Использование интегральных методов в задачах миграции подземных вод

Размещено на http://www.allbest.ru

Размещено на http://www.allbest.ru

Информационное обеспечение гидродинамических и гидрогеоэкологических прогнозов является одной из наиболее сложных и актуальных проблем в практике проектирования и эксплуатации водозаборов, гидротехнических сооружений, мелиоративных систем и т.д. Повышение достоверности выполняемых прогнозов в задачах динамики и миграции подземных вод существенно зависит от точности определения гидрогеологических и геомиграционных параметров [1, 2]. Основными современными методами решения поставленной проблемы являются применение таких операционных математических методов как метод интегральных преобразований Лапласа и Лапласа-Карсона, метод комбинаторных планов, методы регуляризации и т.д. В качестве одного из методов решения задачи по определению параметров в задачах миграции был использован математический метод интегральных преобразований Лапласа (Лапласа-Карсона), применение которого сводится к вычислению несобственных интегралов, вычислению изображения опытной функции, методика которых рассмотрена в работе [3].

Использование математических методов проводилось на примере работы одного водозабора (Северный Таджикистан), подземные воды которого использовались на хозяйственно-питьевые нужды и для орошения [2]. Основной эксплуатируемый водоносный горизонт приурочен к песчаным отложениям четвертичного возраста. В процессе эксплуатации водозабора было установлено, что в водозаборных скважинах произошло увеличение минерализации выше критических значений (с 0,2 г/л до 4,2 г/л), что определило задачу прогноза качества воды в водозаборе путем решения эпигнозной задачи для определения геомиграционных параметров.

Изучение объекта исследований привело к целесообразности применения теоретической модели слоисто-блокового строения, включающей в себя три типа емкости: поровую - в проницаемых каналах, где перенос происходит по схеме поршневого вытеснения; блоковую - сосредоточенную в слабопроницаемых блоках, связанных с каналами условиями квазистационарного обмена; пластовую - в слабопроницаемых слоях, возможности насыщения которой могут считаться неограниченными [3, 4].

Уравнение солевого баланса в таком пласте будет иметь следующий вид:

(1)

где: - изменение количества солей в пористой емкости; - изменение количества солей в блоковой емкости; ч - относительное содержание поровой емкости в породе; m - суммарная мощность проницаемых слоев в пласте; С и С* - концентрации солей в каналах и блоках; CVz - перенос солей через кровлю и подошву пласта; Vz - сумма скоростей фильтрации через кровлю и подошву пласта; - диффузионный поток в кровле, подошве пласта и по контакту с внутренними слабопроницаемыми слоями; о - число внутренних слоев; - вертикальный градиент концентрации по контакту со слабопроницаемыми слоями; - изменение количества солей по направлению потока в ленте тока шириной N и расходом Q; t - время.

Для связи между концентрациями солей в поровой и блоковой емкости служит уравнение внутреннего массообмена, которое имеет следующий вид [4]:

(2)

где: a - коэффициент внутреннего массообмена.

При решении уравнений (1) и (2) наиболее целесообразно и удобно применить метод решения с помощью преобразования Лапласа-Карсона по временной переменной. При этом переход от концентраций С и С* к их изображениям Ср и Ср* осуществляется согласно общим правилам путем следующих замен:

(3)

где: р - параметр преобразования.

Тогда уравнение (1) и (2) преобразуются к виду:

(4)

(5)

Выражая Ср* из (5) и подставляя в (4), получим уравнение для изображения Ср:

(6)

где:

Таким образом, выражение (6) представляет собой дифференциальное уравнение первого порядка и в интервале от l = 0 до l = L имеет следующее общее решение вида для линейного в плане потока:

(7)

где:

При отсутствии начального засоления в потоке уравнение (7) имеет вид:

(8)

В случае закачки раствора в скважину (, где B - параметр перетекания, Q- расход закачки) при отсутствии влияния проницаемости блоков на внутриблоковый обмен при N = 2рr уравнение (7) приобретает следующий вид:

(9)

где: r - расстояние от центральной скважины до наблюдательной.

Определение миграционных параметров водоносного пласта сводится к представлению решения уравнения (9) в форме следующей зависимости:

 (10)

где: Сро и Ср - изображения концентраций раствора в центральной и наблюдательной скважинах.

Однако при закачке жидкости в пласт влияние пластовой емкости и перетекание через кровлю и подошву пласта незначительно и им можно пренебречь, тогда ж(р) будет представлено в виде:

(11)

В случае, когда р < 1 (1/сут), т.е. при большой длительности налива в скважину величина n*чpстановится весьма незначительной, расчеты можно вести с использованием следующей зависимости:

(12)

Как видно из выражения (12), основным параметром модели слоисто-блокового строения водоносного пласта является коэффициент эффективной пористости. Для достоверной оценки этого параметра необходимо нахождение функции изображения от величин концентрации путем вычисления несобственных интегралов с использованием формулы:

(13)

где: - изображение функции Ф(х,у,t) по Лапласу-Карсону; tр - параметр, вводимый для удобства и равный величине, обратной параметру преобразования р: tр = 1/р.

Интегралы зависимости (13) удобнее вычислять путем метода механической квадратуры, согласно которому при определении численного значения по Лапласу-Карсону вычисляемая функция представляется в виде многочлена относительно аргумента t:

(14)

В первую очередь выбирается значение параметра tр, и для заданной величины «n» находятся значения хл и соответствующие им значения Ак. Затем, при известных значениях tр и хк из соотношения tк = хк·tр определяются моменты времени tк, на которые по зависимости (14) снимаются известные значения функции концентрации Ф(tк). Для случая при «n» = 4 коэффициенты Ак определяются по таблице 1.

Таблица 1 - Значения коэффициентов хк и Ак

При подсчете суммы рядов достаточно ограничиться тремя-четырьмя первыми членами. Использование метода механической квадратуры при выборе параметра tр требует соблюдение и выполнение следующего условия: tр (0,06 - 0,1) Т.

Расчет параметров миграции эксплуатируемого водоносного пласта проводился для скважины, в которой отмечалось увеличение минерализации в некоторый период (Т = 730 сут). В соответствии в приведенными выше зависимостями выбирались два параметра преобразования tр = 73 сут (tр = 1/6ЧТ) и tр = 121 сут (tр = 1/10ЧТ) и для них проводились расчеты концентрации Ср путем вычисления интеграла (7). Результаты расчетов для водозаборной скважины приведены в таблице 2 для «n» = 4.

гидродинамический водозабор массообмен

Таблица 2 - Результаты расчета величины изображения концентрации Ср при tр = 73 сут и tр = 121 сут.

Далее, определив величины = Ср, находим параметр ж(р) с использованием зависимости (4):

Далее, рассчитав р = 1/ tр = 1/73 = 0,001369 и задаваясь величиной коэффициента солеобмена a, найдем величину эффективной пористости по зависимости:

Таким образом, по данным роста минерализации подземных вод во времени в водозаборной скважине с использованием метода интегральных преобразований для схемы слоисто-блокового строения водоносного пласта был получен коэффициент эффективной пористости при различных значениях параметра р. Решая совместную систему двух уравнений при двух различных значениях ж и р, находим общую величину коэффициента эффективной пористости:

(15)

Решение системы уравнений (15) дало значение коэффициента эффективной пористости, равное n* = 0,139. Расчеты, проведенные по описанной выше методике для другой водозаборной скважины, находящейся в аналогичных гидрогеологических и гидрохимических условиях, показали довольно близкое значение коэффициента эффективной пористости n* = 0,140.

Таким образом, обработка данных режима эксплуатации водозаборных скважин с использованием интегральных методов показала применимость двух расчетных схем - схемы макродисперсии и схемы слоисто-блокового строения водоносной толщи изучаемого района. Интерпретация данных режима эксплуатации и расчет полученных значений по схеме слоисто-блокового строения водоносной толщи в сравнении с результатами обработки опытных данных свидетельствует о хорошем совпадении величины эффективной пористости, которые могут быть достоверно использованы в расчетах прогнозной оценки качества воды в водозаборе.

Литература

1. Карпенко Н.П. Комплексная оценка емкостных и миграционных параметров водонасыщенных сред с использованием индикаторных методов // Международный научно-исследовательский журнал. - 2016. - №5-6(47). - С.82-84.

2. Карпенко Н.П., Манукьян Д.А., Питьева К.Е. Оценка гидрогеологических условий межгорных впадин для прогноза качества подземных вод при интенсивной их эксплуатации // Вестник МГУ, серия геологическая. - 1980. - № 6. - С. 89-96.

3. Манукьян Д.А. Теория и методы решения обратных задач геофильтрации: монография. - М.: МГУП. - 2007. - 188 с.

4. Шестаков В.М. Геогидродинамика: учебник. - М.: КДУ. - 2009. - 334 с.

Размещено на Allbest.ru