В статье [1] получены уравнения функции положения платформы в форме , где i - множество номеров всех опор, - столбец координат полюса платформы и параметров ориентации платформы (например, углы Эйлера), q - столбец входных обобщённых координат.

Обобщённые движущие силы определены из общего уравнения динамики, записанного для механизма в виде:

, (1)

где - столбец проекций главного вектора и главного момента активных сил, действующих на платформу (звено 1 на рис. 1), относительно центра масс платформы на оси неподвижной системы координат, - столбец движущих сил в приводах, - столбец возможных изменений входных обобщённых координат, - столбец возможных изменений координат полюса (дr0) и проекций на оси неподвижной системы координат вектора бесконечно малого поворота платформы () при возможном изменении углов Эйлера .

После соответствующих преобразований обобщённые движущие силы определятся следующим образом:

.

Здесь матрица , где E - единичная матрица 3х3, а матрица - такая, что .

В статье [2] для расчётной схемы опоры номер i, состоящей из звеньев 2·i и 2·i+1 (рис. 2) получены уравнения силового анализа следующего вида.

Для звена 2i:

(2)

Для звена 2i+1:

(3)

В уравнениях (2) и (3) используются следующие обозначения (см. рис. 2.): , , , . Где c2i - центр масс звена 2i, c2i+1 - центр масс звена 2i+1.

Уравнения (2) и (3) записаны в системах координат, связанных со звеньями опор. Это диктует необходимость перепроецирования реакций, определённых из этих уравнений, в неподвижную систему координат.

Для перехода из системы координат, связанной с опорой, в неподвижную систему координат, надо задать матрицы направляющих косинусов между этими системами координат. Поскольку в статье принято предположение, что опора не может поворачиваться вокруг своей продольной оси, совмещение неподвижной и подвижной систем координат можно осуществить при помощи двух последовательных поворотов (рис. 3.).

рис. 3. Последовательность преобразования координат.

В этом случае, матрица направляющих косинусов системы координат относительно неподвижных осей 0x0y0z0 запишется как:

(4)

где A02i* - матрица направляющих косинусов между системами координат 0 - 2i*, A2i*2 - матрица направляющих косинусов между системами координат 2i* - 2i.

При этом углы б2i, в2i определяются из своих тригонометрических функций:

.

Векторы реакций каждой опоры, определённые из уравнений (2) и (3), (см. также [2]) можно перепроецировать на неподвижные оси умножением матрицы A02i на векторы реакций в системах координат, связанных с опорами.

Пусть опора с номером i имеет два положения: первое определяется углами б2i, в2i; второе, бесконечно близкое к первому, определяется углами б2i+дб2i, в2i+дв2i. Переход из первого положения во второе можно осуществить с помощью двух бесконечно малых поворотов, заданных соответствующими векторами (см. рис. 3.):

Результирующий бесконечно малый поворот определяется геометрическим сложением двух малых поворотов:

. (5)

Проекции вектора бесконечно малого поворота на неподвижные оси, получаются скалярным умножением вектора на орты соответствующих осей:

(6)

С учётом (6) столбец проекций вектора бесконечно малого поворота на неподвижные оси запишется в виде:

. (7)

Поскольку вектор угловой скорости , согласно [3], связывается с вектором бесконечно малого поворота соотношением , проекции вектора угловой скорости опоры с номером i () на неподвижные оси определятся из соотношения (7) как:

. (8)

Выражения для проекций вектора угловой скорости платформы на оси неподвижной системы координат, для различных параметров ориентации платформы (углы Эйлера, самолётные углы, параметры Родрига) можно найти в работе [1] или [3].

Учёт трения в кинематических парах можно осуществить при помощи метода итераций следующим образом.

1. Находятся движущие силы и реакции без учёта трения из уравнений (1) - (3).

2. Силы и моменты сил трения добавляются к активным нагрузкам, действующим на платформу.

3. Снова находятся движущие силы и реакции. По новым значениям реакций определяются новые значения сил и моментов сил трения.

4. Новые силы трения добавляются к значениям активных сил, определённым без трения.

Далее последовательно повторяются шаги 2 - 4. В случае если метод итераций сойдётся, и движущие силы от цикла к циклу меняться не будут, тогда обеспечивается нормальная работа механизма. Расходимость метода, скорее всего, указывает на заклинивание механизма.

Трение в сферическом шарнире (Bi) (рис. 1.) проявляется в виде момента трения. Этот момент пропорционален главному вектору реакций в шарнире и направлен против угловой скорости платформы относительно опоры.

, (9)

где - момент трения, действующий на платформу со стороны опоры номер i, - столбец проекций относительной угловой скорости платформы на оси неподвижной системы координат, hBi - коэффициент пропорциональности (коэффициент трения в шарнире Bi).

Отношение в (9) определяет направление орта угловой скорости и тем самым указывает направление момента трения в неподвижной системе координат.

Трение в сферическом шарнире с “пальцем” (Ai) также учитывается в виде момента, направленного против угловой скорости опоры относительно стойки.

, (10)

где - момент трения между опорой и стойкой (действует со стороны стойки на опору), hAi - коэффициент пропорциональности (коэффициент трения в шарнире Ai), - столбец проекций вектора угловой скорости опоры с номером i в неподвижной системе координат.

Поскольку момент трения должен быть направлен против вектора угловой скорости , для его определения необходимо задать направление вектора угловой скорости. В неподвижной системе координат направление вектора угловой скорости определяется с помощью орта, имеющего проекции .

Трение в одноподвижной поступательной кинематической паре (ползуне) будет учтено в виде силы, зависящей от составляющих реакции, направленных вдоль осей 0x2i и 0y2i системы координат, связанной с опорой номер i (рис. 2.). При этом влияние реактивных моментов, действующих в данной кинематической паре, на силу трения рассматриваться не будет. В этом случая сила трения будет описываться следующим уравнением:

, (11)

где f2i,2i+1 - коэффициент трения скольжения в ползуне опоры номер i, -скорость изменения обобщённой входной координаты (длины опоры c номером i).

Силы трения в системе с неидеальными связями учитываются путём добавления их в состав активных сил и моментов, действующих на элементы механизма. Тогда, в соответствии с соотношениями (9 - 11), общее уравнение динамики механизма (1) запишется в виде:

, (12)

где _ столбец проекций нагрузок от трения в шарнире Bi на оси неподвижной системы координат, _ столбец проекций главного вектора и главного момента сил трения в шарнире Ai на оси неподвижной системы координат, _ столбец сил трения в поступательных кинематических парах опор, - столбец проекций возможного изменения координат полюса и проекций вектора бесконечно малого поворота опоры i на оси неподвижной системы координат.

Из уравнения для вариации функции положения [1] получено выражение для вариации выходных обобщённых координат дX. Здесь будет логично повториться и записать:

. (13)

Из уравнения (12), согласно (13), можно получить следующее соотношение.

, (14)

где матрицы G и дZ определяются, в зависимости от используемых для ориентации платформы параметров (углы Эйлера, самолётные углы, параметры Родрига и т.п.).

Тогда из (14), согласно [1] следует:

. (15)

Отсюда можно выразить движущие силы как:

. (16)

В выражении (16) большой интерес представляет определение значений элемента дц2i/дq. Он обуславливается тем, что, в рамках решения обратной задачи, все переменные заданы как функции от координат полюса (r0) и параметров, задающих ориентацию платформы в пространстве (Г). Тогда в выражении появляются не определённые ранее величины, а именно и, где , - столбцы углов б2i и в2i для шести опор (см. рис. 3.).

В рамках решения обратной задачи вариация столбца б=б(r0, Г), имеет вид:

. (17)

Подстановка (13) в (17) даёт следующее выражение:

. (18)

Откуда

. (19)

Столбец в, так же как и б, есть функция от координат полюса и параметров ориентации платформы (в=в(r0, Г)), поэтому для него можно записать уравнения:

. (20)

Таким образом, используя соответствующие элементы матриц (19) и (20), можно определить все элементы матриц в уравнении (16).

Как уже отмечалось, для того чтобы определить произойдёт ли заклинивание механизма вследствие трения или нет, уравнение (16) надо решать методом итераций. Поскольку в этом уравнении слагаемые зависят только от активных нагрузок на опоры и не зависят от движущих сил, то в методе последовательных приближений их надо учитывать только в первом приближении. Тогда, решая уравнение (16) итерационно для PBi и PAi, можно найти движущие силы.

Ниже приведены графики изменения нормы движущих сил (корень из суммы квадратов движущих сил во всех опорах) для одинаковых законов движения при подходе механизма к особому положению. При этом считалось, что на платформу действуют единичные нагрузки, а силы тяжести, силы и моменты сил инерции звеньев механизма пренебрежимо малы. Трение учитывалось только в сферических шарнирах.

а б

Рис. 4. Норма движущих сил вблизи особого положения: а-с учётом трения; б- без учёта трения