Динамическая модель машины

Размещено на http://www.allbest.ru/

Динамическая модель машины



Здесь и в дальнейшем будем рассматривать динамические расчеты машин периодического и непериодического действия. Динамический расчет машин непрерывного действия не представляет общего интереса с точки зрения теории машин. динамический машина кинетический движение

Практически любая современная машина периодического и непериодического действия представляет собой многозвенную механическую систему с переменными кинематическими и динамическими параметрами, прямой динамический расчет такой системы сложен, поэтому в большинстве случаев подвижную часть машины заменяют ее динамической моделью. То есть, мы будем для сокращения говорить о динамической модели машины, но будем иметь в виду модель ее подвижной механической системы без корпуса или станины. О влиянии корпуса или станины машины на ее работу речь будет идти в следующих лекциях.

1. Динамическая модель машины и ее параметры

Динамическая модель машины - это одно воображаемое звено, вращающееся вокруг оси или движущееся по направляющим, причем ось вращения и направляющие могут быть неподвижными или подвижными. Кинематически это звено совмещается с одним из звеньев машины, как правило, с главным валом машины периодического действия, или с рабочим органом машины непериодического действия. С динамической точки зрения, это гипотетическое звено должно быть полностью идентично машине, то есть, оно должно обладать такими же динамическими параметрами, что и машина. Следовательно, все инерционные и все силовые параметры машины надо заменить двумя суммарными (приведенными): инерционным и силовым параметрами динамической модели. При определении этих параметров удобно связать их с кинетической энергией и мощностью модели и машины.

Таким образом, динамическая модель машины - это одно воображаемое звено, кинетическая энергия которого в каждый момент времени равна кинетической энергии всех звеньев машины, и которое нагружено силой или силовым моментом, мощность которого в каждый момент времени равна мощности всех сил и силовых моментов, приложенных к звеньям машины.

И инерционные и силовые параметры динамической модели называются приведенными, так как массы и моменты инерции звеньев, силы и силовые моменты надо привести от различных звеньев и точек звеньев машины к ее модели, совмещенной с одним из звеньев машины. Это звено в данном случае называется звеном приведения. То есть, скорость динамической модели, которая подлежит определению в динамическом расчете, есть скорость звена приведения.

Рис. 7.1

На рис. 7.1а приведена динамическая модель машины в виде звена с переменным приведенным моментом инерции I^пр(), которое вращается с переменной угловой скоростью () под действием приведенного силового момента М^пр(;). Динамическая модель на рис. 7.1б - это звено с массой m^пр(s), движущееся поступательно со скоростью v(s) под действием приведенной силы F^пр(s;v). Зависимость приведенного силового момента М^пр и приведенной силы F^пр не только от положения динамической модели, но и от скорости, связана с механическими характеристиками двигателей (см. выше).

Расчет параметров динамической модели покажем на конкретном примере. На рис. 7.2а дана схема машины. Это может быть механический пресс, долбежный станок, формовочная машина и др. Геометрические, кинематические и динамические параметры машины известны.

Геометрические параметры:

- числа зубьев шестерни z₁ и колеса z₂ передаточного механизма;

- схема исполнительного и вспомогательного механизмов (стержневого и кулачкового) в масштабе _l.

Кинематические параметры:

- входной кинематический параметр, например угловая скорость главного вала ₁;

- план скоростей стержневого механизма в масштабе _v (на рис. 7.2 не показан);

- передаточные отношения механизмов.

Динамические параметры:

а) инерционные

- массы шатуна 2, ползуна 3 и толкателя Т: m₂, m₃ и m_T в кг, причем масса шатуна сосредоточена в центре масс S; массы ротора двигателя и зубчатых колес не учитывается, так как эти вращающиеся звенья являются звеньями роторного типа, то есть, их центр масс совпадает с центром вращения и, следовательно, масса не оказывает влияния на движение машины; масса кривошипа 1 и кулачка К также не учитывается, так как вместе с главным валом, на котором они закреплены, это соединение с небольшой погрешностью тоже может считаться звеном роторного типа;

- моменты инерции всех звеньев, совершающих вращательное или сложное движение: I_Д (ротор электродвигателя), I₁ (главный вал с кривошипом и кулачком), I₂, I_z1, I_z2 в кгм²;

б) силовые

- силовой момент двигателя М_Д в Нм;

- силы полезного сопротивления F₃ и F_T, приложенные к ползуну 3 и толкателю Т в Н;

- силы тяжести, приложенные в центрах масс звеньев: G₂, G₃ и G_T в Н (считается, что для ползуна эта сила приложена в точке С, а для толкателя точка приложения не имеет значения, так как он движется вертикально).

Заменим машину динамической моделью в виде вращающегося звена, кинематически совмещенного с главным валом машины, то есть, имеющего в рассматриваемый момент времени ту же самую угловую скорость ₁ (рис. 7.2б). Таким образом, задача определения параметров динамической модели машины сводится к приведению всех ее динамических параметров к главному валу, для чего используются условия равенства кинетических энергий и мощностей машины и модели.

Момент инерции I^пр динамической модели найдем из условия равенства кинетических энергий:

Кинетическая энергия динамической модели (рис. 7.2б):



Рис. 7.2.

Кинетическая энергия машины (рис. 17.2а):

После подстановки этих выражения в исходное равенство и после его решения относительно приведенного момента инерции получим:



Отношения скоростей есть передаточные отношения, поэтому:

Общий вид формулы для определения приведенного момента инерции следующий:

(7.1)

где: I _i и m _i - момент инерции и масса звена i;

u _i1 - передаточное отношение от звена i к звену приведения;

u _Si1 - передаточное отношение от центра масс звена i к звену при-

ведения.

Силовой момент динамической модели найдем из условия равенства мощностей модели и машины:

Мощность динамической модели есть мощность приложенного к ней приведенного силового момента (рис. 7.2б):

Мощность машины - это мощность всех сил и всех силовых моментов, приложенных к точкам звеньев и звеньям машин (рис. 7.2а):



где - угол давления - острый угол между силой и скоростью точки

приложения этой силы (рис. 7.2а).

Для сил сопротивления F₃ и F_T углы давления равны нулю, поэтому, косинусы их равны единице и, соответственно, не указаны в выражении мощности машины. Для силы тяжести третьего звена (ползуна) угол давления равен 90⁰, поэтому мощность этой силы равна нулю.

Правило знаков мощностей следующее. Если момент, приложенный к звену, совпадает по направлению с угловой скоростью этого звена, то он развивает положительную мощность, и наоборот. Соответственно, если сила, приложенная к точке звена, совпадает по направлению со скоростью этой точки, то она развивает положительную мощность, и наоборот. Если же между силой и скоростью имеется угол, то таким же образом следует сравнивать направление силы и направление проекции скорости на линию действия силы.

Приравняв правые части последних выражений и решив полученное уравнение относительно приведенного силового момента, получим:

Так как отношения скоростей есть передаточные отношения, то

Общий вид формулы для определения приведенного силового момента:



(7.2)

где: М _i - силовой момент, приложенный к звену i;

u _i1 - передаточное отношение от звена i к звену приведения;

F_K - сила, приложенная к точке К;

u _K1 - передаточное отношение от точки К к звену приведения;

(F_K;v_K) - острый угол между силой, приложенной к точке К и ско-

ростью этой точки.

Формулы (7.1) и (7.2) предназначены для определения параметров динамической модели в виде вращающегося звена. Если модель представлена в виде поступательно движущегося звена, то пригодны те же самые формулы, но вместо I^пр надо подставить m^пр, а вместо М^пр - F^пр. Размерности передаточных отношений изменятся, в результате чего, вместо приведенного момента инерции в кгм² получится приведенная масса в кг, а вместо приведенного силового момента в Нм - приведенная сила в Н.

Заметим, что в формулах (7.1) и (7.2) звеном приведения является звено 1, однако в конкретных случаях им может оказаться другое звено, что приведет к соответственному изменению индексации передаточных отношений.

Рассмотрение формул параметров динамической модели машины показывает переменность этих параметров. Действительно, передаточные отношения стержневых и кулачковых механизмов переменны внутри цикла функционирования машины периодического и непериодического действия, Силы и силовые моменты также могут меняться в соответствии с механическими характеристиками этих машин. Постоянными в большинстве случаев остаются только передаточные отношения зубчатых механизмов, а также массы и моменты инерции звеньев машин, хотя возможны вариации и этих параметров (см., например, [8] о движении машин с переменными массами звеньев и [1] о зубчатых механизмах с переменными передаточными отношениями).

В соответствии с этим, динамическая модель машины, то есть, гипотетическое звено с переменными динамическими параметрами, в общем случае, может двигаться только с переменной скоростью. Одной из задач динамики является определение характера этого движения. Рассмотрим сначала уравнения движения динамической модели в общем виде.

2. Уравнения движения динамической модели

Рассмотрение ограничим случаем вращающейся динамической модели. Движение поступательно движущейся динамической модели будет подчиняться тем же уравнениям, но с соответствующей заменой угловых кинематических и динамических параметров на линейные.

Будем различать две формы уравнений движения динамической модели: энергетическую и дифференциальную. Обе эти формы базируются на уравнении изменения кинетической энергии, известном из теоретической механики:

(7.3)

где: Т и Т₀ - текущее и начальное значение кинетической энергии ди-

намической модели;

А - работа приведенного силового момента, затраченная на изме-

нение кинетической энергии.

В соответствии с рис. 7.1а можно записать:

где: I^пр и I^пр₀ - текущее и начальное значение приведенного момента

инерции динамической модели;

и ₀ - текущее и начальное значение угловой скорости динами-

ческой модели.

На рис. 7.1а показано, что приведенный силовой момент зависит и от перемещения, и от скорости динамической модели, однако здесь будем учитывать его зависимость только от перемещения. Тогда:

(7.4)

Приравняв правые части двух последних выражений, имеем:

Отсюда получаем выражение для угловой скорости:

(7.5)

Выражение (7.5) удобно для определения характера движения рабочих органов машин непериодического действия при силах, зависящих только от перемещения звеньев, например, машин с пружинными двигателями [12]. Это выражение выведено из уравнения движения динамической модели в энергетической форме.

Чтобы получить дифференциальную форму уравнений движения, продифференцируем исходное уравнение (7.3):

(7.6)

Предположим, что начальное значение кинетической энергии есть величина постоянная. Тогда dT₀ = 0. Используя (7.4), из (7.6) получим:

Разделяя обе части равенства на d, имеем:

Но Т = I^{пр 2}/2, тогда:

Возьмем производную произведения:

Умножим и разделим первый член левой части на dt



Учитывая, что в первом члене d / dt = , после сокращения получим:

Обычно обозначают d / dt = d² / dt ₂ = ” и = ', тогда получим:

(7.7)

Уравнение (7.7) есть неоднородное нелинейное уравнение второго порядка с переменными коэффициентами, так как I^пр и М^пр есть функции . Это уравнение может быть решено аналитически, если I^пр() и М^пр() есть математические функции. Но, в общем случае, эти функции могут быть совершенно произвольными, поэтому уравнение решается или численными методами или графоаналитически. То же самое относится и к выражению (7.5) в части определения интеграла в подкоренном выражении. В следующих параграфах будут рассмотрены графоаналитические методы.



Ключевые слова и определения

1. Динамическая модель машины это одно воображаемое звено, обладающее динамическими параметрами всей машины.

2. Приведенный момент инерции - это момент инерции, определяемый из равенства кинетических энергий модели и машины.

3. Приведенный силовой момент - это силовой момент, определяемый из равенства мощностей модели и машины.



Контрольные вопросы

1. Дайте определение динамической модели машины.

2. С каким звеном обычно кинематически связывается динамическая модель машины периодического и непериодического действия?

3. Из какого условия определяется приведенный момент инерции динамической модели?

4. Из какого условия находится приведенный силовой момент динамической модели?

5. Выведете уравнение движения динамической модели в энергетической форме.

6. Выведете уравнение движения динамической модели в дифференциальной форме.



Литература

1. Артоболевский И.И. Механизмы в современной технике. Том III. Зубчатые механизмы. Москва, Наука, 1973.

2. Артоболевский И.И. Теория механизмов и машин. Москва, Наука, 1975.

3. Бежанов Б.Н. Пневматические механизмы. Москва, Машгиз, 1957.

4. Гавриленко Б.А. и др. Гидравлический привод. М., Машиностроение, 1968.

5. Коловский М.З. Динамика машин. Ленинград, Ленинградский политехнический институт, 1980.

6. Конструирование машин. Справочно-методическое пособие. Том I, II. Под ред. Фролова К.В. Москва, Машиностроение, 1994.

7. Лукичев Д.М. Расчет маховика машины. В сб. “Вопросы теории механизмов и машин” №23. Москва, Машгиз, 1953.

8. Мещерский И.В. Динамика точки переменной массы. Москва, Гостехиздат, 1949.

9. Пневмопривод систем управления летательных аппаратов. Под ред. Чашина В.А. Москва, Машиностроение, 1987.

10. Полюдов А.Н. Программные разгружатели цикловых механизмов. Львов, Львовский политехнический институт, 1979.

11. Попов С.А. Курсовое проектирование по теории механизмов и механика машин. Москва, Высшая школа, 1986.

12. Пятаев А.В. Динамика машин. Ташкент, Ташкентский политехнический институт, 1990.

13. Пятаев А.В. Редуктор самолета. Методическое пособие к курсовому проекту по ТММ., Ташкент, ТГАИ, 2000.

14. Скуридин М.А. Определение движения механизма по уравнению кинетической энергии при задании сил функциями скорости и времени. Труды института машиноведения. Семинар по теории машин и механизмов, выпуск 45. Москва, АН СССР, 1951.

15. Справочник машиностроителя. Том I. Под ред. Ачеркана Н.С. Москва, Машгиз, 1961.

16. Справочное пособие по гидравлике, гидромашинам и гидроприводам. Под ред. Некрасова Б.Б. Минск. Вышейшая школа, 1985.

17. Теория механизмов и машин. Под ред. Фролова К.В. Москва, Высшая школа, 1987.

18. Теория механизмов и машин. Проектирование. Под ред. Кульбачного С.И. Москва, Высшая школа. 1970.

19. Тимошенко С.П. Колебания в инженерном деле. Москва, Физматгиз, 1959.

20. Жґраев А. ва бошіалар. Механизм ва машиналар назарияси. Тошкент, Гофур ўулом номидаги нашриёт мадбаат ижодий уйи. 2004.

Размещено на Allbest.ru