Параметрический синтез колебательных систем механизмов с аномальными характеристиками

Здесь _j() - фазочастотная характеристика,

где ₀(); ₀ - коэффициент рассеяния; z=;

Потребуем, чтобы при отсутствии диссипации (=0) выполнялось dA_j /d=0. Тогда на основании (5)

Условия (6) не зависят от . Это означает, что A_j=const; при этом A_j=A_j*=, что свидетельствует о нетривиальной ситуации, когда амплитудно-частотная характеристика для данной гармоники j не зависит от частоты возмущения . При учете линейной силы сопротивления () имеем при резонансном соотношении частот (jz=1) парадоксальный результат: соответствующая «резонансная» амплитуда обращается в нуль. Физический смысл этого эффекта связан с частотным совмещением резонанса с антирезонансом, причем в этом динамическом конфликте «побеждает» антирезонанс.

Далее обратимся к важным приложениям. Если в качестве циклового механизма выбрать синусный механизм (рис. 1, б), то П_1S=О₁А=r; m₁=m₁₁R/r и П _jS=0 при j>1. При этом безразмерная амплитудно-частотная характеристика приобретает вид, показанный на рис. 2. Здесь принято (z)=. Принимая во внимание физическое происхождение выявленного динамического эффекта, в резонансной зоне можно ожидать повышенную чувствительность к точности частотной настройки. Можно показать, что при требовании (1) левая часть первого из условий (6) не должна превышать по абсолютной величине 2p² (рис. 2).

Для кривошипно-ползунного механизма (рис.1, в) функция положения с достаточной точностью может быть описана бигармонической функцией

где r - радиус кривошипа; =r/l; l - длина шатуна.

Потребуем, чтобы для основной гармоники j=1 удовлетворялось условие (6). Тогда при z=1 ( = p) имеем А₁=0, а при z=0,5 (=0,5p) получим

При этом предполагается, что масса шатуна статически размещена между шарнирами А и В. Из (7) следует, что при уравновешивании кривошипа (R=0) на резонансной частоте по второй гармонике ( = 0,5p) А₂=0.

Синтез линейной динамической модели с двумя степенями свободы

Обратимся к динамической модели с двумя степенями свободы, которой отвечает система дифференциальных уравнений (2). Не сужая общности в постановке задачи, произведем параметрический синтез колебательной системы с аномальными свойствами для случая моногармонического возбуждения (см. рис. 1, б).

При отсутствии диссипации (=0) и R=r амплитуда вынужденных колебаний платформы А₁ определяется следующим образом:

Введем следующие условные обозначения:

Можно показать, что dA₁/d обращается в нуль при

Условие (9) свидетельствует о том, что частотный фактор z может быть исключен из этого уравнения лишь при ₂=0, т.е. для системы с одной степенью свободы. Поэтому в данном случае речь идет не о постоянстве амплитуды, а об условии экстремума. Тем не менее левая часть условия (9) характеризует уровень производной dA₀ /d, поэтому ее малые значения могут быть использованы для получения квазипостоянных амплитуд вынужденных колебаний. С этой целью примем относительно малые значения ₂ и введем одно из дополнительных требований вида

В первом случае, отвечающем условию (10), обращается в нуль коэффициент при z², а при условии (11) - свободный член. Как показал анализ, с позиций постановленной задачи более предпочтительным оказывается условие (11). При этом имеют место два экстремума - при

Можно показать, что эти экстремумы являются «слабыми», что проявляется в малых изменениях производной dA₀ /d в окрестности этих значений. Последнее, естественно, свидетельствует о квазипостоянном характере изменения амплитуд.

При соблюдении условия (10) и _i=0 Интересно, что в этом случае амплитуды вынужденных колебаний при z=0 и z совпадают.

Далее для корректного учета частотно независимой диссипации, характерной для реальных механизмов, осуществим переход к нормальным координатам _i согласно зависимостям

Здесь ₁ и ₂ - коэффициенты формы, определяемые как корни следующего квадратного уравнения

где

После эквивалентной линеаризации диссипативных сил запишем

где

b_I, b_II - приведенные к соответствующей форме коэффициенты эквивалентного линейного сопротивления [3].

На основании (13) амплитуда вынужденных колебаний определяется как

Здесь

где

Q_i - правая часть соответствующего уравнения (13); _i - приведенный коэффициент рассеяния.

На рис. 3 приведена амплитудно-частотная характеристика А₁(z)/r, где z=, , построенная при следующих исходных данных: ₀=2; ₂=0,4; ₀=1; ₂=1; _i=0,05; =1c^-1. Анализ графика показывает, что за исключением резонансных зон амплитуда вынужденных колебаний сохраняется относительно стабильной. В зоне первого резонанса амплитуда резко понижается и близка к нулю, а в зоне второго резонанса имеет место незначительный всплеск значений при последующей стабилизации.

При ₂=0,2 отклонения амплитуд в этой зоне не превышают 16% от среднего значения. Отметим, что при малых значениях ₂ амплитуда при близка к статической амплитуде, т.е. при =0. Так, при принятых исходных данных эти амплитуды различаются лишь на 6,6%.

При необходимости, как и для модели с одной степенью свободы, в зоне первого резонанса можно обеспечить условие А₁=0 за счет параметра =R/r (выше было принято = 1).

Анализируя зависимость (8), можно убедиться в том, что при 1 в числителе вместо m₁ следует подставить m_1*, в то время как знаменатель остается неизменным. Это свидетельствует о том, что параметр влияет лишь на частотную настройку функции возмущения, не влияя на значение собственных частот. Потребуем, чтобы при = p₁ числитель функции (8) обратился в нуль. Тогда

Принимая во внимание, что _1*=₁₀+₁₁, где ₁₀ = m₁₀ /m₁; ₁₁ = m₁₁ /m₁, получаем = (_1* - ₁₁)/₁₀. Для принятых исходных данных = 0.965. При указанных коррективах амплитуда вынужденных колебаний при = p₁ обращается в нуль.

Синтез нелинейных моделей

Примем, что в динамической модели с одной степенью свободы между платформой и корпусом установлен нелинейный упругий элемент, при котором дифференциальное уравнение после гармонической линеаризации и перехода к безразмерному времени =pt имеет вид

Здесь принято: q = y₁ / r - безразмерная координата платформы, отсчитываемая от положения статического равновесия; z=/p; (z)=A/A_* - безразмерная амплитуда; A_*=c_1* r/(c_1* +c₀); () - коэффициент гармонической линеаризации; ()' =d/d.

Произведем параметрический синтез колебательной системы таким образом, чтобы при отсутствии диссипации (=0) выполнялось условие d/dz=0. Тогда правая часть дифференциального уравнения (17) равна [z²/_*(_*)-1]sin z; здесь звездочки при и отвечают значениям этих параметров согласно уравнению

синтез колебательный амплитудный частотный

полученному при d/dz=0 и =0.

Безразмерная амплитудно-частотная характеристика при учете (18) и приобретает вид

Зависимость (19) представим в виде биквадратного уравнения относительно безразмерной частоты z:

При z = 0 из (19) следует условие (18); это свидетельствует о том, что постоянная амплитуда равна статической амплитуде.

Для конкретизации нелинейностей восстанавливающая сила была принята пропорциональной (1+, где h_i - коэффициент пропорциональности; s = 1 - отвечает жесткой упругой характеристике, а s = -1 - мягкой. При этом имеем

где =0,75; f =1+h₂². Границам области динамической устойчивости соответствуют уравнения, полученные в [3].

Для жесткой характеристики (s = 1)

Для мягкой характеристики (s = -1)

где

На рис. 4 показана эволюция амплитудно-частотных характеристик (z) для жесткой упругой характеристики (графики I, II, III) и мягкой характеристики (графики IV, V, VI).

При этом кривые 1 соответствуют скелетным кривым, кривые 2 - (z), кривые 3 - границам заштрихованной области динамической неустойчивости.

Выявленной выше частотной настройке =_*, =_*, отвечающей условию d/d z= 0 при = 0, соответствуют графики II и V, для которых Для графиков I и IV в зависимостях (19), (20) принято вместо _* значение _*./(1+2), а для графиков III и VI - _*./(1-2). При этом основная ветвь кривой (z) проходит через нуль соответственно при и . Таким образом, приведенные графики показывают эволюцию амплитудно-частотных характеристик при относительно малых отклонениях от расчетной частотной настройки.

Остановимся на некоторых общих аномальных особенностях приведенных характеристик. Обычно пересечению амплитудно-частотной характеристики со скелетной кривой 1 соответствуют повышенные значения резонансной амплитуды. В данном случае согласно (19) при = z²:

Поскольку мало отличается от _*, числитель выражения (24) соизмерим со знаменателем, значение которого обусловлено диссипативным фактором . При этом традиционный резонансный пик исчезает.

При точной частотной настройке (см. рис. 4, II,V) амплитуды колебаний в дорезонансном и зарезонансном режимах сохраняются относительно постоянными; в то же время в окрестности скелетной кривой появляется устойчивый режим с большими амплитудами. При жесткой упругой характеристике и основная ветвь амплитудно-частотной характеристики терпит разрыв непрерывности, причем относительное постоянство (z) сохраняется лишь в дорезонансном режиме. При (режим III) амплитудно-частотная характеристика отличается от случая (режим II) лишь тем, что в дорезонансном режиме уровень амплитуд выше, чем в зарезонансном; кроме того, верхняя ветвь кривой 2 проходит в области более высоких значений (z).

При мягкой упругой характеристике режим принципиально близок к режиму (режимы IV, V), однако при этом уровень амплитуд в дорезонансном режиме ниже, чем в зарезонансном. В то же время незначительное увеличение параметра настройки (режим VI) приводит в дорезонансной зоне к разрыву нижней ветви кривой 2 и возникновению частотного диапазона, в котором происходит перескок в область больших значений амплитуд.

Таким образом, при малых нарушениях расчетной частотной настройки системы квазипостоянные значения амплитуд сохраняются при жесткой упругой характеристике в дорезонансной зоне, а при мягкой - в зарезонансной. Отметим, что при уменьшении уровня диссипации ( минимум границы области динамической неустойчивости стремится к нулю. Поэтому, несмотря на установленное выше условие (18), соответствующее постоянству амплитуд, частотному диапазону в окрестности отвечают неустойчивые режимы. При этом верхняя ветвь кривой 2 практически смыкается с нижней.

Компьютерное моделирование

Компьютерное моделирование механизмов данного класса полностью подтвердило аномальный характер вынужденных колебаний. При этом для линейных моделей решение, полученное численными методами, практически совпало с аналитическими результатами, в то время как для нелинейных моделей неустойчивость решений наблюдалась в более широкой области по сравнению с аналитическим прогнозом.

Для жесткой упругой характеристики при относительно малой диссипации неустойчивость имела место при z > , а для мягкой - при z < 0,5. Можно предположить, что это связано с дополнительными возмущениями, возникающими из-за отклонений от гармонически линеаризованных характеристик системы.

На амплитудно-частотной характеристике (см. рис. 2) нанесены точки, полученные компьютерным моделированием. На рис. 5 в качестве иллюстрации показаны фрагменты вынужденных колебаний q(ц) для жесткой (рис. 5, а) и мягкой (рис. 5, б) упругих характеристик. Звездочки при параметре z указывают на ненулевые начальные условия. В частности, при z* = 0,7 и при q₀ (0) = 1,6 для мягкой характеристики четко виден скачок в область больших значений амплитуд.

Заключение

Выявлен и исследован класс механизмов, обладающих аномальными амплитудно-частотными характеристиками, что проявляется в квазипостоянных амплитудах в нерезонансных зонах и существенном снижении амплитуд при резонансном соотношении частот. Для нелинейных моделей установлены условия динамической устойчивости колебательных режимов.

Список литературы

1. Вульфсон И.И. Механизмы с квазипостоянной амплитудно-частотной характеристикой //Тезисы докладов XIII Симпозиума по динамике виброударных (сильнолинейных) систем. ИМ РАН, Москва - Звенигород, 2001.

2. Вульфсон И.И, Коловский М.З. Нелинейные задачи динамики машин. Л.: Машиностроение, 1968. - 284 с.

3. Нелинейные задачи динамики и прочности машин / Под ред. В.Л.Вейца.- Л.: ЛГУ, 1983. - 336 с.

Размещено на Allbest.ru