Решение задач нелинейного деформирования и устойчивости оболочек методом конечных элементов

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени доктора технических наук

Решение задач нелинейного деформирования и устойчивости оболочек методом конечных элементов

Общая характеристика работы

Актуальность работы. Создание современных летательных аппаратов, обладающих высокими тактико-техническими данными и высокой экономичностью, предъявляет повышенные требования к прочностному расчету их конструкций. Поэтому уточнение существующих и разработка новых эффективных методов расчета оболочек, как важнейших составных частей конструкций ракет и самолетов, с учетом моментности и нелинейности деформирования тонкостенных конструкций, а на основе их эффективных компьютерных программ, продолжает оставаться актуальной задачей и в наши дни.

В настоящее время достигнуты значительные успехи в исследованиях прочности и устойчивости оболочек. Ведущее место в решении проблемы устойчивости оболочек занимают работы С.П. Тимошенко, В.В. Новожилова, В.З. Власова, Х.М. Муштари, Э.И. Григолюка, В.В. Болотина, А.С. Вольмира, А.В. Саченкова, В.И. Мяченкова, Ю.В. Липовцева, В.В. Кабанова, Л.М. Куршина, Ю.В. Немировского, Н.П. Абовского, Г.Н. Замулы, Я.М. Григоренко, Н.В. Пустового, А.Н. Андреева, Л.И. Шкутина, Н.А. Алфутова, С.Н. Кана, Г.И. Расторгуева, И.Т. Вохмянина, Ю.Г. Коноплева, С.Н. Коробейникова, К.А. Матвеева, В.И. Самсонова, Ю.М. Волчкова, В.М. Корнева, В.И. Мамая, Ф.И. Шклярчука, Г.Н. Рудыха, Ю.Л. Тарасова, А.П. Янковского, В.К. Белова, Ю.И. Бадрухина, Лява, Доннелла, Альмрота, Бушнела, Стейна, Хуана, Фишера, и др.

Большинство известных решений задач устойчивости оболочек выполнено приближенно аналитическими методами в классической линейной постановке при безмоментном однородном докритическом напряженном состоянии. При этом не учитывались ни моментность, ни нелинейность исходного напряженно-деформированного состояния (НДС) оболочек. В тонких оболочках такой подход дает большую погрешность, так как их НДС даже при простейших нагрузках является неоднородным, моментным и нелинейным. При этом линейный (бифуркационный) подход зачастую неприменим. Поэтому устойчивость тонких оболочек следует исследовать в рамках нелинейного подхода. В случае сложных нагрузок (поперечный изгиб, комбинированное нагружение) нет решений даже в линейной постановке.

В последнее время с интенсивным внедрением в практику расчетов ЭВМ наиболее эффективными оказались интенсивно используемые численные методы: метод конечных элементов (МКЭ), метод конечных разностей (МКР), метод численного интегрирования, вариационно-разностный метод. Наиболее эффективным из них оказался МКЭ. Преимущества его в универсальности, физичности и неограниченной возможности применения к сложным конструкциям при произвольном нагружении. МКЭ нашел широкое применение к исследованию задач прочности. Следует отметить работы В.А. Постнова, В.А. Комарова, Г.Н. Замулы, К.М. Иерусалимского, Ю.И. Иванова, В.Д. Чубаня, В.И. Гришина, Ю.И. Дударькова, В.А. Дубини, А.Б. Кудряшова, А.С. Дзюбы, Ю.А. Шевченко, А.И. Голованова, К.П. Горбачева, В.В. Кабанова, Ю.И. Бадрухина, В.В. Кузнецова, С.Н. Коробейникова, С.В. Астрахарчика, Х.С. Хазанова, Л.М. Савельева, А.С. Сахарова, В.Е. Левина, Зенкевича, Одена и др. В первых работах по расчету оболочек МКЭ использовались, как правило, плоские треугольные конечные элементы (КЭ). В дальнейшем появился ряд криволинейных КЭ, обладающих различной степенью эффективности. Здесь следует отметить в первую очередь работы Асвелла и Сабира, Кантина, Клафа, Богнера, Фокса, Шмита. Большинство разработанных КЭ являются элементами круговых цилиндрических, конических или сферических оболочек. Построение эффективных КЭ оболочек является актуальной задачей и по настоящее время. Применение МКЭ к расчету оболочек связано со значительными трудностями, обусловленными кривизной оболочки. Большинство исследований проведено для круговых цилиндрических оболочек при однородных НДС и, как правило, без учета моментности и нелинейности деформирования их в исходном (докритическом) состоянии.

Цель работы: дальнейшее развитие теории нелинейного деформирования и устойчивости тонкостенных оболочек на основе метода конечных элементов при неоднородном термомеханическом нагружении и разработка конечно-элементных методов и компьютерных программ для исследования новых задач нелинейного деформирования и устойчивости оболочек аэрокосмической техники.

Для достижения поставленной цели в работе решаются следующие задачи:

1) разработка новых эффективных КЭ тонких оболочек различного вида (оболочки вращения, некруговые цилиндрические оболочки) и подкрепляющего их набора из стрингеров и шпангоутов;

2) разработка на основе этих КЭ численных алгоритмов и компьютерных программ для решения задач нелинейного деформирования и устойчивости оболочек;

3) решение и численное исследование новых задач нелинейного деформирования и устойчивости оболочек в геометрически и физически нелинейной постановке;

4) решение практически важных задач прочности и устойчивости типовых конструкций аэрокосмической техники;

5) внедрение разработанных компьютерных программ на предприятиях аэрокосмической отрасли.

Работа выполнялась в рамках отраслевых государственных программ развития авиационной, ракетной и космической техники, в последнее время в рамках Федеральной целевой программы «Развитие гражданской авиационной техники России на 2002-2010 годы и на период до 2015 года».

Научная новизна:

1) разработано семейство новых эффективных оболочечных КЭ для некруговых цилиндрических оболочек, оболочек вращения и оболочек двойной кривизны, в отличие от известных КЭ имеют естественную кривизну и учитывают их жесткие перемещения как твердых недеформируемых тел;

2) разработано семейство новых, совместных с конечными элементами оболочек криволинейных балочных КЭ естественной кривизны для подкреплений (стрингеров и шпангоутов) с учетом знака их эксцентриситета, позволяющих учитывать дискретность расположения подкреплений;

3) разработаны алгоритмы МКЭ для решения задач нелинейного деформирования и устойчивости рассмотренных выше оболочек и составных оболочек с учетом моментности и нелинейности исходного НДС при произвольном термомеханическом нагружении, особенностью которых является то, что задача устойчивости в них не выделяется отдельно, а критические нагрузки определяются в процессе решения нелинейной задачи;

4) разработаны алгоритмы МКЭ для решения задач определения физически нелинейного моментного НДС в конструкциях летательных аппаратов типа тонкостенных оболочек;

5) результаты исследования широкого спектра новых задач нелинейного деформирования и устойчивости различного рода оболочек при раздельном и комбинированном термомеханическом нагружениях, позволяющие оценить устойчивость оболочек, влияние нелинейности и моментности исходного НДС на критические нагрузки, рамки использования известных линейных решений, полученных в классической постановке.

Теоретическая и практическая значимость диссертации.

Теоретическая значимость заключается в дальнейшем развитии теории прочности и устойчивости оболочек, решении новых задач устойчивости круговых, овальных и эллиптических цилиндрических оболочек, оболочек вращения, составных оболочек при раздельном и комбинированном термомеханическом нагружении с учетом нелинейности и моментности их НДС. Практическая значимость заключается в разработке конечно-элементных алгоритмов, компьютерных программ, получении обширной информации по критическим нагрузкам, определении области применимости известных приближенных линейных решений, в рекомендациях по расчету на устойчивость элементов конструкций летательных аппаратов, в решении ряда практически важных задач нелинейного деформирования и устойчивости элементов конструкций летательных аппаратов.

Реализация работы. Компьютерные программы и результаты исследований (НДС, критические нагрузки, формы потери устойчивости) использовались при проектировании новых летательных аппаратов на аэрокосмических предприятиях. Полученные результаты реализованы в «Рекомендациях по расчетам» в авиационных ОКБ и внедрены в ОАО «Туполев», ОКБ «Сухой», НПО «Прикладная механика», Центральное серийное конструкторское бюро (ЦСКБ) Самара.

Достоверность и обоснованность результатов подтверждается строгой постановкой задач с использованием апробированного математического аппарата теории тонких оболочек, тестированием алгоритмов, исследованиями сходимости решений, сравнением результатов исследований с известными экспериментами и исследованиями других авторов.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на третьей научно-технической конференции (СибНИА, 1974 г.), шестой конференции по статической прочности летательных аппаратов (ЦАГИ, 1975 г.), ХI Всесоюзной конференции по теории оболочек и пластин (Харьков, 1977 г.), четвертой научно-технической конференции (СибНИА, I979 г.), конференции по статической прочности летательных аппаратов (ЦАГИ, I980 г.), симпозиуме по нелинейной теории оболочек и пластин (Казань, 1980 г.), научно-технической конференции (Челябинск, 1982 г.), научно-технической конференции по статической прочности летательных аппаратов (ЦАГИ, 1984 г.), ХIV Всесоюзной конференции по теории пластин и оболочек (Тбилиси, 1987 г.), III Всесоюзной научно-технической конференции «Современные проблемы строительной механики и прочности летательных аппаратов» (Казань, 1988 г.), XVII Межреспубликанской конференции по численным методам решения задач теории упругости и пластичности (Новосибирск, 2001 г.), Российско-Китайской научной конференции (ЦАГИ, 2003 г.), ХVIII Межреспубликанской конференции по численным методам решения задач теории упругости и пластичности (Кемерово, 2003 г.), Всероссийской научно-технической конференции, посвященной 60-летию отделений аэродинамики летательных аппаратов и прочности авиационных конструкций СибНИА (Новосибирск, 2004 г.), ХХ Всероссийской конференции по численным методам решения задач теории упругости и пластичности (Кемерово, 2007 г.), Всероссийской научно-технической конференции по аэродинамике и прочности летательных аппаратов (СибНИА, 2008 г.), Чаплыгинских чтениях (СибНИА, 2009 г.), научном семинаре кафедры «Прочность летательных аппаратов» НГТУ (Новосибирск, 2009 г.).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 68 статей, в том числе 23 статьи в журналах, входящих в перечень изданий, рекомендованных ВАК РФ, 1 статья в рецензируемом журнале, 35 статей в сборниках научных статей, 9 статей в трудах научно-технических конференций.

Объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, изложена на 417 страницах основного текста, содержит 504 рисунка, 41 таблиц, список используемых источников из 281 наименования и приложения.

Содержание работы

стрингер шпангоут аэрокосмический

Во введении обоснована актуальность темы диссертации, сделан обзор имеющихся публикаций, сформулированы цели и задачи исследования, изложено краткое содержание диссертации.

В первых работах по устойчивости оболочек использовалась идеализированная расчетная схема. Оболочка считалась геометрически совершенной и идеально упругой, исходное напряженное состояние - однородным, безмоментным, граничные условия - шарнирное опирание. Такая, ставшая классической, постановка использовалась в дальнейших исследованиях. Величина критической нагрузки, как правило, не совпадала с экспериментальной нагрузкой, которая оказывалась ниже классической нагрузки. Исследования устойчивости оболочек при неоднородных напряженно-деформированных состояниях в безмоментной постановке в упругой области выполнены Флюгге, Альмротом, Бушнелом, В.В. Кабановым, В.И. Мяченковым, а за пределом упругости Ю.В. Липовцевым, Э.И. Григолюком, В.В. Кабановым, И.Т. Вохмяниным, Ю.В. Немировским.

Во второй половине шестидесятых годов В.И. Мяченковым, Ю.В. Липовцевым, В.В. Кабановым, Хуаном, Фишером, Альмротом на основе МKP были разработаны эффективные алгоритмы исследования устойчивости круговых цилиндрических оболочек при произвольном осесимметричном нагружении с учетом моментности и нелинейности исходного НДС. С помощью этих алгоритмов было исследовано большое количество задач по устойчивости круговых цилиндрических оболочек.

В начале 70 годов прошлого века к задачам устойчивости оболочек стал применяться МКЭ. Здесь следует отметить работы В.А. Постнова, B.C. Корнеева, Н.Г. Слезиной, Н.В. Ковальчука, В.В. Кабанова, Г.Н. Замулы, К.М. Иерусалимского, Ю.И. Бадрухина, С.В. Астрахарчика, В.В. Кузнецова, Зенкевича, Стринклина, Рао, Галлагера, Пэдлога, Бакуса, Асвела, Сабира, Матью, Дженсона.

В настоящее время по устойчивости круговых цилиндрических оболочек и оболочек вращения опубликовано несколько тысяч статей, книг, монографий. По некруговым цилиндрическим оболочкам число публикаций исчисляется десятками. Такое поразительное несоответствие публикаций можно объяснить трудностями решения задач, связанными с переменностью радиуса кривизны поперечного сечения оболочек, что приводит к переменным коэффициентам в дифференциальных уравнениях оболочек. В последние годы прошлого и настоящего веков интерес к некруговым оболочкам сильно повысился, особенно в зарубежной практике проектирования пассажирских самолетов. В России некруговые оболочки используются в гермокабинах самолетов Ту-204, 334, в ракетах в виде обтекателей, в самолетах легкой авиации, в самолетах самодельной постройки.

Первая работа по устойчивости цилиндрической эллиптической оболочки при осевом сжатии и кручении была выполнена в 1935 г. Х.М. Муштари в классической постановке. Долгое время эта работа не имела продолжения. Следующие работы стали появляться с 1967 г. Следует отметить работы А.В. Саченкова, Я.М. Григоренко, С.Н. Кана, Ю.Г. Коноплева, И.Н. Гинзбурга, Б.Х. Иноземцева, Е.М. Королевой, А.В. Копа, Б.И. Слепова, Ю.И. Каплана, В.И. Гуляева, Г.И. Мельниченко, А.А. Саченкова, Л.В. Андреева, Н.И. Ободан, А.Г. Лебедева, Н.Н. Крюкова, В.В. Кабанова, Кемпнера, Чена, Бушнела, Яо, Дженкинса, Марлоу, Брогана, Вейничке и др. Особо ценными являлись работы Казанской школы оболочек, в которой А.В. Саченковым был разработан теоретико-экспериментальный метод исследования. Им и его учениками Ю.Г. Коноплевым, А.В. Коппом были проведены обширные эксперименты с оболочками из алюминиевой фольги и получены полуэмпирические формулы для критических нагрузок.

В первой главе разработано семейство криволинейных КЭ круговых и некруговых цилиндрических оболочек, оболочек вращения, оболочек двойной кривизны, учитывающих и не учитывающих их жесткие перемещения. Разработано семейство совместных с элементами оболочек криволинейных балочных элементов подкреплений.

Применение МКЭ к расчету оболочек связано со значительными трудностями, связанными с малой толщиной и кривизной оболочек. Преодоление этих трудностей обусловливает получение эффективных КЭ. Первый вопрос, связанный с малой толщиной оболочек, решается с использованием гипотезы Кирхгофа-Лява. Решение второй трудности значительно сложнее. Эффективность КЭ напрямую связана со сходимостью решения задачи, которая в свою очередь обусловлена решением вопросов совместности КЭ и удовлетворением требований учета жестких перемещений КЭ. Для оболочечных КЭ удовлетворить и совместности и учету жестких перемещений в общем случае невозможно. Причем удовлетворение условий учета жестких перемещений на сходимость решения влияет больше, чем совместность КЭ.

В диссертации получено семейство криволинейных КЭ естественной кривизны, у которых жесткие перемещения в явном виде вводятся в аппроксимацию полных перемещений. Функции жестких перемещений оболочечных элементов определяются из решения системы однородных дифференциальных уравнений, получающихся приравниванием нулю выражений для деформаций, изменений кривизн и кручения.

Для оболочек вращения (рис. 1), удовлетворяющих условиям

,

эта система имеет вид

(1)

где - параметры Ляме; - перемещения точек срединной поверхности конечного элемента в направлении координатных и соответственно; R - радиус кривизны, - главные кривизны срединной поверхности оболочки.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Оболочка вращения

Для некруговой цилиндрической оболочки (рис. 2) система имеет вид

, ,

,

, (2)

Здесь u, v, w - тангенциальные перемещения и прогиб, R, k₂= R^-1 - радиус и кривизна поперечного сечения, - угол нормали к поперечному сечению с осью b поперечного сечения, x - продольная координата. В индексах x, означают дифференцирование по x, .

Интегрируя системы дифференциальных уравнений (1) и (2), получаем выражение жестких перемещений оболочек вращения

, (3)

и некруговых цилиндрических оболочек

(4)

стрингер шпангоут аэрокосмический

Используя билинейную аппроксимацию для деформационных тангенциальных перемещений , и бикубическую аппроксимацию для прогиба , с учетом жестких перемещений (3), (4) записываем выражения полных перемещений точек срединной поверхности КЭ оболочки вращения

(5)

и некруговой цилиндрической оболочки

(6)

Приведем основные соотношения для КЭ оболочки вращения (для КЭ некруговой цилиндрической оболочки соотношения получаются аналогично).

В матричной форме (5), (6) имеет вид

, (7)

где - вектор перемещений точек срединной поверхности КЭ, - вектор неизвестных коэффициентов полиномов, - матрица связи размерности 3Ч24, элементами которой являются множители при коэффициентах .

Выражая неизвестные коэффициенты полиномов через узловые неизвестные, получаем

(8)

где - вектор узловых неизвестных, - матрица порядка 24Ч24, ненулевые элементы которой имеют вид

,

где L, l - длина образующей и направляющей оболочки. В каждом узле конечного элемента имеется шесть неизвестных (перемещения, углы поворотов нормали и смешанную производную). Таким образом, конечный элемент имеет 24 степени свободы.

Подставляя (8) в уравнение (7), получаем зависимость перемещений точек КЭ от узловых неизвестных

(9)

Нелинейные соотношения Коши для деформаций и изменений кривизн и кручения точек срединной поверхности оболочки имеют вид

, (10)

где

- компоненты вектора линейной составляющей деформации;

- компоненты вектора нелинейной составляющей деформаций;

- компоненты вектора начальной деформации;

- компоненты вектора температурной составляющей деформации , - производные начального прогиба по б и в соответственно, б₁ и б₂ коэффициенты температурного линейного расширения в направлении б и в, t⁺, t^- - температура на внешней и внутренней поверхностях оболочки.

Запишем (10) в матричной форме

, (11)

где ,

,

Из-за громоздкости матрицы она здесь не приводится.

Соотношения упругости для оболочки имеют вид

, (12)

где - вектор внутренних усилий и моментов, - матрица упругих жесткостей.

Часто для расчета оболочек требуется построение конечно-элементной сетки, не совпадающей с линиями главных кривизн, например, при расчете оболочек с вырезами. Поэтому для решения задач определения моментного НДС таких оболочек разработан криволинейный КЭ естественной кривизны с 24 степенями свободы. Для аппроксимации перемещений и используется билинейная аппроксимация, а для прогиба бикубическая аппроксимация.

Для расчета подкрепленных оболочек разработано семейство криволинейных балочных КЭ подкрепляющего набора, совместных с КЭ оболочек и работающих на растяжение-сжатие, изгиб в 2-х плоскостях и кручение. Учитывается эксцентриситет расположения КЭ подкрепления относительно срединной поверхности оболочки.

В этой же главе получены основные соотношения для изопараметрического конечного элемента оболочки двойной кривизны.

Во второй главе с использованием полученных КЭ разработаны численные алгоритмы МКЭ для решения и исследования задач нелинейного деформирования и устойчивости неподкрепленных и подкрепленных оболочек при произвольном термомеханическом нагружении и произвольных граничных условиях с учетом моментности и нелинейности исходного НДС в упругой и пластической областях.

Рассмотрим оболочку, на которую действует система неоднородной поверхностной нагрузки , система контурных сил и моментов , и система локальных сил и моментов . Индексы 1,2,3 соответствуют направлениям осей. На срединную поверхность оболочки нанесем систему ортогональных линий, совпадающую с линиями главных кривизн оболочки. Таким образом оболочка представляется набором mЧn четырехугольных криволинейных КЭ естественной кривизны (m, n - число элементов по образующей и направляющей оболочки).

Полная потенциальная энергия КЭ оболочки имеет вид

(13)

, (14)

где - потенциальная энергия деформации, - работа внешних сил, .

Потенциальная энергия деформации для конечного элемента подкрепления имеет вид

(15)

где , , - вектор внутренних усилий и моментов, вектор деформаций, изменений кривизн и кручения КЭ подкреплений и матрица жесткости подкреплений.

Для определения узловых неизвестных КЭ используем принцип возможных перемещений. Запишем вариационное уравнение Лагранжа с учетом (13) - (15)

(16)

Варьируя (16) по узловым перемещениям КЭ, получаем систему нелинейных алгебраических уравнений относительно узловых неизвестных КЭ. С учетом условий совместности узловых перемещений КЭ и граничных условий получаем систему нелинейных алгебраических уравнений для определения узловых неизвестных оболочки

(17)

где - матрица жесткости оболочки, - вектор обобщенных узловых сил оболочки, - вектор узловых неизвестных оболочки. Система (17) решается шаговой процедурой по нагрузке с использованием на каждом шаге метода линеаризации Ньютона - Канторовича, уравнение которого для оболочки можно записать в виде

, (18)

где - матрица Гессе оболочки, элементами которой являются вторые производные потенциальной энергии деформации, - градиент потенциальной энергии деформации, элементами которого являются первые производные потенциальной энергии деформации, - приращение по итерациям вектора узловых неизвестных.

Решение системы (17) отыскиваем следующим образом. Задается небольшое значение параметра нагрузки. За нулевое приближение принимается решение линейной задачи. Выполняется итерационный процесс (18). Далее нагрузка увеличивается. За нулевое приближение берется решение с предыдущего шага по нагрузке. Выполняется итерационный процесс и т.д. На каждой итерации решение системы линейных алгебраических уравнений (18) отыскиваем методом Краута с использованием разложения матрицы =L^TDL на диагональную D и две треугольные L матрицы. По найденным узловым неизвестным по формулам (9) - (12) определяются перемещения точек КЭ, деформации, усилия и моменты.

Критическая нагрузка определяется или как предельная по расходимости итерационного процесса при резком возрастании перемещений в отдельных узлах конечно-элементной сетки, или как бифуркационная с использованием энергетического критерия устойчивости, согласно которому равновесное состояние устойчиво, если вторая вариация полной потенциальной энергии , что в свою очередь требует положительной определенности матрицы Гессе , или положительности всех диагональных элементов матрицы D. Изменение какого либо коэффициента матрицы D на противоположный означает потерю устойчивости оболочки. Это легко контролируется в вычислительном алгоритме без дополнительных затрат машинного времени.

Определив критическую нагрузку, отыскиваем форму потери устойчивости оболочки из решения системы , где д - вектор бифуркационных узловых перемещений. Для этого определяется одна линейно зависимая (вырожденная) строка матрицы , соответствующая первому отрицательному элементу матрицы D. Элементы этой строки и соответствующего столбца матрицы полагаются равными нулю. На место диагонального коэффициента заносится единица, а в правую часть системы переносится соответствующий столбец, умноженный на докритическое перемещение, соответствующее вырожденной строке. Из решения полученной таким образом системы и отыскивается форма потери устойчивости оболочки. В случае предельной точки форма потери несущей способности оболочки отыскивается из нелинейного исходного НДС при нагрузке, близкой к предельной.

В этой же главе приведены результаты тестирования алгоритмов на известных решениях и экспериментах.

В третьей главе приведены результаты решений ряд задач нелинейного деформирования и устойчивости оболочек при однородных и неоднородных НДС.

Круговые цилиндрические оболочки:

· оболочка при неоднородных по длине осевом сжатии и внешнем давлении;

· оболочка при неосесимметричном осевом сжатии;

· оболочка при неосесимметричном внешнем давлении;

· оболочка при поперечном изгибе сосредоточенной силой;

· оболочка переменной по окружности толщины при однородном внешнем давлении;

· оболочка при гидростатическом внутреннем давлении;

· оболочка при локальном нагружении радиальной силой через накладку;

· оболочка при неосесимметричном нагреве;

· подкрепленная оболочка при комбинированном неоднородном нагружении.

Сферические и составные оболочки:

· сферические оболочка и панель под действием сосредоточенных сил;

· торовая оболочка под действием сосредоточенных сил;

· составные подкрепленные оболочки при неоднородном нагружении.

Эллиптические цилиндрические оболочки:

· оболочки при раздельном действии осевого сжатия, внутреннего давления, изгибающего момента, поперечной силы, крутящего момента;

· оболочки при комбинированном нагружении осевым сжатием и внутренним давлением, поперечной силой и изгибающим моментом, крутящим и изгибающим моментами, крутящим моментом с внутреннем давлением, изгибающим моментом с внутреннем давлением, крутящим и изгибающим моментами с внутреннем давлением, крутящим моментом и поперечной краевой силой.

Овальные цилиндрические оболочки:

· оболочки при раздельном действии осевого сжатия, внутреннего давления, изгибающего момента, поперечной силы и крутящего момента;

· оболочки при комбинированном нагружении поперечной силой и изгибающим моментом, крутящим и изгибающим моментами, крутящим моментом с внутреннем давлением, изгибающим моментом с внутреннем давлением, крутящим и изгибающим моментами с внутреннем давлением, изгибающим моментом и поперечной силой с внутреннем давлением.

Отсек фюзеляжа самолета ТУ-334 с некруговым контуром поперечного сечения при комбинированном нагружении крутящим и изгибающим моментами с внутреннем давлением, изгибающим моментом и поперечной силой с внутреннем давлением, крутящим и изгибающим моментами с внутреннем давлением, изгибающим моментом с внутреннем давлением.

Исследовано влияние неоднородности нагрузок, геометрических параметров оболочек, нелинейности исходного НДС на устойчивость и предельное состояние круговых и некруговых цилиндрических оболочек, оболочек вращения и составных оболочек при действии различного вида неоднородных нагрузок. Получены кривые взаимодействия критических нагрузок при комбинированном нагружении оболочек. Приведено сравнение результатов, полученных автором с результатами экспериментов и результатами других авторов. Приведено решение практически важных задач нелинейного деформирования и устойчивости оболочек и элементов конструкций летательных аппаратов.

Ниже показаны результаты исследований некоторых задач.

Круговая цилиндрическая оболочка при неоднородном осевом сжатии погонными усилиями .

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Зависимость параметра критической нагрузки сжатия от параметра p

На рис. представлена зависимость критического безразмерного параметра от параметра p при различных длинах оболочек , - критическая амплитуда неоднородного осевого усилия, - верхнее критическое значение однородного осевого усилия сжатия. Звездочкой нанесены результаты В.В. Кабанова, полученные при безмоментном исходном НДС.

Круговая цилиндрическая оболочка при осевом сжатии погонными краевыми усилиями N по р площадкам размеров г = р/р. Площадки расположены с периодом 2. Разлагая усилия N в ряд Фурье, получаем их в виде функции угловой координаты .

При р < 12 величина k_c меньше единицы. Это объясняется влиянием моментности и нелинейности НДС оболочек.

Анализ рис. 3, 4 позволяет сделать следующие выводы. Для каждой длины оболочки существуют свои «резонансные» значения параметра p, при которых величина минимальна и существенно меньше единицы. Эти значения параметра p совпадают с числом волн потери устойчивости оболочки при однородном осевом сжатии (собственная форма потери устойчивости оболочки). Осевое усилие и вызванные им прогибы в этом случае находятся в своеобразном резонансе с собственной формой потери устойчивости оболочки.

При малых значениях p оболочка деформируется с интенсивным развитием прогиба у нагруженного края оболочки. При значениях параметра p, приближающихся к резонансным, оболочка деформируется с развитием прогиба ближе к середине оболочки.

Круговая цилиндрическая оболочка при неосесимметричном внешнем давлении .



Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Зависимость параметра критического давления от параметра p

На рис. представлена зависимость критического безразмерного параметра от параметра p при различных значениях , где q₀ - критическая амплитуда давления, - верхнее критическое значение однородного внешнего давления. Как и в случае осевого сжатия, здесь также для каждой длины оболочки существуют свои «резонансные» значения параметра p, при которых величина минимальна. Эти значения совпадают с числом волн потери устойчивости оболочки при однородном внешнем давлении. Величина в этом случае получается существенно меньше единицы.

Консольно-закрепленная круговая цилиндрическая оболочка при изгибе сосредоточенной силой.

В известных решениях этой задачи рассматривались оболочки с абсолютно жестким шпангоутом при безмоментном исходном состоянии.

На рис. 6 представлена зависимость параметра от параметра длины оболочки =L/R в случае нелинейного (сплошная линия), линейного моментного исходных НДС (штрих - пунктирная линия) и без учета искривления оболочки в исходном состоянии (штриховая линия). При этом - критическое значение силы, , - критическое сдвигающее усилие при жестком шпангоуте и чистом кручении. Звездочкой нанесены результаты эксперимента П.Г. Бурдина. Кривые 1 и 2 получены при абсолютно жестком шпангоуте.

В случае абсолютно жесткого шпангоута параметр с увеличением длины оболочки увеличивается как в случае линейного, так нелинейного исходных НДС. Влияние нелинейности исходного состояния небольшое (порядка 10 - 15%). В случае гибкого шпангоута при нелинейном и моментном исходных НДС параметр с увеличением длины оболочки сначала увеличивается, достигая максимумы при =l, 75, затем монотонно уменьшается. В случае неучета искривления оболочки в исходном состоянии увеличивается с увеличением L. При <1,5 влияние как моментности, так и нелинейности исходных состояний незначительно. С увеличением L влияние моментности увеличивается до 47%, влияние нелинейности исходного состояния с увеличением L увеличивается до 40%. Такое поведение обусловлено сложным характером НДС. Видно удовлетворительное совпадение результатов расчета с экспериментом.

Круговая цилиндрическая оболочка под действием гидростатического давления

Оболочка заполнена жидкостью плотности , жестко оперта на две опоры, симметрично расположенные относительно ее середины (рис. 9). Под опорами оболочка подкреплена шпангоутами постоянной жесткости прямоугольного поперечного сечения. Оболочка имеет кусочно-постоянную по окружности толщину h₁ и h₂ (). В известных решениях этой задачи используются либо различные приближенные подходы, связанные с приведением задачи к задаче кручения, сжатия или чистого изгиба, либо в предположении безмоментности исходного НДС. Ниже задача решается с учетом моментности и нелинейности исходного НДС.



Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Оболочка с жидкостью

Действие жидкости на боковую поверхность оболочки заменим неоссимметричным внутренним давлением

,

а на днище - осевыми растягивающими погонными усилиями, приложенными к краям оболочки и изменяющими по закону

.

На рис. 10 представлена зависимость безразмерного параметра критического удельного веса жидкости от параметра (). Сплошные кривые (здесь и далее) соответствуют решению задачи с учетом моментности и нелинейности НДС, штрихпунктирные - с учетом моментности линейного НДС, штриховые кривые - без учета моментности. Качественно решения с нелинейным, линейным моментным и безмоментным НДС совпадают. Причем, с увеличением параметр сначала возрастает, достигая максимума, потом уменьшается. Можно сказать, что существует такое место положение опор, для которого величина критического удельного веса жидкости максимальна. При увеличении влияние нелинейности увеличивается, а при > 0,22 практически не зависит от и составляет порядка 25%.

На рис. 11 показано влияние относительной толщины на критические значения параметра . Кривые получены при . Погрешности как линейного, так и безмоментного решений с увеличением достигает максимума при =0,005 и составляет примерно 100%. Для повышения критического удельного веса жидкости необходимо увеличивать толщину оболочки в нижней части. Отношение должно быть больше 1,7.

Цилиндрическая оболочка эллиптического поперечного сечения.

Эквипериметрический радиус R₀ (радиус круговой цилиндрической оболочки с тем же периметром поперечного сечения, что и у эллиптической оболочки) определяется формулой

, ,

где ? полный эллиптический интеграл второго рода, P - периметр поперечного сечения. Длины полуосей эллипса при заданных и определяются формулами: Эксцентриситет эллипса . Задание , при исследованиях удобно, поскольку это позволяет просто сравнивать результаты некруговых оболочек с результатами эквипериметрических круговых оболочек.

Кручение моментами

На рис. 14 показаны зависимости параметра k_p критического крутящего момента от параметра эллиптичности для оболочек из Д16Т. Здесь же нанесены экспериментальные значения параметра , полученные в работе Ю.Г. Коноплева, А.В. Коппа (кривая 3). Кривая 4 на рис. 14 соответствует формуле Х.М. Муштари где - критическое усилие сдвига круговой оболочки с радиусом, равным а. Эта формула дает завышенные результаты и применима только при . Нелинейное решение аппроксимируется прямой .

Осевое сжатие

Для определения критической нагрузки рассмотренных оболочек можно с погрешностью 15% пользоваться формулой для критической нагрузки эквивалентной круговой цилиндрической оболочки с радиусом поперечного сечения, равным максимальному радиусу эллиптической оболочки (в районе малой полуоси). Точность формулы увеличивается с увеличением тонкостенности и эллиптичности оболочек. Для значений параметра b >0,4 при расчете критической нагрузки можно пользоваться формулой k_сb=(1 - 0,13b). Линейное моментное решение хорошо согласуется с линейным безмоментным решением Хатчинсона.

Форма потери устойчивости оболочки существенно зависит от значения параметра b. В основном диапазоне изменения параметра b оболочка теряет устойчивость в области малой кривизны с образованием двух вмятин в области малой полуоси оболочки.

При значениях параметра b, близких к 1, волнообразование захватывает практически всю поверхность оболочки.

Внутреннее давление

В отличие от круговых, некруговые оболочки теряют устойчивость и от внутреннего давления, что объясняется возникновением сжимающих усилий в области максимальной кривизны. Докритическое состояние некруговых оболочек при внутреннем давлении не обладает осевой симметрией, является моментным и нелинейным. Ю.Г. Коноплев и А.В. Копп провели испытания изготовленных из алюминиевой фольги эллиптических оболочек. Ими получены эмпирические зависимости для критических нагрузок

, , , .

Влияние нелинейности во всем диапазоне изменения параметра b незначительно и изменяется в диапазоне 10-15%. Причем, в диапазоне 0,7> b >0,4 нелинейное решение лежит выше линейного решения. В сравнении с работой Ю.Г. Коноплева полученное решение в диапазоне 0,9> b >0,7 дает заниженную, а в диапазоне b <0,7 завышенную критическую нагрузку. При значениях b >0,9 критическая нагрузка резко возрастает, и при b =1 оболочка не теряет устойчивость.

Форма потери устойчивости оболочки существенно зависит от значения параметра b. При b <0,6 оболочка теряет устойчивость у краев в области большой полуоси оболочки с образованием двух косых складок, обусловленных действием больших касательных усилий.

Чистый изгиб моментами.

На рис 21 для оболочки с L = 2800 мм, h = 3,3 мм, R₀ = 1000 мм, представлены графики зависимости параметра k_m=M*/M₀, где , M* - критическое значение изгибающего момента от параметра b для случая линейного (k_ml) и нелинейного(k_mn) исходных НДС и результаты безмоментного линейного решения Чена, Кемппера k_mч для эквипериметрической овальной оболочки при действии изгибающего момента в плоскости большой оси эллипса. При b =1 значения k_m совпадают с решением Чена, Кемппера k_mч. Высокие эллиптические оболочки в сравнении с эквипериметрическими круговыми оболочками оказываются более выгодными. Влияние нелинейности во всем диапазоне изменения b колеблется в диапазоне 10-15%, наиболее существенно при b >0,6 и незначительно при b < 0,5.

Форма потери устойчивости оболочки существенно зависит как от значения параметра b, так и от направления действия изгибающего момента. Так, при действии изгибающего момента в плоскости большой оси эллипса при значениях параметра b < 0,6 оболочка теряет устойчивость от действия максимальных сжимающих усилий Т_х на границе перехода малой кривизны в большую кривизну с образованием локальных поперечных вмятин. А при значениях b > 0,6 оболочка теряет устойчивость в верхней части, в области действия максимальных сжимающих усилий Т_х с образованием ромбовидных вмятин (рис. 23б). При действии изгибающего момента в плоскости малой оси эллипса при всех значениях b оболочка теряет устойчивость в верхней части, в области действия максимальных сжимающих усилий Т_х, с образованием поперечных складок.

Консольно-закрепленная эллиптическая оболочка при изгибе сосредоточенной силой.

На рис. 24 при h=2,5 (а); 5,0 мм (б) показаны зависимости параметра , где - критические значения поперечной силы (, - верхнее критическое касательное усилие при кручении круговой цилиндрической оболочки с радиусом , C=0,953 - эмпирический коэффициент), от параметра эллиптичности в=a/b для случая линейного моментного (пунктирные кривые) и нелинейного (сплошные кривые) исходных НДС.

С уменьшением b параметр критической нагрузки k_с сначала уменьшается (более резко при больших значениях k_q), потом увеличивается. При k_q< 0,4 влияние параметра b незначительно, различие между соответствующими кривыми порядка 20%. С уменьшением b критическая нагрузка осевого сжатия резко возрастает в линейном решении при k_q >0,4, а в случае нелинейного исходного НДС критическая нагрузка стабилизируется при b <0,4. Кривые, соответствующие нелинейному решению, практически при всех значениях k_q и во всем диапазоне изменения b расположены ниже соответствующих кривых линейного решения. Исключение составляют оболочки, у которых 0,5< b <0,8, k_q =0,4. Влияние нелинейности более существенно при b <0,4.

Результаты расчетов показывают, что НДС и форма выпучивания оболочки существенно неоднородны по обеим координатам поверхности оболочек. Ромбовидная форма выпучивания наблюдается при преобладании осевого сжатия. При малых осевых усилиях имеет место характерное волнообразование в виде косых вмятин. При других комбинациях внутреннего давления и осевых усилий наблюдается смешанная из этих двух характерных форм форма выпучивания оболочки.

Характерной особенностью комбинированного нагружения кручением и внутренним давлением является то, что при нагружении оболочки крутящим моментом выше его критического значения при раздельном нагружении (R_p>1) потеря устойчивости может произойти как при повышении, так и при понижении внутреннего давления. Характерные формы потери устойчивости для этих двух случаев показаны на рис. 30a и 30б соответственно. Аналогичная картина наблюдается и в случае действия внутреннего давления и изгибающего момента.

Подкрепленная стрингерами цилиндрическая оболочка отсека фюзеляжа самолета Ту-334 при комбинированном нагружении крутящим и изгибающим моментами с внутренним давлением.

Овал поперечного сечения оболочки собран из дуг окружностей (рис. 34). Оболочка имеет L = 500 мм (шаг шпангоутов в фюзеляже самолета), h = 3,2 мм, изготовлена из материала с модулем упругости Е=0,7Ч10⁵ МПа, коэффициентом Пуассона v=0,3. Площадь поперечного сечения стрингеров F_c=306 мм², момент инерции J_c=41000 мм⁴, шаг d_c=150 мм, эксцентриситет e_c=10 мм.

Зависимости параметра k_m =M^*/M₀, где M^* - критические значения изгибающего момента, - критический классический изгибающий момент эквипериметрической круговой оболочки, от внутреннего давления q (атм.) при различных значениях отношения k_p/k_m =5; 2; 1; 0,5; 0,2; 0 (кривые 1,2,3,4,5,6 соответственно) в случае линейного (пунктирные кривые) и нелинейного (сплошные кривые) исходных НДС (k_p =M_k^*/M_k0, M_k^* - критические значения крутящего момента, - критический классический крутящий момент эквипериметрической круговой оболочки). Внутреннее давление повышает устойчивость оболочки. Нелинейность исходного НДС в большинстве случаев приводит к снижению критического изгибающего момента.

Внутреннее давление повышает критические значения параметра k_p. Нелинейность исходного НДС в большинстве случаев приводит к снижению критического крутящего момента.

В четвертой главе приведены результаты исследования влияние неоднородности нагрузок, геометрических параметров оболочки на НДС различного типа оболочек (круговые цилиндрические, конические, сферические, гладкие и подкрепленные, ослабленные вырезами) при действии различного вида неоднородных нагрузок в условиях упругого и неупругого деформирования. Проведено сравнение полученных результатов с исследованиями других авторов. Приведены графики изменения коэффициентов концентрации мембранных и изгибных напряжений для оболочек, ослабленных вырезами, в широком диапазоне изменения геометрических параметров оболочек, размеров отверстий и жесткостей подкрепляющих вырез колец. Приведен обширный материал по анализу НДС, представленного в виде изолинии усилий. Приведено решение ряда практически важных задач.

Основные результаты и выводы

1. Разработаны семейство новых криволинейных КЭ тонкостенных круговых и некруговых цилиндрических оболочек, оболочек вращения, оболочек двойной кривизны, учитывающих их жесткие перемещения, и семейство совместных с элементами оболочки криволинейных балочных КЭ подкреплений с учетом знака их эксцентриситета, позволяющих учитывать дискретность расположения подкреплений.

2. На основе этих КЭ разработаны численные алгоритмы вариационного МКЭ в перемещениях для решения задач определения моментного НДС оболочек, однородных, с вырезами, нерегулярно-подкрепленных стрингерами и шпангоутами, при произвольном термомеханическом нагружении и произвольных граничных условиях в упругой и упруго-пластической областях.

3. Разработаны численные алгоритмы МКЭ в перемещениях для решения задач физически и геометрически нелинейного деформирования и устойчивости перечисленных выше оболочек при произвольном термомеханическом неоднородном нагружении и произвольных граничных условиях. Эти алгоритмы, в отличие от известных алгоритмов, учитывают моментность и нелинейность исходного НДС, жесткие перемещения КЭ, совместность элементов подкреплений с элементами оболочек и знака их эксцентриситета. Все алгоритмы реализованы программами.

4. С использованием этих программ решен и исследован широкий круг задач нелинейного деформирования и устойчивости оболочек при раздельном и комбинированном нагружениях неоднородными осевыми сжимающими усилиями, боковым внутренним и внешним давлениями, краевыми изгибающими и крутящими моментами, краевой поперечной и сосредоточенными силами. Определены НДС, критические и предельные нагрузки, формы деформирования оболочек в исходном состоянии и формы потери устойчивости. Исследовано влияние на устойчивость оболочек неоднородности нагрузок и НДС, геометрических параметров оболочек и граничных условий.

5. Выявлены случаи, при которых неоднородные нагрузки можно заменить эквивалентными однородными с величиной, равной амплитудному или среднему значению неоднородной нагрузки.

6. Выявлены так называемые «резонансные» нагрузки, при которых существенно снижается несущая способность оболочек. Так при неосесимметричном осевом сжатии и неосесимметричном внешнем давлении параметры критического усилия сжатии и критического внешнего давления снижаются в два и более раза.

7. В ряде случаев получены простые формулы для определения критических нагрузок: параметра критического внешнего давления круговой цилиндрическая оболочки переменной по окружности толщины ( - отношение толщин), параметра критического осевого усилия сжатия k_сb=(1-0,13b) и параметра критического крутящего момента для эллиптической цилиндрической оболочки.

8. Дана оценка погрешности допущений о безмоментности и линейности исходного НДС на критические нагрузки, оценены рамки использования известных линейных решений, полученных в классической постановке.

9. Установлено, что овальные и эллиптические оболочки с начала нагружения деформируются нелинейно с изгибами, классическая линейная постановка с бифуркациями зачастую неприменима.

10. Показано, что известные формулы критического осевого усилия сжатия для овальных цилиндрических оболочек, полученные С.Н. Каном, Ю.И. Капланом и Б.Х. Иноземцевым в классической постановке, применимы только при малой овализации оболочек.

11. Установлено, что формулы Х.М. Муштари для критического крутящего момента и осевого сжатия эллиптических цилиндрических оболочек, полученные в линейной постановке, справедливы только при малой эллиптичности оболочек ().

12. Обнаружена и численно исследована неоднозначность влияния внутреннего давления на критические нагрузки некруговых оболочек, которая заключается в том, что при комбинированном нагружении крутящим моментом и внутренним давлением, изгибающим моментом и внутренним давлением при значении крутящего и изгибающего моментов выше их критических значений при раздельном нагружении овальные и эллиптические оболочки могут терять устойчивость, как при повышении, так и при понижении внутреннего давления. На кривых взаимодействия критических нагрузок имеются два участка: на одном участке внутреннее давление оказывает стабилизирующие влияние на оболочку, на другом оно понижает устойчивость.