Размещено на http://www.allbest.ru

Введение

Надежность - это свойство машин сохранить требуемые показатели качества в течении всего периода ее использования.

Наука о надежности изучает закономерности изменения показателей качества изделий с течением времени, и на основании этого разрабатываются методы, обеспечивающие с наименьшими затратами и средств необходимую продолжительность и безотказность работы технических устройств.

В настоящие время все большие позиции завоевывает методический подход, базирующийся на разработке моделей параметрической надежности, в которых формализуется процесс изменения во времени работоспособности машины. Вероятные характеристики этого процесса могут быть спрогнозированы на ранних стадиях создания машины.

Поэтому основными особенностями научного аспекта проблемы надежности машин являются:

- учет фактора времени, поскольку оценивается изменение начальных характеристик машины в процессе ее эксплуатации;

- сочетание вероятностных методов с закономерностями физических процессов;

- прогнозирование возможного изменения состояния объекта при его использовании;

- установелния связи надежности машины с показателями ее качества и работоспособности.

Как всякая прикладная отрасль знаний наука о надежности использует математические и естественные науки, те их разделы и теоритические разработки, которые способствуют решению поставленных задач.

Математические методы теории надежности получили в настоящие время достаточно широкое развитие и дают инженеру большие возможности для удовлетворения разнообразных запросов практики.

Для решения задач надежности используются теория вероятностей, математическая статистика, теория случайных процессов, теория информации, методы теории автоматического управления, теория массового обслуживания и другие разделы прикладных математических наук.

Второй теоретической основой надежности являются результаты тех естественных наук, которые изучают физико-химические процессы разрушения, старения и изменения свойств материалов, из которых изготовлены машины или которые необходимы для их функционирования.

С учетом выше перечисленного разработаны методы оценки показателей надежности, особенно на ранних стадиях создания машин позволяет решать следующие задачи:

На этапе проектирования - расчет сроков службы основных элементов машины (по износу, усталостной прочности), прогнозирование надежности машины по ее выходным параметрам, анализ вариантов и выбор рациональной конструкции по показателям надежности, оценка оптимальных режимов работы и области применения машины с учетом заданного периода сохранения работоспособности.

На этапе создания нового образца - создание системы управления качеством и надежностью, обеспечение надежности технологического процесса изготовления деталей и узлов машины, разработка методов испытания образцов машин по параметрам качества и надежности.

На этапе эксплуатации - разработка рациональной системы технического обслуживания и ремонта машины, создания методов и средств для диагностирования состояния машины в процессе эксплуатации, создание информационной базы данных о надежности машины и ее элементов.

1. Метод Каплана-Майера

На испытание было поставлено N = 56 элементов. Моменты отказов элементов представлены в табл.1. Все элементы работали до своего отказа и после отказа не ремонтировались.

1. Необходимо по данным экспериментам построить график изменения вероятности безотказной работы.

Для оценки вероятности безотказной работы системы по экспериментальным данным используем метод Каплана-Майера

;

Где - число изделий, оставшихся в работоспособном состоянии на момент времени

Остальные значения рассчитываем аналогично и заносим в таблицу 1

Таблица.1

1	2,171	0,982	0,982
2	2,518	0,982	0,964
3	4,308	0,981	0,946
4	7,296	0,981	0,929
5	8,26	0,981	0,911
6	8,423	0,980	0,893
7	8,572	0,980	0,875
8	9,036	0,980	0,857
9	10,7	0,979	0,839
10	12,44	0,979	0,821
11	12,93	0,978	0,804
12	12,97	0,978	0,786
13	13,18	0,977	0,768
14	13,49	0,977	0,750
15	13,53	0,976	0,732
16	14	0,976	0,714
17	14,35	0,975	0,696
18	14,98	0,974	0,679
19	15,55	0,974	0,661
20	17,49	0,973	0,643
21	17,74	0,972	0,625
22	18,12	0,971	0,607
23	21,23	0,971	0,589
24	22,99	0,970	0,571
25	25,79	0,969	0,554
26	27,38	0,968	0,536
27	28,44	0,967	0,518
28	29,57	0,966	0,500
29	29,61	0,964	0,482
30	31,68	0,963	0,464
31	31,79	0,962	0,446
32	33,15	0,960	0,429
33	33,84	0,958	0,411
34	35,08	0,957	0,393
35	36,74	0,955	0,375
36	47,4	0,952	0,357
37	47,7	0,950	0,339
38	55,81	0,947	0,321
39	60,56	0,944	0,304
40	68,55	0,941	0,286
41	79,64	0,938	0,268
42	80,75	0,933	0,250
43	86,1	0,929	0,232
44	88,23	0,923	0,214
45	89,19	0,917	0,196
46	89,65	0,909	0,179
47	92,21	0,900	0,161
48	95,78	0,889	0,143
49	99,13	0,875	0,125
50	101,5	0,857	0,107
51	102,1	0,833	0,089
52	103,2	0,800	0,071
53	138,3	0,750	0,054
54	140,7	0,667	0,036
55	152,2	0,500	0,018
56	177,3	0,000	0,000

По данным таблицы строим график изменения вероятности безотказной работы системы (рис.1)

Рис. 1. Вероятность безотказной работы системы

Принимаем экспоненциальное распределение

2. Построение гистограммы

На испытания было поставлено 56 элементов. Моменты отказов элементов представлены в таблице. Все элементы работали до своего отказа и после отказа не ремонтировались

Построим дискретный вариационный ряд. Для этого отсортируем ряд по возрастанию и подсчитаем количество повторения для каждого элемента ряда. надежность машина математический дискретный вероятностный

Число групп приближенно определяется по формуле Стэрджесса

n = 1 + 3,2log n = 1 + 3,2log(56) = 7

Решение.

Ширина интервала составит:

Xmax - максимальное значение группировочного признака в совокупности.

Xmin - минимальное значение группировочного признака.

Определим границы группы.

Номер группы	Нижняя граница	Верхняя граница
1	2.171	27.191
2	27.191	52.211
3	52.211	77.231
4	77.231	102.251
5	102.251	127.271
6	127.271	152.291
7	152.291	177.311

Одно и тоже значение признака служит верхней и нижней границами двух смежных (предыдущей и последующей) групп.

Для каждого значения ряда подсчитаем, какое количество раз оно попадает в тот или иной интервал. Для этого сортируем ряд по возрастанию.

2,171	2.17 - 27.19	1
2,518	2.17 - 27.19	2
4,308	2.17 - 27.19	3
7,296	2.17 - 27.19	4
8,26	2.17 - 27.19	5
8,423	2.17 - 27.19	6
8,572	2.17 - 27.19	7
9,036	2.17 - 27.19	8
10,7	2.17 - 27.19	9
12,44	2.17 - 27.19	10
12,93	2.17 - 27.19	11
12,97	2.17 - 27.19	12
13,18	2.17 - 27.19	13
13,49	2.17 - 27.19	14
13,53	2.17 - 27.19	15
14	2.17 - 27.19	16
14,35	2.17 - 27.19	17
14,98	2.17 - 27.19	18
15,55	2.17 - 27.19	19
17,49	2.17 - 27.19	20
17,74	2.17 - 27.19	21
18,12	2.17 - 27.19	22
21,23	2.17 - 27.19	23
22,99	2.17 - 27.19	24
25,79	2.17 - 27.19	25
27,38	27.19 - 52.21	1
28,44	27.19 - 52.21	2
29,57	27.19 - 52.21	3
29,61	27.19 - 52.21	4
31,68	27.19 - 52.21	5
31,79	27.19 - 52.21	6
33,15	27.19 - 52.21	7
33,84	27.19 - 52.21	8
35,08	27.19 - 52.21	9
36,74	27.19 - 52.21	10
47,4	27.19 - 52.21	11
47,7	27.19 - 52.21	12
55,81	52.21 - 77.23	1
60,56	52.21 - 77.23	2
68,55	52.21 - 77.23	3
79,64	77.23 - 102.25	1
80,75	77.23 - 102.25	2
86,1	77.23 - 102.25	3
88,23	77.23 - 102.25	4
89,19	77.23 - 102.25	5
89,65	77.23 - 102.25	6
92,21	77.23 - 102.25	7
95,78	77.23 - 102.25	8
99,13	77.23 - 102.25	9
101,5	77.23 - 102.25	10
102,1	77.23 - 102.25	11
103,2	102.25 - 127.27	1
138,3	127.27 - 152.29	1
140,7	127.27 - 152.29	2
152,2	127.27 - 152.29	3
177,3	152.29 - 177.31	1

Результаты группировки оформим в виде таблицы:

Группы	№ совокупности	Частота fi
2.17 - 27.19	1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,23,24,25	25
27.19 - 52.21	26,27,28,29,30,31,32,33,34,35,36,37	12
52.21 - 77.23	38,39,40	3
77.23 - 102.25	41,42,43,44,45,46,47,48,49,50,51	11
102.25 - 127.27	52	1
127.27 - 152.29	53,54,55	3
152.29 - 177.31	56	1

Таблица для расчета показателей

Группы	xi	Кол-во, fi	xi * fi	Накопленная частота, S	|x - xср|*fi	(x - xср)2*fi	Частота, fi/f
2.17 - 27.19	14.681	25	367.025	25	848.893	28824.763	0.446
27.19 - 52.21	39.701	12	476.412	37	107.229	958.164	0.214
52.21 - 77.23	64.721	3	194.163	40	48.253	776.113	0.0536
77.23 - 102.25	89.741	11	987.151	51	452.147	18585.185	0.196
102.25 - 127.27	114.761	1	114.761	52	66.124	4372.421	0.0179
127.27 - 152.29	139.781	3	419.343	55	273.433	24921.842	0.0536
152.29 - 177.31	164.801	1	164.801	56	116.164	13494.141	0.0179
Итого		56	2723.656		1912.243	91932.63	1

Рис.2. Гистограмма

Вывод - наибольшее количество элементов выходящих из строя принадлежит интервалу 2.17 - 27.19

Ответ: На основание Рис.2 принимаем экспоненциальное распределение

1. Проверим гипотезу о том, что Х распределено по нормальному закону с помощью критерия согласия Пирсона.

где p_i -- вероятность попадания в i-й интервал случайной величины, распределенной по гипотетическому закону

Для вычисления вероятностей p_i применим формулу и таблицу функции Лапласа

где

s = 40.52, x_ср = 48.64

Теоретическая (ожидаемая) частота равна f_i = fp_i, где f = 56

Интервалы группировки	Наблюдаемая частота fi	x1 = (xi - xср)/s	x2 = (xi+1 - xср)/s	Ф(x1)	Ф(x2)	Вероятность попадания в i-й интервал, pi = Ф(x2) - Ф(x1)	Ожидаемая частота, 56pi	Слагаемые статистики Пирсона, Ki
2.17 - 27.19	25	-1.1365	-0.5246	-0.3729	-0.2019	0.171	9.576	24.8433
27.19 - 52.21	12	-0.5246	0.08743	-0.2019	0.0359	0.2378	13.3168	0.1302
52.21 - 77.23	3	0.08743	0.6994	0.0359	0.258	0.2221	12.4376	7.1612
77.23 - 102.25	11	0.6994	1.3114	0.258	0.4066	0.1486	8.3216	0.862
102.25 - 127.27	1	1.3114	1.9234	0.4066	0.4732	0.0666	3.7296	1.9977
127.27 - 152.29	3	1.9234	2.5353	0.4732	0.4945	0.0213	1.1928	2.738
152.29 - 177.31	1	2.5353	3.1473	0.4945	0.49931	0.00481	0.2694	1.9818
	56							39.7142

Определим границу критической области. Так как статистика Пирсона измеряет разницу между эмпирическим и теоретическим распределениями, то чем больше ее наблюдаемое значение K_набл, тем сильнее довод против основной гипотезы.

Поэтому критическая область для этой статистики всегда правосторонняя: [K_kp;+?).

Её границу K_kp = ч²(k-r-1;б) находим по таблицам распределения ч² и заданным значениям s, k (число интервалов), r=2 (параметры x_cp и s оценены по выборке).

K_kp = ч²(7-2-1;0.05) = 9.48773; Kнабл = 39.71

Наблюдаемое значение статистики Пирсона попадает в критическую область: Кнабл > Kkp, поэтому есть основания отвергать основную гипотезу. Данные выборки распределены не по нормальному закону.

2. Проверим гипотезу о том, что Х распределено по закону Пуассона.

где p_i -- вероятность попадания в i-й интервал случайной величины, распределенной по гипотетическому закону.

а) Находим по заданному эмпирическому распределению выборочную среднюю (x_В = 48.637).

б) Принимаем в качестве оценки параметра л распределения Пуассона выборочную среднюю x_ср = 48.637. Следовательно, предполагаемый закон Пуассона имеет вид:

Поэтому критическая область для этой статистики всегда правосторонняя: [K_kp;+?).

Её границу K_kp = ч²(k-r-1;б) находим по таблицам распределения г² и заданным значениям s, k (число интервалов), r=1 (параметр л).

Kkp(0.05;5) = 11.07050; Kнабл = 0

Наблюдаемое значение статистики Пирсона не попадает в критическую область: Кнабл < Kkp, поэтому нет оснований отвергать основную гипотезу. Справедливо предположение о том, что данные выборки имеют распределение Пуассона.

3. Проверка гипотезы о показательном распределении генеральной совокупности.

Для того чтобы при уровне значимости а проверить гипотезу о том, что непрерывная случайная величина распределена по показательному закону, надо:

1. Найти по заданному эмпирическому распределению выборочную среднюю х_cp. Для этого находят середину i-го интервала x_cpi = (x_i+x_i+1)/2, составляют последовательность равноотстоящих вариант и соответствующих им частот.

2. Принять в качестве оценки параметра Х показательного распределения величину, обратную выборочной средней:

3. Найти вероятности попадания X в частичные интервалы (x_i,x_i+1) по формуле:

P_i = P(x_i < X < x_i+1) = e^-лx_i - e^-лx_i+1

4. Вычислить теоретические частоты:

n_i = n * P_i

5. Сравнить эмпирические и теоретические частоты с помощью критерия Пирсона, приняв число степеней свободы k = s-2, где s - число первоначальных интервалов выборки; если же было произведено объединение малочисленных частот, следовательно, и самих интервалов, то s - число интервалов, оставшихся после объединения.

Среднее значение равно 48.64. Следовательно, параметр л = 1 / 48.64 = 0.0206

Таким образом, плотность предполагаемого показательного распределения имеет вид:

f(x) = 0.0206e^-0.0206x, x > 0

Найдем вероятности попадания X в каждый из интервалов по формуле:

P_i = P(x_i < X < x_i+1) = e^-лx_i - e^-лx_i+1

P₁ = (2.171 < X < 27.191) = 0.9563 - 0.5717 = 0.3846, n_i = 56 * 0.3846 = 21.54

P₂ = (27.191 < X < 52.211) = 0.5717 - 0.3418 = 0.2299, n_i = 56 * 0.2299 = 12.88

P₃ = (52.211 < X < 77.231) = 0.3418 - 0.2044 = 0.1375, n_i = 56 * 0.1375 = 7.7

P₄ = (77.231 < X < 102.251) = 0.2044 - 0.1222 = 0.08218, n_i = 56 * 0.08218 = 4.6

P₅ = (102.251 < X < 127.271) = 0.1222 - 0.07304 = 0.04913, n_i = 56 * 0.04913 = 2.75

P₆ = (127.271 < X < 152.291) = 0.07304 - 0.04367 = 0.02937, n_i = 56 * 0.02937 = 1.64

P₇ = (152.291 < X < 177.311) = 0.04367 - 0.02611 = 0.01756, n_i = 56 * 0.01756 = 0.98

Объединим малочисленные частоты: (0.02937 + 0.01756) и соответствующие им теоретические частоты: (1.64 + 0.98)

i	ni	n*i	ni - n*i	(ni - n*i)2	(ni - n*i)2/n*i
1	25	21.5376	3.4624	11.9882	0.557
2	12	12.8761	-0.8761	0.7676	0.0596
3	3	7.6979	-4.6979	22.0703	2.867
4	11	4.6021	6.3979	40.9326	8.894
5	1	2.7514	-1.7514	3.0673	1.115
6	4	2.6283	1.3717	1.8816	0.716
Итого	56				14.208

Определим границу критической области. Так как статистика Пирсона измеряет разницу между эмпирическим и теоретическим распределениями, то чем больше ее наблюдаемое значение K_набл, тем сильнее довод против основной гипотезы.

Поэтому критическая область для этой статистики всегда правосторонняя: [K_kp;+?).

Её границу K_kp = ч²(k-r-1;б) находим по таблицам распределения ч² и заданным значениям s, k (число интервалов), r=1 (параметр л).

Kkp(4,0.05) = 9.48773; Kнабл = 14.21

Наблюдаемое значение статистики Пирсона попадает в критическую область: Кнабл > Kkp, поэтому есть основания отвергать основную гипотезу. Данные выборки распределены не по показательному закону.

4. Проверка гипотезы о равномерном распределении генеральной совокупности.

Для того чтобы проверить гипотезу о равномерном распределении X,т.е. по закону: f(x) = 1/(b-a) в интервале (a,b) надо:

1. Оценить параметры a и b - концы интервала, в котором наблюдались возможные значения X, по формулам (через знак * обозначены оценки параметров):

2. Найти плотность вероятности предполагаемого распределения f(x) = 1/(b^* - a^*)

3. Найти теоретические частоты:

n₁ = nP₁ = n[f(x)*(x₁ - a^*)] = n*1/(b^* - a^*)*(x₁ - a^*)

n₂ = n₃ = ... = n_s-1 = n*1/(b^* - a^*)*(x_i - x_i-1)

n_s = n*1/(b^* - a^*)*(b^* - x_s-1)

4. Сравнить эмпирические и теоретические частоты с помощью критерия Пирсона, приняв число степеней свободы k = s-3, где s - число первоначальных интервалов выборки; если же было произведено объединение малочисленных частот, следовательно, и самих интервалов, то s - число интервалов, оставшихся после объединения.

Решение:

1. Найдем оценки параметров a^* и b^* равномерного распределения по формулам:

2. Найдем плотность предполагаемого равномерного распределения:

f(x) = 1/(b^* - a^*) = 1/(118.81 - (-21.54)) = 0.00712

3. Найдем теоретические частоты:

n₁ = n*f(x)(x₁ - a^*) = 56 * 0.00712(27.191-(-21.54)) = 19.44

n₇ = n*f(x)(b^* - x₆) = 56 * 0.00712(118.81-152.291) = -13.36

Поскольку получилось отрицательное значение, то n₇ = 0

Остальные n_s будут равны:

n_s = n*f(x)(x_i - x_i-1)

i	ni	n*i	ni - n*i	(ni - n*i)2	(ni - n*i)2/n*i
1	25	19.4435	5.5565	30.875	1.5879
2	12	9.9826	2.0174	4.0699	0.4077
3	3	9.9826	-6.9826	48.7567	4.8842
4	11	9.9826	1.0174	1.0351	0.1037
5	1	9.9826	-8.9826	80.6871	8.0828
6	3	9.9826	-6.9826	48.7567	4.8842
7	1	0	1	1
Итого	56				19.9504

Определим границу критической области. Так как статистика Пирсона измеряет разницу между эмпирическим и теоретическим распределениями, то чем больше ее наблюдаемое значение K_набл, тем сильнее довод против основной гипотезы.

Поэтому критическая область для этой статистики всегда правосторонняя: [K_kp;+?).

Её границу K_kp = ч²(k-r-1;б) находим по таблицам распределения ч² и заданным значениям s, k (число интервалов), r=2 (параметры a и b).

K_kp(4,0.05) = 9.48773; Kнабл = 19.95

Наблюдаемое значение статистики Пирсона попадает в критическую область: Кнабл > Kkp, поэтому есть основания отвергать основную гипотезу. Данные выборки распределены не по равномерному закону.

3. Метод Вейбулла

По данным эксперимента, используя вероятностную сетку Вейбулла, проверить тип распределения и определить параметры распределения.

Решение.

3.1. Определяем значение интегральной функции отказов устройств при испытании

Остальные значения рассчитываем аналогично и заносим в таблицу 3

Таблица 3

1	2,171	0,0089
2	2,518	0,0268
3	4,308	0,0446
4	7,296	0,0625
5	8,26	0,0804
6	8,423	0,0982
7	8,572	0,1161
8	9,036	0,1339
9	10,7	0,1518
10	12,44	0,1696
11	12,93	0,1875
12	12,97	0,2054
13	13,18	0,2232
14	13,49	0,2411
15	13,53	0,2589
16	14	0,2768
17	14,35	0,2946
18	14,98	0,3125
19	15,55	0,3304
20	17,49	0,3482
21	17,74	0,3661
22	18,12	0,3839
23	21,23	0,4018
24	22,99	0,4196
25	25,79	0,4375
26	27,38	0,4554
27	28,44	0,4732
28	29,57	0,4911
29	29,61	0,5089
30	31,68	0,5268
31	31,79	0,5446
32	33,15	0,5625
33	33,84	0,5804
34	35,08	0,5982
35	36,74	0,6161
36	47,4	0,6339
37	47,7	0,6518
38	55,81	0,6696
39	60,56	0,6875
40	68,55	0,7054
41	79,64	0,7232
42	80,75	0,7411
43	86,1	0,7589
44	88,23	0,7768
45	89,19	0,7946
46	89,65	0,8125
47	92,21	0,8304
48	95,78	0,8482
49	99,13	0,8661
50	101,5	0,8839
51	102,1	0,9018
52	103,2	0,9196
53	138,3	0,9375
54	140,7	0,9554
55	152,2	0,9732
56	177,3	0,9911

Наносим по данным таблицам экспериментальные точки на вероятностную сетку Вейбулла (рис.3), соединяем их полигоном, аппроксимируем точки прямой линией. С помощью полученной линии интегральной функции распределения определяем интенсивность отказов устройств и угол наклона прямой

Где - берем с Рис.3.

Где - берем с Рис.3.

- соответствует значению (см. Рис.3)

4. Определение вероятности безотказной работы k - го элемента в указанный период времени

Вывод - интенсивность отказа 4 - го элемента 0.0204, вероятность отказа - 0,680.

5. Определение вероятности безотказной работы технической системы методом декомпозиции исходной системы

Исходные данные



Делим структурную схему на параллельные и последовательные участки и методом декомпозиции вычисляем вероятность

Общая вероятность безотказной работы ТС - 0,84457.

Метод минимальных путей

Общая вероятность безотказной работы ТС - 0,79086.

Метод минимальных сечений



Общая вероятность безотказной работы ТС - 0,72034.

Определим интенсивность отказов технической системы.

Дано:

Найти:

Решение

Используем выражение вероятности безотказной работы

После логарифмирования и преобразований получаем.

После подстановки найденных значений в выражение находим интенсивность отказов технической системы.

Интенсивность отказов технической системы - 0,0068

6. Определение доли времени технических систем и доли времени их простоя

Исходные данные

Определение вероятности выбытия технических систем

Определение вероятности возвращения технических систем в строй.

Определение вероятности, что в данный момент простаивает ноль технических систем



Определение вероятности простоя по формуле Эрланга[2]

Определение среднего количества работающих технических систем

Определение доли времени работы технических систем

Вывод - доля времени работы технических систем 0,9385, доля времени простоев - 0,0615.

Список литературы

1. Машиностроительная энциклопедия в сорока томах. Под ред. К.С. Колесникова Том IV-3.-М.:1998

2. Технологические основы обеспечения качества машин. Под ред. К.С. Колесникова. М.: Машиностроение 1990

3. Технология важнейших отраслей промышленности. Под ред. А.М. Гинберга, Б.А. Хохлова М.: Высшая школа 1985

Размещено на Allbest.ru