Математическое моделирование сложных технологических объектов большой размерности факторного пространства в условиях пассивного эксперимента

Размещено на http://www.allbest.ru//

Размещено на http://www.allbest.ru//

Математическое моделирование сложных технологических объектов большой размерности факторного пространства в условиях пассивного эксперимента

А.В. Аверченков

Описана последовательность приведения исходных показателей технологического процесса к виду, пригодному для построения математической модели с целью прогнозирования и внедрения новых видов продукции и создания основы для разработки системы автоматизированного управления качеством.

Ключевые слова: пассивный эксперимент, двухмерное распределение, математическая модель, факторное пространство, моделирование технологического процесса.

Анализ классических методов обработки измерительной информации показал, что в условиях современного технологического процесса, характеризующегося формализованным массивом входных данных, наличием управляемых параметров процесса, формализованными выходными параметрами качества и, как следствие, наличием большой размерности факторного пространства, рассматриваемой при системном анализе объекта исследования с целью повышения эффективности функционирования, методы активного эксперимента становятся слишком трудоемки, а иногда и невозможны.

Выходом из этой ситуации может быть применение методов статистического моделирования по данным пассивного эксперимента, позволяющих провести предварительное отсеивание несущественных факторов и выделить те, которые оказывают заметное влияние на целевую функцию. Большая часть первоначальных факторов носят дублирующий характер и не несут в себе новой информации. Анализ контрольно-измерительной информации технологического процесса показал, что данные измерений бывают дискретного и точечного характера и могут представлять различные типы распределений: непрерывно-непрерывное, непрерывно-дискретное (двухмерное, качественное), дискретно-дискретное. Для сокращения размерности факторного пространства целесообразно провести отбор некоррелированных (слабо- коррелированных) параметров на основе корреляционной таблицы, составленной из мер тесноты связи между двумя случайными величинами, таких как: коэффициент корреляции, корреляционное отношение, тетрахорический коэффициент, индекс Фехнера, модифицированный индекс Фехнера, коэффициент ассоциации и коэффициент точечно-бисериальной корреляции [1;4].

На основе проведенного анализа был сделан вывод, что необходимо разработать новую методику получения статистических моделей, позволяющих использовать данные, накопленные в режиме нормального функционирования объекта производства. Предложенная методика включает в себя следующие шаги (рис.1):

Формирование исходной таблицы экспериментальных данных, основанных на исследовании технологического процесса.

Разбиение технологического процесса на операции и группировка данных по операциям по рекомендациям экспертов.

Сокращение факторного пространства за счет объединения однотипных данных по рекомендациям экспертов.

Разделение данных на входные и выходные факторы по рекомендациям экспертов [7].

Рис. 1. Блок-схема методики обработки данных технологического процесса в условиях пассивного эксперимента

Отсев грубых промахов с помощью таблицы двухмерного распределения.

Определение парной корреляционной зависимости с помощью одного из коэффициентов: коэффициента ассоциации Ф, тетрахорического коэффициента rтет, коэффициента точечно-бисериальной корреляции r [3].

7. Формирование и анализ корреляционной матрицы с диагональными элементами, представляющими собой меру тесноты связи между парой факторов, измеряемых с помощью: коэффициента корреляции rxy, модифицированного индекса Фехнера f /, корреляционного отношения n2 [5].

Построение корреляционных плеяд с пороговым значением коэффициента корреляции |rкор|= 0,5.

Выбор одного представителя из каждой корреляционной плеяды с помощью метода весовых коэффициентов важности (ВКВ) по следующему правилу:

где аij - коэффициент важности параметра i-й строки и j-го столбца.

10. Выбор экспертами одного представителя из каждой корреляционной плеяды с помощью метода прямого ранжирования по величине весовых коэффициентов важности k-го порядка:

,

где - итерированная важность k-го порядка для i-го объекта; n - число сравниваемых объектов.

Величины можно найти по следующим формулам:

Где

Практика показала, что условие стабильности ранжирования соблюдается уже при и всегда при , поэтому считать итерированные важности более высоких порядков нецелесообразно.

Правильность заполнения матрицы и вычисления величин легко проверить по следующему равенству:

.

В отличие от других методов экспертных оценок метод ВКВ позволяет оценить внутреннюю непротиворечивость ответов экспертов [5].

Проверка непротиворечивости ответов экспертов (коэффициент компетентности):

.

Если величина не превышает некоторого граничного значения, например , то мнение такого эксперта не следует учитывать в дальнейших расчетах, поскольку эксперт сам себе противоречит. В противном случае с мнением эксперта следует считаться [6].

Проверка на согласованность мнений экспертов по каждому фактору в отдельности (критерий Кохрена):

,

где - выборочная дисперсия весовых коэффициентов важности, вычисленная для всех m экспертов по i-му фактору; - максимальное числовое значение одной из выборочных дисперсий , вычисленных для всех n исследуемых факторов.

Проверка на общую согласованность мнений экспертов (коэффициент конкордации):

,

где - число повторений (одинаковых значений) величин , сделанных l-м экспертом.

Для проверки значимости коэффициента конкордации формируется критерий Пирсона [10]:

.

После этого результаты можно принять за окончательное ранжирование, которое для удобства восприятия представляется в виде гистограммы, построенной в порядке убывания числовых значений, взятых в виде процентов.

Формирование таблицы слабокоррелированных факторов (при нахождении коррелированности между факторами - повторение п. 7 - 13).

Нахождение обобщенной функции качества (D-функция):

где di - частные отклики (частная желательность); бi - весовые коэффициенты факторов; m - число частных оценок качества (число сравниваемых откликов) [8].

Для нахождения D-функции определяются типы кривых, рассчитанных по формуле (например, для второго типа кривой)

,

где Y - отклик; b, с - начало и конец физического (или допустимого) значения отклика Y.

Показатель степени aII определяет скорость возрастания функции di:

.

Объединение матрицы факторов, полученной после выбора представителей из каждой плеяды с вектор-столбцом Dj, в таблицу, пригодную для извлечения из нее скрытой информации в виде математической модели [8].

Получение модели методом модифицированного случайного баланса (ММСБ) с

помощью расчетов оценок:

- коэффициентов регрессии :

- их дисперсии :

.

Здесь

,

где и - подмножества элементов выходной величины из общей выборки, для которых имеет соответственно положительный или отрицательный знак; , - объем соответствующих подмножеств, причем - общий объем выборки для k-го фактора; - оценка математического ожидания; - дисперсии выходной величины соответственно при положительных и отрицательных значениях фактора [9].

Таким образом, оценки коэффициентов значимых факторов и их парные взаимодействия составят модель вида

.

Значимость каждой полученной оценки коэффициента регрессии по критерию Стьюдента определяется при выполнении условия

.

Построение более качественной модели по методу наименьших квадратов с предварительной ортогонализацией факторов (МНКО):

- с наложением условия ортогонализации:

где Ш(Z) - степень полиномов; Zk - номера столбцов рассматриваемых эффектов в матрице исходных данных;

- с нахождением коэффициентов Аk при ортогональных полиномах:

.

После всех преобразований модель, полученная МНКО, включает эффекты факторов и их взаимодействий:

Размещено на http://www.allbest.ru//

Размещено на http://www.allbest.ru//

Проверка адекватности модели по методам ММСБ и МНКО с помощью критерия Фишера при Fтабл (q=5%;н1= n-1; н2= n(m-1)) [12]:

где S2ад - дисперсия адекватности; S2y - дисперсия опытная.

Определение оценки качества модели (информационной емкости) по методам ММСБ и МНКО:

,

где Nj число попаданий опытных значений выходной величины Y в j-й разряд гистограммы; число попаданий значений выходной величины , вычисленной по модели, в i-ю строку таблицы совместного с эффектом Zk распределения, число попаданий значений выходной величины Y, вычисленной по модели, одновременно в i-ю строку и j-й столбец таблицы совместного с эффектом Zk распределения; N число опытов [7].

Разработанная методика моделирования по пассивным данным технологического процесса позволяет значительно повысить уровень качества модели и сделать его сравнимым с качеством моделей, получаемых на основе активного эксперимента. Методика основана на применении метода МНКО по специально приготовленной таблице данных, которая получается после проверки строчных выборок по каждому фактору (ММСБ) на наличие скрытых грубых промахов, устранения их, расчета средних арифметических и дисперсий и проверки на однородность. Получаемая на ее основе адекватная модель обладает высокой информационной емкостью - 50…70% от информации, заключенной в исходной таблице данных.

В соответствии с разработанной методикой для примера в качестве исходных данных были взяты экспериментальные данные технологического процесса производства высокоуглеродистой стали большой размерности факторного пространства за определенный период. Исходная таблица состояла из 181 столбца (параметра) и 680 строк (плавок). Все столбцы были проверены на отсутствие грубых промахов путем построения гистограмм. Для всех параметров была доказана статистическая однородность воспроизводства [7;9].

С целью сокращения факторного пространства были составлены корреляционные матрицы различных мер связи (коэффициентов корреляции, корреляционных отношений) и по ним построены корреляционные плеяды (рис. 2). С помощью экспертных методов из плеяд было выбрано по одному представителю, после чего была построена новая таблица факторов и проверена на уровень корреляционной зависимости. Анализ позволил сократить число факторов для проведения моделирования до 136. После опроса экспертов осталось 42 входных и 21 выходной параметр. Проверкой правильности результатов экспертизы послужило вычисление коэффициента конкордации.

Рис. 2. Граф одной из корреляционных плеяд технологического процесса производства высокоуглеродистой стали

При повторном опросе экспертами были определены для каждого частного показателя di его веса бi. Веса были найдены экспертным методом весовых коэффициентов важности. После этого была заполнена безразмерная шкала желательности и определены типы кривых [2].

Для каждого выходного параметра была также построена гистограмма распределения и выявлены грубые промахи. Построены корреляционные плеяды, из которых выделено по одному представителю. Кроме того, новая таблица показателей проверена на уровень корреляционной зависимости. С помощью экспертного метода ВКВ построена диаграмма рангов по всем окончательно выделенным выходным показателям.

По всем выходным показателям построены частные и обобщенная функции Харррингтона-Менчера по каждой плавке в отдельности.

По последним таблицам входных факторов и обобщенной D-функции выходного показателя найдена математическая модель высокоуглеродистой марки стали. Так как модель на данном конкретном производстве строилась по пассивным данным впервые, то в качестве метода моделирования был выбран метод модифицированного случайного баланса. В результате проведенных расчетов была получена адекватная модель:

Y = 58,8+2,43x14+2,248x17-2,268х20+2,643x21+1,892х37,

где Y представлен в абсолютных единицах (%), а факторы - в кодированном виде.

Далее был проведен расчет информационной емкости модели ММСБ. Она составила 11,22%.

Таблица

Типы кривых и веса частных показателей для марки стали 75 КРД

Затем была построена адекватная модель методом наименьших квадратов с предварительной ортогонализацией факторов и определена информационная емкость модели, которая составила 44,64 %.

После дополнительной очистки данных от грубых промахов, отбора информативных параметров была построена более адекватная модель тем же методом (МНКО):

= 59,14+50,721(z)+0,052(z)+75,649(z) (ортогональные полиномы);

= -39,60+39,99x21+0,04x14+75,64x25 (абсолютная декартова система координат).

Информационная емкость модели - 60,13 %.

Анализ полученных моделей показал, что количество контролируемых параметров технологического процесса можно сократить со 181 до 4, что значительно снизит затраты производства. Нами разработаны рекомендации по корректировке технологических режимов с целью улучшения качественных характеристик стали.

Список литературы

Boswijk, H.P. Asimptotic Theory for Integrated Processes /H.P. Boswijk. - Oxford University Press, 1999.

Cameron, A.C. Regression Analysis of Count Data / A.C. Cameron, P.K.Trivedi. - Cambridge University Press, 1998.

Cameron, A.C. An-squared measure of Goodness of Fit for Some Common Nonlinear Regression Models/ A.C. Cameron, A.D. Windmeijer // Journal of Econometrics. - 1997. - № 77. - P.329-342.

Dogerty, K. Introduction to Econometrics / К. Dogerty. - The 3-th Ed. - Oxford University Press, 2006.

Phillips, P.C.B. Linear Regression Limit Theory for Nonstationary Panel Data / P.C.B. Phillips, H.R.Moon // Econometrica. - 1999. - № 67. - P.1057-1111.

Stohastic check for control of electronic wares quality // Trans. of 10-th International Symposium on Applied stochastic Models and Data Analysis (June 12-15 2001). - Univ. de Techn. de Compiegne, France. - V.1. - P.387 - 390.

Болдырев, А.П. Оценка эффективности работы фрикционных металлокерамических элементов поглощающих аппаратов при различных условиях эксплуатации/ А.П. Болдырев, П.Д.Жиров, А.С.Васильев, С.В.Боровикова //Вестн. БГТУ. - 2013. - № 2 (38). С. 22-32.

Долгов, Ю.А.Схема математического моделирования технологического процесса плавки стали / Ю.А.Долгов, Л.Я.Козак, О.В.Шестопал // Радiоелектроннi i комп'ютернi системи. - 2010. - №7. - С.157-160.

Козак, Л.Я. Формирование комплексного показателя качества плавки высокоуглеродистой марки стали / Л.Я.Козак // Радиоэлектронные и компьютерные системы. - 2012.-№5. - С. 175-180.

Козак, Л.Я. Процедура выделения значимых факторов при моделировании технологических процессов/ Л.Я.Козак, О.В.Шестопал// Радиоэлектронные и компьютерные системы. - 2013. - №5(64). - С. 267-270.

Козак, Л.Я. Информационные технологии в моделировании /Л.Я.Козак, О.В.Шестопал// Компьютерные системы и сетевые технологии. - 2012. - №3. - С.37.

Лагерев, И.А. Моделирование факторов нагруженности крана-манипулятора машины для сварки трубопроводов / И.А.Лагерев //Вестн. БГТУ. - 2012. - № 1 (33). - С. 62-70. данные группировка технологический моделирование

Размещено на Allbest.ru