Исследование аппроксимационных алгоритмов решения обратных задач технической диагностики

Ввиду того, что полиномы нулевого порядка, построенные на основе базиса (4) при соответствующих коэффициентах А₀, А₁, б₁, б₂, б₃, совпадают по виду с большинством рассмотренных здесь АКФ, погрешность аппроксимации равна нулю при нулевом порядке модели, общая погрешность оценивания АКФ будет определяться только статистической погрешностью оценок параметров.

Порядок моделей и ОСП наиболее часто встречающихся на практике ИПФ, полученных с использованием полиномов Лагерра (L_k ) и полиномов (4)(), представлены в табл. 2.

Таблица 2 Аппроксимация ИПФ

Из полученных результатов видно, что при аппроксимации АКФ и ИПФ использование данного базиса имеет явное преимущество по сравнению с ортогональными функциями Лагерра.

Таким образом, использование базиса (4) при решении обратных задач промышленной диагностики в стохастической постановке позволяет существенно снизить размерность системы уравнений, что приводит к получению простых в реализации и устойчивых результатов.

В постановке задачи диагностики в случае детерминированных процессов возможен аппроксимационный метод решения с использованием параметрических моделей заданного вида.

В настоящее время в различных областях, таких как аналитическая химия, рентгеновская дифрактометрия, г-спектроскопия, ультразвуковая дефектоскопия и других, известно большое количество работ, посвященных обоснованию аналитических математических моделей, свойственных и адекватных различным объектам, процессам и ситуациям.

Использование этих методов в производстве, т.е. в условиях устоявшихся технологических процессов, в рамках узкоспециализированных задач, с ограниченным диапазоном вариации параметров, позволяет накапливать экспериментальную информацию об исследуемых процессах и явлениях. Данная информация может быть использована как априорная при решении обратных задач диагностики.

Практическая реализация метода решения обратных задач технической диагностики, основанного на среднеквадратической аппроксимации экспериментальных зависимостей и искомых решений, может оказаться чрезвычайно затруднительной при использовании моделей с нелинейно входящими в них параметрами. В случае использования параметрических моделей заданного вида целесообразно разрабатывать и применять подходы, позволяющие получать простые и статистически устойчивые решения.

Такие решения могут быть получены при использовании обобщенного критерия моментов. Рассмотрим задачу оценки распределения диаметров частиц в двухфазном дисперсном потоке [3, 4].

Непосредственно измерению подлежат значения функции скорости счета f(s), связанной с искомой плотностью распределения u(и) диаметров и капель интегральным уравнением Фредгольма I рода:

(6)

Ядро уравнения K(s, и) в случае анализа распределения размеров капель электропроводящей жидкости в газожидкостном потоке, основанном на подсчете количества капель с диаметром, большим определенного числа, в некоторой области потока за единицу времени, вычисляется по формуле:

, (7)

где Fc - площадь сечения сопла в месте измерения, P - общее число капель, проходящих в единицу времени в сечении Fc , s - параметр измерительного преобразователя, обеспечивающий формирование импульса при и? s.

Для данной задачи известны четыре модели распределения диаметров частиц в двухфазных дисперсных потоках:

; (8)

; (9)

; (10)

.(11)

После составления уравнения моментов получим систему из (m+1) уравнений:

, (12)

Где

- начальный момент порядка (q+3) случайной величины и с распределением u_M(и ,б),

. (13)

Система должна быть решена относительно б₁,…, б_m и p.

Тогда при использовании модели (8) система будет содержать два уравнения для моментов порядка 0 и 1. Учитывая дискретный характер функций скорости счета f(s) и ограниченный диапазон изменения размеров частиц иmin ?и? иmax, получим алгоритм оценки значения параметра б.

(14)

Для модели (9) система будет содержать три уравнения. Решая ее, получим следующий алгоритм оценивания параметров б и в:

(15)

Для модели (10) алгоритмы вычисления оценок параметров б и в будут иметь следующий вид:

(16)

Наконец, для модели (11) получим систему:

(17)

Поскольку оценка параметра в не может быть получена в явном виде и должна принимать только целочисленные значения, для решения первого уравнения в системе (17) может быть предложена следующая процедура. Функции ш(в*) могут быть вычислены рекуррентно:

.(18)

Зависимость дисперсии от уровня шума

Исследование представленных алгоритмов проводилось путем имитационного моделирования. Для каждой модели была получена «точная» правая часть. Затем с помощью генератора случайных чисел к значениям правой части добавлялся шум, имеющий нормальный закон распределения и нулевое математическое ожидание. Значение шума выбиралось таким образом, чтобы значение математического ожидания его амплитуды составляло 1-15% значения математического ожидания правой части уравнения.

В результате эксперимента по алгоритмам (14)-(18) были получены значения параметров моделей. По полученным параметрам строилась модель решения и вычислялась дисперсия.

Для каждой модели с каждым уровнем шума проводилось по 500 экспериментов. Таким образом, были получены данные ансамбля из 500 реализаций по каждому эксперименту. Для анализа результатов было проведено усреднение по ансамблю реализаций. Полученные зависимости дисперсии от амплитуды шума представлены на рисунке. Лучшие результаты получились при использовании модели (8); дисперсия полученных результатов также самая низкая из всех моделей. Вычисления с моделью (9) показали, что определение параметров модели сильнее зависит от уровня помех. Разброс значений полученных данных превышает аналогичный показатель у моделей (8) и (10) (см. рисунок), что говорит о большей неустойчивости решения.

Модель (8) является частным случаем (10) при в=1. Наличие дополнительного параметра в модели (10) ухудшает качество решения: относительная погрешность результата находится в районе 15-16%, однако при увеличении уровня помех значительно не возрастает. Дисперсия полученных результатов также достаточно низкая.

Модель (11) в ходе экспериментов показала наихудший результат, что объясняется сложностью самой модели. Однако при уровне помех до 5% погрешность результатов меньше, чем у модели (10). Вычисления с моделью (11) имеют самую большую дисперсию, существенно превышающую дисперсию результатов с использованием моделей (8) и (9).

Библиографический список

1. Батищев В.И., Мелентьев В.С. Аппроксимационные методы и системы промышленных измерений, контроля, испытаний, диагностики. - М.: Машиностроение, 2007. - 393 с.

2. Батищев В.И., Волков И.И., Золин А.Г. Построение и оптимизация ортогональных базисных систем для аппроксимации спектрально-корреляционного анализа и идентификации линейных динамических объектов // Вестник Самар. гос. техн. ун-та. - Сер. Технические науки. - 2007. - №40. - С.47-52.

3. Батищев В.И., Волков И.И., Панфилов Г.А. Аппроксимативный метод экспериментальной оценки характеристик распределения размеров капель в газожидкостных потоках / Куйбышев. политехн. ин-т, Куйбышев, 1981. - 4 с. - Деп. в ВИНИТИ. 09.11.81, №1700-В81.

4. Батищев В.И., Волков И.И., Панфилов Г.А. Оценка параметров модели плотности распределения частиц по размерам на основе критерия моментов / Куйбышев. политехн. ин-т, Куйбышев, 1981. - 6 с. - Деп. в ВИНИТИ. 09.11.81, №1702-В81.

Размещено на Allbest.ru