Удлинение теплоизолированного стержня ограниченной длины из жаропрочного сплава при наличии температуры, теплового потока, теплоизоляции и теплообмена

Размещено на http://www.allbest.ru/

Атырауский государственный университет им. Х. Досмухамедова

Удлинение теплоизолированного стержня ограниченной длины из жаропрочного сплава при наличии температуры, теплового потока, теплоизоляции и теплообмена

Б.З. Кенжегулов

А.Н. Мырзашева

Во всех газотурбинных и турбореактивных двигателях несущие элементы конструкции работают в температурном режиме до Т=800-900єС, в связи с этим элементы изготавливаются из специальных жаропрочных сплавов. Физической особенностью таких сплавов заключаются в том, что у них коэффициент линейного расширения строго зависит от температуры. В данной работе рассмотрим вертикальный стержень ограниченной длины из жаропрочного сплава ЭИ 598. Длина стержня L [см], поперечное сечение F[см²] и она постоянна по ее длине. Верхний конец стержня жестко защемлен, а нижний свободен. Боковая поверхность рассматриваемого стержня по ее длине теплоизолирована. На площади поперечного сечение верхнего конца подведен тепловой поток с интенсивностью q . Через площади поперечного сечения нижнего конца происходит теплообмен с окружающей ее средой. При этом коэффициент теплообмена h , а температура окружающей среды Т_ос [єС]. Коэффициент теплопроводности материала стержня К_хх , а коэффициент линейного расширения б=б(Т(х)) . Расчетная схема рассматриваемой задачи приведено на рисунке 1.

Рисунок 1. Расчетная схема рассматриваемой задачи

В рассматриваемой задаче связь между коэффициентом линейного расширения и температуры, установленную экспериментально для жаропрочного сплава ЭИ 598 заимствуем из [1].

Таблица 1

Рассмотрим два случая. Когда на площади поперечного сечения верхнего жестко-защемленного конца (х=0) подведен тепловой поток - q, (рис. 1, а). На верхнем жестко-защемленном конце стержня (х=0) задана температура Т(х=0)=Т₀ (Рис. 1.б). Начнем с первого случая. В этом случае, исходя из физической сущности рассматриваемой задачи, поле распределения температуры по длине стержня представим в виде кривой второго порядка т.е. Т(х)=а₁+а₂х+а₃х², (0?х?L). Если считать, что , то следуя [2-3] имеем

(1)

где функции формы для квадратичного конечного элемента с тремя узлами.[ 2-3]

. (2)

Теперь следуя [4] напишем выражение функционала, которое характеризует полную тепловую энергию для первого случая рассматриваемой задачи

, (3)

где V - объем стержня; S(х=0) и S(х=?) - площади поперечных сечений концов стержня.

Интегрируя, последнее получим

. (3')

Минимизируя J по Т_i, Т_j и Т_k получим следующую разрешающую систему линейных алгебраических уравнений

(4)

Или после небольших упрощений имеем:

(5)

Принимая за исходные данные следующее:

Решая систему (5) получим, что Т_i=333,3єС; Т_j=260,4єС; Т_k=187,5єС.

Тогда поле распределение температуры по длине стержня будет определятся согласно (1). Далее, пользуясь таблицей 1, определим значение б=б(Т(х)) в соответствующих узлах координаты которых тоже приводятся в таблице-2.

Таблица 2

Аппроксимируя поле распределение б=б(х) по длине стержня полным квадратичным полиномом, имеем, что

(6)

Тогда пользуясь (1) и (6)согласно [5] определим величину удлинения стержня с учетом нелинейной зависимости коэффициента линейного расширения жаропрочного сплава

.

Здесь следует отметить, что если взять б=const=б(Т=20єС)=125Ч10^-7, то удлинение стержня составляло бы

Таким образом, в рассматриваемом примере при учете зависимости коэффициента линейного расширения от температуры удлинение стержня на 72,56% будет больше чем при б=const=125Ч10^-7.

Здесь следует отметить, что при высоких температурах эта разница будет еще большим. Это показывает, что насколько важно учесть реальную зависимость коэффициента линейного расширения от поля распределения температур по длине из жаропрочного сплава стержня.

Теперь переходим к решению второй задачи, т.е. необходимо определить поле распределения температуры и коэффициента линейного расширения по длине стержня, если на верхнем жестко защемленном конце теплоизолированного по боковой поверхности стержня задан не тепловой поток q, а температура. Например, если взять, что Т(х=0)=Т₀=333,3єС, то в этом случае полная тепловая энергия описывается функционалом

. (7)

Подставляя (1) в (7) и минимизируя J1 только по Тj и Тk (потому что Т_i уже задано, т.е. Тi=333,3єС) получим разрешающую систему уравнений

(8)

Решая последнее также имеем, что Тi=333,3єС; Тj=260,4єС; Тk=187,5єС. Далее все расчеты совпадают. Это сравнение показывает, что при применении законов сохранения энергии можно с требуемой точностью решать задачу удлинения стержней изготовленных из жаропрочных сплавов при наличии всех видов источников тепла, теплоизоляции и теплообмена. Предлагаемый метод универсален также тем, что с ее помощью с требуемой точностью можно учесть зависимости коэффициента линейного расширения от поля распределения температур. Учет этого свойства приводит к обнаружению такого физического эффекта, как увеличение удлинения стержня [6].

Литература

температура стержень жаропрочный сплав

1. Химушин Ф.Ф. Жаропрочные стали и сплавы. 2-ое переработанное и дополненное издания. М.: Металлургия, 1969г. - 749 с.

2. Ноздрев В.Ф. Курс термодинамики. Из-во Мир, М.: 1967г. - 247 с.

3. Сегерлинд Л. Применение метода конечных элементов. Изд-во Мир, М.: 1979 г. - 392 с.

4. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике. М.: Мир, 1975 г.

5. Писаренко Г.С. и др. Сопротивление материалов. “Вища Школа”, Киев, 1973г. - 672 с.

6. Кенжегулов Б.З. Численное моделирование многомерных температурных и одномерных нелинейных термомеханических процессов в жаропрочных сплавах.

Размещено на Allbest.ru