Структурный анализ механизмов

Преподавание ТММ

Размещено на http://www.allbest.ru/

4

http://tmm.spbstu.ru

УДК 621.01

Структурный анализ механизмов

Ю.А. Семенов

1. Физические модели механизмов

Механизмом называется связанная система тел, обеспечивающая передачу и преобразование движений и сил. Тела, образующие механизм, называются его звеньями. Звено может состоять из одного или нескольких жестко соединенных твердых тел, называемых деталями. Встречаются также механизмы с гибкими и жидкими звеньями. Конструктивные элементы, связывающие звенья и накладывающие ограничения (связи) на их относительные движения, называются кинематическими соединениями.

Изучение механизма начинается с построения физической модели, т.е. с идеализации его реальных свойств. Выбор тех или иных моделей зависит в первую очередь от задач исследования, от того, какие сведения о поведении механизма требуется получить в процессе анализа. На различных этапах конструирования машины один и тот же механизм описывается разными физическими моделями. Несколько моделей механизмов можно получить и на одном этапе исследования. Первая задача курса ТММ - научить основным правилам перехода от реального механизма к его расчетной схеме, а также требованиям, предъявляемым к физической модели: ее адекватности, математической разрешимости, максимальной простоте и т.п. Наиболее простой моделью реального механизма является модель, называемая механизмом с жесткими звеньями. Переход от реального механизма к этой модели основывается на предположении, что все звенья рассматриваются как недеформируемые тела, а их кинематические соединения реализуют голономные, стационарные и удерживающие связи.

В ряде случаев при исследовании машин используют более сложные модели механизмов, учитывающие зазоры в кинематических соединениях (неудерживающие связи), движения в шаровых соединениях (неголономные связи), силы трения (неидеальные связи), деформации звеньев (упругие связи) и т.п.

2. Кинематические пары

Физическую модель кинематического соединения двух звеньев называют кинематической парой. Кинематические пары классифицируют по числу степеней свободы в относительном движении соединяемых звеньев (подвижность кинематической пары) и по числу условий связи, накладываемых парой на это движении (класс пары). Очевидно, что пара - го класса является -подвижной.

Кинематические пары, в которых существуют общие поверхности, принадлежащие сопряженным звеньям и совпадающие при любом относительном движении, называются низшими. Кинематические пары, в которых при относительном движении звеньев имеются только общие линии или точки, меняющие свое положение, называются высшими.

Класс пары и ее подвижность можно определить следующим образом:

1) составить уравнения связей, налагаемых на относительное движение звеньев; их число указывает на класс пары;

2) определить подвижность пары по формуле

Рассмотрим некоторые примеры. Элементами вращательной кинематической пары являются цилиндрические поверхности и плоские поверхности буртиков. Если одно из звеньев пары принять за неподвижное и жестко связать с ним декартовую систему координат так, чтобы ось вращения совпала с осью , то в любой момент времени должны выполняться условия:

Это аналитические выражения связей, их уравнения, записанные в виде возможных перемещений. Следовательно, , .

В случае цилиндрической кинематической пары отсутствуют ограничивающие буртики, поэтому выполняются только четыре ограничения ():

а значит, .

Для винтовой кинематической пары справедливы следующие уравнения связей:

где - радиус цилиндра, - шаг винтовой линии. Здесь движение винта относительно гайки задается только одним независимым параметром или , поэтому пара является одноподвижной ().

Следует еще раз подчеркнуть, что всякая кинематическая пара является физической моделью реального кинематического соединения звеньев. Так, понятия «высшая пара» и «низшая пара» не определяют напрямую способ их реализации. Например, вращательная пара может быть реализована с помощью шарикоподшипника, в котором звенья не имеют реальных элементов с совпадающими поверхностями. Однако если мысленно связать с ними цилиндрические поверхности, оси которых совпадают с осью подшипника, а радиусы одинаковы, то такие поверхности будут совмещаться друг с другом при любом положении звеньев и, следовательно, это кинематическое соединение является низшей парой. Аналогично сферическая пара может быть реализована при помощи трех цилиндрических шарниров и т.д. С другой стороны, высшая пара может быть образована несколькими поверхностями и плоскостями звеньев и дополнительных деталей.

В зависимости от постановки задачи одно и тоже кинематическое соединение может описываться различными кинематическими парами. Так, например, в любом реальном цилиндрическом шарнире существуют зазоры, как радиальные, так и осевые. В ряде задач, с учетом этих зазоров, шарнир приходится рассматривать либо как вращательную, либо как цилиндрическую или сферическую пару.

3. Кинематические цепи

Звенья, соединенные кинематическими парами, образуют кинематическую цепь. Кинематическая цепь называется открытой, если она содержит хотя бы одно звено, входящее в одну кинематическую пару; в противном случае кинематическая цепь называется замкнутой. Открытая кинематическая цепь имеет структуру «дерево», если при последовательном сочленении звеньев каждое последующее звено соединяется только с одним предшествующим.

Кинематическую цепь характеризуют ее входы и степени подвижности. Входы кинематической цепи образуют смежные звенья, закон относительного движения которых задан. Эти движения задаются двигателями, поэтому число входов совпадает с числом двигателей кинематической цепи. Они могут быть внутренними, где движущие усилия прикладываются к подвижным звеньям цепи, и внешними, где движущие усилия действуют на одно из подвижных звеньев цепи и на другое звено, не входящее в кинематическую цепь (в частности, на стойку).

Если кинематическая цепь содержит подвижных звеньев и кинематических пар - ой подвижности, то она обладает

степенями свободы, поскольку каждая - подвижная пара накладывает независимых условий связи. Число степеней свободы кинематической цепи с жесткими звеньями принято называть числом ее степеней подвижности.

Кинематическая цепь называется нормальной - подвижной структурной группой или просто структурной группой, если число ее входов равно числу степеней подвижности, т.е. = . Структурная группа называется простой, если она не может быть разделена на несколько групп с меньшим числом звеньев. Простая структурная группа, у которой = = 0, называется группой Ассура.

Любой механизм может быть образован последовательным присоединением к стойке простых структурных групп (принцип Ассура). Механизм называется нормальным, если

При механизм называется особым.

4. Задачи структурного анализа механизма

Задачей структурного анализа механизма является определение - количества подвижных звеньев, - количества кинематических пар, входящих в его состав, а также нахождение - подвижности каждой кинематической пары и - степени подвижности механизма. В задачу структурного анализа входит также последовательное разделение механизма на структурные группы. Такая структурная декомпозиция механизма значительно упрощает его геометрическое, кинематическое и динамическое исследование, поскольку структурные группы, как правило, описываются независимыми системами соответствующих уравнений небольшого порядка.

Связи, накладываемые на относительные движения звеньев, могут быть определены при помощи структурной схемы - схемы механизма, выполненной с учетом условных обозначений кинематических пар и звеньев. Некоторые из связей или подвижностей могут быть выявлены только на кинематической схеме механизма, где учитываются геометрические размеры звеньев.

5. Определение числа степеней подвижности механизма

Пример 1. На рис.1 показан механизм платформы, у которой звенья 0 и 1-6 образуют одноподвижные три вращательные пары и три поступательные пары ().

Рис. 1

Звенья 2,4,6 и 7 входят в три трехподвижные сферические пары (). Число подвижных звеньев . Число степеней подвижности, определяемое по формуле (1),

совпадает с числом входов , т.е. механизм является нормальным. Входы на рис.1 показаны стрелками.

Пример 2. В шарнирном четырехзвеннике (рис.2) три подвижных звена () и неподвижное звено (стойка) образуют четыре одноподвижные вращательные

Рис. 2

пары (). Подставляя числовые показатели кинематической схемы механизма в формулу (1), получим

С точки зрения структурной формулы (1) данная механическая система не является механизмом, а представляет собой дважды статически неопределимую ферму. Однако если оси всех шарниров расположить параллельно друг другу, то рассматриваемая система окажется механизмом с одной степенью подвижности, совершающем плоское движение. В этом случае связи, обеспечивающие параллельность осей, не будут ограничивать относительные движения звеньев в плоскости. Такие связи, устранение которых не влияет кинематику механизма, называются избыточными. При определении числа степеней подвижности эти связи должны быть исключены из общего числа связей. В плоском механизме, звенья которого движутся в параллельных плоскостях, из шести независимых движений остается только три (два поступательных и одно вращательное). Поэтому число степеней подвижности плоского механизма следует подсчитывать по следующей формуле

где - число низших (одноподвижных пар), - число высших (двухподвижных пар). По этой формуле получаем .

Аналогичная картина имеет место и в случае сферических механизмов, где оси всех вращательных пар пересекаются в одной точке, а независимыми являются только три вращательных движения. Число степеней подвижности сферического механизма можно также определить по формуле (2).

Пример 3. Обратим внимание еще на одну плоскую кинематическую цепь, у которой все пары поступательные (рис.3). Удовлетворяя условию лишь формально, звенья этой цепи после присоединения к стойке образуют одноподвижный механизм. Звенья таких механизмов не имеют возможности вращаться вокруг осей, перпендикулярных к плоскости их движения. Поэтому структурная формула для этих механизмов имеет вид

Рис. 3

Все приведенные выше структурные формулы (1)-(3) можно привести к одному виду

где - количество степеней свободы того пространства, в пределах которого работает механизм (для пространственного движения , для плоского движения или движения по поверхности , для поступательного движения ). В дальнейшем механизмы, в которых содержаться только поступательные пары, рассматриваться не будут.

Пример 4. На рис.4, а изображен плоский () механизм двойного параллелограмма, у которого.Число степеней свободы, определяемое по формуле (4)

показывает, что рассматриваемая кинематическая цепь является группой Ассура, т.е. звенья относительно стойки не движутся. На самом деле это не так.

Геометрические связи, наложенные кинематическими парами на относительное движение звеньев механизма, выражаются соответствующими уравнениями. При выводе структурной формулы (4) предполагалось, что все эти уравнения взаимно независимы. В этом механизме имеются связи, описываемые тождественными уравнениями. Вследствие того, что уравнения тождественны, происходит выпадение одного условия связи и кинематическая цепь приобретает подвижность. В частности, рассмотренная группа Ассура вырождается в механизм. Такие избыточные связи мы уже рассматривали выше.

Тождественные уравнения можно обнаружить при помощи функционального определителя или якобиана. Для этого из уравнений связей четырехзвенной группы Ассура (рис.4, б)

Рис. 4

сформируем определитель

При имеем и , функциональный определитель

тождественно равен нулю. Это означает, что некоторые из уравнений связей зависимы и в кинематической цепи имеются избыточные связи. Другие структурные группы Ассура, вырождающиеся в механизмы, рассмотрены в . механизм цилиндрический винтовой кинематический

Пример 5. Определим степень подвижности плоского () кулачкового механизма с роликовым коромыслом (рис.5). Здесь число подвижных звеньев , число

Рис. 5

низших (одноподвижных) пар и высших (двухподвижных) . Подставив эти параметры в структурную формулу (4), найдем . В кулачковом механизме имеется лишь одно входное звено, реализующее одну степень подвижности. Вторая степень подвижности, соответствующая вращению ролика вокруг оси, возникает за счет сил трения и не оказывает влияния на закон движения коромысла. Такая подвижность называется лишней или пассивной.

Пример 6. На рис.6 показан плоский () механизм, в основе которого лежит сдвоенный параллелограмм (). В рассматриваемом

Рис. 6

механизме одна, а не три степени подвижности, как может показаться на первый взгляд. Дело в том, что в шарнире В, где сходятся три звена 2, 3 и 4, образуются две кинематические пары . В этом случае . Здесь избыточные связи, вносимые звеном 6, оказались «незамеченными» из-за лишней подвижности ролика 7 относительно звена 2. Из рассмотренного примера видно, что структурная формула не позволяет раздельно определить число избыточных связей и число лишних подвижностей. Она дает возможность найти лишь разность этих чисел

.

Пример 7. В плоском () двухцилиндровом двигателе внутреннего сгорания (рис.7) имеем , поэтому . Здесь в течение одного цикла ползуны кривошипно-ползунных механизмов последовательно становятся входными и выходными, что приводит к различным структурам механизма. Механизмы такого рода называются механизмами переменной структуры.

Рис. 7

Пример 8. На рис.8 показан еще один плоский () механизм с переменной структурой - ножницы для резки заготовок, у которых а . При вращении входного звена сначала перемещается верхний ползун до упора в разрезаемую заготовку. Нижний ползун при этом остается неподвижным. При дальнейшем вращении входного звена останавливается верхний ползун и начинает перемещение нижний ползун и происходит резание. При этом происходит смена структуры механизма.

6. Разделение механизма на простые структурные группы

Следующим этапом структурного анализа механизма является выделение в нем структурных групп, т.е. кинематических цепей, удовлетворяющих условию =. Эффективным средством распознания структурных групп является теория графов. Граф представляет собой схематический рисунок, элементами которого являются вершины (кружки) и ребра (линии).

В графе механизма вершины соответствуют звеньям, поэтому номер вершины совпадает с номером звена (речь идет о поименованном графе). Ребра графа соответствуют кинематическим парам. Число ребер, соединяющих смежные вершины, совпадает с - подвижностью кинематической пары. При ребра называются кратными. На графе механизма отмечают утолщенными линиями корневые ребра - линии, соответствующие входам механизма.

После того как построен граф, определяются: N - число вершин, соответствующих подвижным звеньям механизма, - число обобщенных ребер (число кинематических пар механизма, где - число кинематических пар s - й подвижности) и - число ребер графа (суммарное число подвижностей всех кинематических пар).

С помощью полученных числовых параметров N, Р и S определяется число степеней подвижности механизма

где - число независимых контуров графа - замкнутых цепей, отличающихся от других цепей хотя бы одним обобщенным ребром.

Далее проверяется выполнение условия , являющегося признаком нормального механизма. При необходимо из механизма мысленно удалить «лишние» звенья и кинематические пары, а из графа - соответствующие им вершины и ребра.

В окрестности 0 - вершины (стойки) выделяется подграф, соответствующий структурной группе механизма. Укажем на числовой признак такого подграфа. Из структурной формулы нормальной кинематической цепи

следует

т.е. разность между суммарным числом ребер подграфа и числом корневых ребер , равная числу некорневых (тонких) ребер, кратна шести (для пространственного механизма), трем (для плоского или сферического механизма) или равна нулю при (для открытой кинематической цепи типа «дерево», где каждое ее ребро является корневым ()). Последний подграф соответствует однозвенным одноподвижным структурным группам.

Если в каком-нибудь независимом контуре (=1), связанном с 0-вершиной, число тонких ребер оказалось равным трем (или шести), то подграф, составленный из вершин и ребер этого контура, за исключением ранее выделенных открытых цепей типа «дерево», описывает простую структурную группу.

Если такой контур отсутствует, то следует найти два смежных контура (=2), у которых число тонких ребер равно шести (или двенадцати) и т.д. Так последовательно проверяется условие (7) для всех контуров и тем самым определяются простые структурные группы механизма.

На заключительном этапе структурного анализа строится структурный граф механизма, в вершинах которого указывается количество звеньев в найденных простых группах и число входов, входящих в них. Порядок присоединения структурных групп к стойке указывается стрелками. Если к предшествующей группе (или стойке) присоединяются одновременно несколько простых групп, образуя структурный слой, то их следует располагать на одном уровне. Рассмотрим некоторые примеры.

Пример 9. На рис.9, а показан плоский механизм моечной машины, а на рис.9, б - его граф. Число подвижных звеньев механизма , количество кинематических пар , а суммарное число подвижностей всех пар . Число независимых контуров графа . Число степеней подвижности такого механизма совпадает с числом входов , т.е. рассматривается нормальный механизм.

В окрестности 0-вершины выделим подграф, который соответствует однозвенной структурной группе, являющейся открытой кинематической цепью (==1). Выделенный подграф входит в контуры 0-1-14-0 и 0-1-2-3-0, у которых число тонких ребер равно трем, а это значит, что вершина 14 и вершины 2 и 3 и инцидентные им ребра описывают однозвенную и двухзвенную группы Ассура. Вершины 11 и 13 и три тонких ребра в контуре 0-14-13-11-0 характеризуют двухзвенную группу Ассура. Аналогичную группу образуют звенья 9 и 10. Ни один из оставшихся контуров 0-3-4-5-6-0, 0-6-5-7-8-9-0 и 9-10-11-12-7-8-9 этим свойством не обладает. Совместно три оставшиеся контура содержат девять тонких ребер, а значит, что вершины 4-8, 12 и связывающие их ребра описывают шестизвенную группу Ассура. На рис.9, в показан структурный граф механизма.

Рис. 9

Пример 10. На рис.10, а изображен четырехподвижный механизм позиционирующей платформы (, а на рис.10, б - его граф и структурный граф (рис.10, в). Здесь две однозвенные одноподвижные группы присоединяются одновременно к стойке, образуя один структурный слой. К этим группам присоединяется трехзвенная одноподвижная группа. Далее присоединяются однозвенная одноподвижная группа и двухзвенная группа Ассура.

Замечания.

1. Следует отметить, что плоскому механизму (рис.11, а) может соответствовать не плоский граф (рис.11, б), у которого на плоскости пересекаются некоторые ребра, образуя «мнимые контуры».

2. Механизму, содержащему совмещенный шарнир В (см. рис.6), может соответствовать несколько графов (рис.12) . Здесь в граф механизма не входят вершины 6 и 7, поскольку соответствующие им звенья вносят в систему лишние связи и подвижность.

3. Иногда для упрощения анализа механизма производят его структурное преобразование, состоящее в условном перенесении входов. Структурное преобразование, при котором входы и выходы меняются местами, называется структурной инверсией . При этом происходит изменение структуры механизма.

Рис. 10

4. Эффективным средством хранения структурной информации механизма и идентификации его групп являются квадратные матрицы порядка :

а) матрица смежности, т.е. такая матрица , элемент которой равен числу ребер, соединяющих вершины с номером и;

б) матрица инцидентности, т.е. такая матрица , у которой элемент , если -я вершина и ребро инцидентны, - в противном случае. Ниже приведены матрицы для механизма, изображенного на рис.1:

Рис. 12

.

Список литературы

1. Коловский М.З. Теория механизмов и машин. Структура и кинематика механизмов. Текст лекций./СПбГТУ. СПб., 1993.- 80 с.

2. Лебедев В.И., Турланов А.М. Синтез механизмов с пассивными связями // Теория механизмов и машин. 2003, № 2, с. 28-31.

3. Пейсах Э.Е., Нестеров В.А. Система проектирования плоских рычажных механизмов. М.: Машиностроение, 1988. - 233 c.

Размещено на Allbest.ru