Применение метода анализа размерности для определения собственных частот несущей конструкции вибрационной машины с помощью механически подобной модели

Размещено на http://www.allbest.ru/

Применение метода анализа размерности для определения собственных частот несущей конструкции вибрационной машины с помощью механически подобной модели

Пивень Валерий Васильевич,

доктор технических наук, профессор,

Уманская Ольга Леонидовна,

доцент Курганского Государственного Университета.

Метод моделирования широко используется при исследовании динамических свойств элементов конструкций в различных областях современной техники.

В задачи динамики входит определение собственных частот и форм колебаний, при натурных испытаниях это возможно лишь на заключительном этапе разработки объекта, когда внесение изменений в конструкцию затруднительно.

Применение методов физического моделирования позволяет оценивать динамические свойства конструкции экспериментальным путем на механически подобной модели, а затем учитывать эти результаты в процессе проектирования [2].

Рассмотрим уменьшенную, механически подобную модель вибрационной сепарирующей машины (с габаритными размерами, приведенными на рис. 1) и возможность перехода от параметров модели к соответствующим параметрам конструкции натурального образца.

Для определения динамических параметров модели, в данном случае собственных колебаний несущей рамной конструкции применим метод анализа размерностей [1]. Данный метод устанавливает связь между физическими величинами, основанную на рассмотрении их размерностей. Однозначное состояние системы определяется минимально возможным количеством размерных и безразмерных переменных и постоянных величин или определяющими параметрами. Основные параметры физического явления включают в себя как определяющие параметры, так и искомые величины.

Для записи матрицы размерности (см. табл. 1) расположим основные параметры в следующей последовательности:

1) искомая функция - собственные частоты колебаний w;

2) регулируемые определяющие параметры: длина рамы L, высота рамы h, ширина рамы b, площадь поперечного сечения элементов рамной конструкции F, изгибная жесткость элементов рамной конструкции EJ, плотность материала r, начальное отклонение концевого сечения в направлении оси У на величину d, текущие значения прогибов ? в момент времени t.

Рис. 1. Геометрические параметры модели

Таблица 1. Матрица размерностей.

Где G - размерность силы; Т- размерность времени.

При приведении данной матрицы к каноническому виду по известной методике [1], имеем матрицу представленную в таблице 2.

Таблица 2. Матрица размерностей после приведения к каноническому виду

На основании представленных данных имеем ранг матрицы размерностей v = 5. При числе основных параметров n=10 получаем число безразмерных комплексов k = n - v= 10 - 5 = 5.

Общее выражение для безразмерного отношения представим в виде степенного одночлена:

П = wX1 Ч LX2 Ч (E J)X3 Ч FX4 Ч--d--X5 Ч--rX6 Ч t X7 Ч h X8 Ч ?X9 Ч--b X10 (1)

Пользуясь матрицей размерностей (табл. 1) определим размерность произведения:

DimП = (T-1) X1 Ч (Ly) X2 Ч (Lx3 Ч Lz-1 Ч G)X3 Ч (Lx Ч L y)X4 Ч (L y)X5 Ч (Lx -1 Ч L y -1--Ч Lz-2 Ч G Ч T2 )X6 Ч (T)X7Ч (Lz )X8 Ч (Lz )X9 Ч (Lx)X10. (2)

C учетом свойств показательной функции:

DimП = Lх (3X3 + Х4 - Х6 + Х10) Ч Ly (Х2 + X4 + Х5 - Х6) Ч Lz(- Х3 - 2Х6 + Х8 + Х9) Ч G(Х3+Х6) Ч Т(Х7 + 2Х6 - Х1). (3)

По условию безразмерности данного произведения показатели степени должны быть равны 0.

3х3 + х4 - х6 + х10 = 0

х2 + х4 + х5 - х6 = 0

- х3 - 2х6 + х8 + х9 = 0 (4)

х3 + х6 = 0

-х1 +2х6 + х7= 0

Система имеет 5 уравнений с 10 неизвестными. Считая значения х1, х2, х3, х8, х10 произвольными и выражая через них показатели степени х4, х5, х6, х7, х9 найдем

х4 = - х10 - 4х3

х5 = х10 + 3х3 - х2

х7 = х1 + 2х3 (5)

х9 = - х3 - х8

х6 = х3

Для величин х1, х2, х3, х8, х10 могут быть назначены любые значения.

Для первого решения независимых безразмерных комбинаций П1 выбираем х1= 1, х2 = х3 = х8 = х10 = 0. Тогда согласно системе (5) х4 = 0, х5= 0, х7 = 1, х9 = 0, х6 = 0. Подставляя найденные значения в выражение (1) получаем П1= wt.

Для значения второго безразмерного комплекса П2 принимаем х2 = 1, х1= х3 = х8 = х10 = 0. Из системы (5) имеем х4 = 0, х5 = -1, х7 = 0, х9 = 0, х6 = 0. Тогда П2 = L /d.

Для третьего безразмерного комплекса П3: х3 = 1, х1= х2 = х8 = х10 = 0, х4 = - 4, х5 = 3, х7 = 2, х9 = - 1, х6 = - 1. П3 = (ЕJ · d3 · t2) / (F · r · ?).

Для четвертого безразмерного комплекса П4: х8 = 1, х1 = х2 = х3 = х10 = 0, х4 = 0, х5 = 0, х7 = 0, х9 = - 1, х6 = 0. П4 = h / ?.

Для пятого безразмерного комплекса П5: х10 = 1, х1 = х2 = х3 = х8 = 0, х4 = - 1, х5 = 1, х7 = 0, х9 = 0, х6 = 0. П5= b / F.

Результаты вычислений представим в виде матрицы решений (см. табл. 3).

Таблица 3. Матрица решений.

В результате тождественных преобразований безразмерных комплексов получим следующие критерии подобия:

П1*= П23 · П3= (ЕJ· L3· t2) / (F4 · r· ?); П2* = П1*· П4-1 = (ЕJ· L3· t2)/(F4 · r· h)

П3** = П2*-1 · П12 · П54 = (h · b 4 · r · w2) / (ЕJ · L3) = idem.

Соответствие между натуральным образцом и моделью будет определяться уравнением

размерность вибрационный машина

(h1 · b1 4 · r--·--w12) / (ЕJ1 · L13) = (h2 · b2 4 · r--·--w22) / (ЕJ2 · L2 3). (6)

Пересчет собственных частот модели на натуральный образец производится по формуле

w2 = w1 · (b1/ b2)2 · ((J2 · L2 3 · h1) / (J1 · L1 3 · h2))1/2. (7)

Таким образом, выражение (7) позволяет определить собственные частоты натурального образца разрабатываемой конструкции через предварительно полученные экспериментальным путем частоты модели с учетом габаритных размеров и жесткостей элементов несущей конструкции.

Литература

1. Шаповалов Л.А. Моделирование в задачах механики элементов конструкций. - М.: Машиностроение, 1990. - 288 с.

2. Дидух Б.И. Практическое применение методов теории размерностей и подобия в инженерно-строительных расчетах / Б.И. Дидух, И.Б.Каспэ - М.: Стройиздат, 1975. - 49 с.

Размещено на Allbest.ru