Метрология, стандартизация и сертификация

Размещено на http://www.allbest.ru/

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ВОЗДУШНОГО ТРАНСПОРТА

ФЕДЕРАЛЬНОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО БЮДЖЕТНОГО ОБРАЗОВАТЕЛЬНОГО УЧРЕЖДЕНИЯ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ» (МГТУ ГА)

КАФЕДРА АРЭО

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

по дисциплине

МЕТРОЛОГИИ, СТАНДАРТИЗАЦИИ И СЕРТИФИКАЦИИ

Выполнил:

студент

специальность

шифр

Проверил:

2018 г.

Проверка нормальности распределения вероятности результата измерения

При обработке экспериментальных данных существенное значение имеет вопрос о том, подчиняется или нет результат измерения нормальному закону распределения вероятности. Непротиворечивость такой гипотезы должна быть обязательно проверена.

Поскольку ошибки искажают эмпирический закон распределения вероятности результата измерения. постольку проверка предложения об его нормальности производится после исключения ошибок. Известен целый ряд так называемых критериев согласия, предложенных разными авторами, по которым проверяются гипотезы о соответствии экспериментальных данных тому или иному закону распределения вероятности результата измерения.

Наибольшее распространение в практике получил критерий К.Пирсона

При использовании этого критерия за меру расхождения экспериментальных данных с теоретическим законом распределения принимается сумма квадратов отклонений частностей mi/n от теоретической вероятности pi попадания отдельного результата измерения в i-ый интервал, причем каждое слагаемое берется с коэффициентом n/pi:

вероятность распределение статистический

Если расхождение случайно, то X2 подчиняется X2 - распределению ( распределению К. Пирсона). Интегральная функция определяет вероятность того, что случайное число примет значение, меньшее аргумента этой функции. Поэтому, задавшись значением интегральной функции распределения К. Пирсона F(X20), можно проверить, больше или меньше её аргумента X20 вычисленное значение X2. Если меньше, то с выбранной вероятностью X2 можно считать случайным числом, подчиняющимся X2 - распределению К. Пирсона, т.е. признать случайным расхождение между эмпирической и теоретической плотностью распределения вероятности результата измерения. Если же окажется, что X 2> X20 , то с той же вероятностью придётся признать, что X2 не подчиняющимся X2 - распределению, т.е. гипотеза о соответствии эмпирического закона распределения вероятности теоретическому закону не подтверждается.

Задача

Необходимо идентифицировать закон распределения погрешностей по приведенному статическому ряду. В данном случае идентифицируется нормальный закон по критерию согласия ХИ - квадрат (Пирсона).

Получены 100 независимых числовых значений результатов измерения напряжения цифровым вольтметром, каждое из которых повторялось m раз.

Порядок решения:

1. Результаты измерений представляют в виде вариационного ряда, т.е. в виде последовательности измеренных значений величины, расположенных в порядке возрастания от наименьшего до наибольшего.

2. Весь диапазон измеренных значений величины U разделяется на некоторое число интервалов по соответствующим правилам.

3. Определяем среднее арифметическое и среднее квадратическое отклонение.

4. Определяем теоретическая вероятность попадания случайной величины в каждый выбранный интервал.

5. Находим статистические частоты попадания случайной величины в каждый выбранный интервал.

6. Определяем меру расхождения теоретической вероятности и статистической частоты по критерию X2.

7. Определяем число степеней свободы X2 - распределения х.

8. По известной мере расхождения и при данном числе степеней свободы определяем вероятность сходимости эмпирического и теоретического законов распределения.

9. По полученному результату делаем вывод о противоречивости или нет гипотезы о соответствии эмпирического закона нормальному закону распределения.

Решение

1. Результаты измерений напряжения вольтметром представим в виде вариационного ряда, т.е. в виде последовательности измеренных значений величины, расположенных в порядке возрастания от наименьшего до наибольшего.

Таблица 1

2. Весь диапазон измеренных значений величины U разделяется на некоторое число интервалов Ui-1 … Ui .

Таблица 2

3. Определяем среднее арифметическое и среднее квадратическое отклонение по следующим формулам:

где - среднее арифметическое значение;

Средне квадратическое отклонение равно:

4. Определяем теоретическая вероятность попадания случайной величины в каждый выбранный интервал по формуле:

используя таблицу функций Лапласа.

Сумма теоретических вероятностей равна:

5. Найдем статические частоты попадания значений случайной величины в каждый выбранный интервал (результаты приведены в таблице)

Pi* = Mi/100 100 - общее количество проведенных измерений

6. Определяем меру расхождения теоретической вероятности и статистической частоты по критерию X2.

где n и k число измерений и число разрядов статистического ряда.

7. Определим число степеней свободы распределения XU - квадрат.

r = k - s, где s - число независимых условий, которым должны удовлетворять статические вероятности Pi*. Число s определяется формой теоретического закона распределения. Для симметричных законов распределения, каковым является нормальный закон, таких независимых условий три:

1. Сумма статистических вероятностей должна быть равной единице, т.е.

2. Математическое ожидание mu и среднее арифметическое значение mu* должны совпадать, т.е.

3. Теоретическая и статистическая дисперсии должны совпадать, т.е.

Находим число степеней свободы r = k-s = 7-3 = 4

8. По известной мере расхождения и при данном числе степеней свободы определим вероятность сходимости эмпирического и теоретического законов распределения.

Берем математические таблицы для значений х2 в зависимости от r = 4 и от вероятности сходимости эмпирического и теоретического законов распространения и для значения х2 = 0,039 получим, что эта вероятность равна 0,89 (по таблице в математической статистике).

9. Вывод: Вероятность р = 0,89 следует считать вполне достаточной для того, чтобы сделать вывод о том, что гипотеза о соответствии эмпирического закона нормальному закону распределения не противоречит полученным экспериментальным данным. Сделав все расчеты мы увидели, что величина 8,646 с доверительной вероятностью Р = 1,32, истинное значение величины лежит в пределах.

Список литературы

1. А.И. Логвин Метрология, стандартизация и сертификация - Москва -2005г.

2. Сергеев А. Г. , Латышев М.В. Метрология, стандартизация М.Логос, 1999г.

3. Кузнецов В.А. Ялунина Г.В. Общая метрология 2001г.

Размещено на Allbest.ru