объекта с помощью интегральных преобразований. Чтобы избавиться от операции дифференцирования по переменной , используем косинус-преобразование Фурье [4]

, .(6)

Переход от изображения функции к ее оригиналу осуществляется по формуле

.(7)

Применяя преобразование (6) к дифференциальному уравнению теплопроводности (1), с учётом граничных условий (2)-(3) получим

,(8)

.(9)

К полученному уравнению (8) применим преобразование Ханкеля [4]

,(10)

где - корень характеристического уравнения

.(12)

Тогда исходное уравнение принимает вид

.(13)

Решение обыкновенного дифференциального уравнения (13) запишется как

.(14)

Для перехода к оригиналу последовательно применяются обратное косинус-преобразование Фурье [4]

(15)

и обратное преобразование Ханкеля [4]

,

,(16)

где - положительные корни трансцендентного уравнения,

.(17)

Выражение (16) и есть функция Грина системы.

Найденная функция Грина объекта позволит в дальнейшем получить передаточную функцию объекта в терминах структурной теории распределённых систем и использовать её при синтезе и анализе автоматической системы управления температурным полем диска.

температурный диск грин фурье

Библиографический список

1. Головачев А.Л., Данилушкин А.И., Мишанин Е.А. Система индукционного нагрева для термообработки елочного паза дисков турбоагрегатов // Вестник СГТУ. - 2006. - №1(10). - Вып. 1. - С.108-113.

2. Рапопорт Э.Я. Структурное моделирование объектов и систем управления с распределенными параметрами. - М.: Высшая школа, 2003.- 299с.

3. Бутковский А.Г. Характеристики систем с распределенными параметрами. - М.: Наука, 1979. - 224 с.

4. Диткин В.А., Прудников А.П. Интегральные преобразования и операционное исчисление. - Москва, 1961. - 524 с.

Размещено на Allbest.ru