Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Введение

Развитие науки и техники, повышение требований к качеству продукции и эффективности производства привели к радикальному изменению требований к измерениям. Один из основных аспектов этих требований - обеспечение возможности достаточно достоверной оценки погрешности измерений. Отсутствие данных о точности измерений или недостаточно достоверные ее оценки полностью или в значительной степени обесценивают информацию о свойствах объектов и процессов, качестве продукции, об эффективности технологических процессов, о количестве сырья, продукции и т.п., получаемую в результате измерений . Некорректная оценка погрешности измерений чревата большими экономическими потерями, а иногда и техническими последствиями. Заниженная оценка погрешности измерений ведет к увеличению брака продукции, неэкономичному или неправильному учету расходования материальных ресурсов, неправильным выводам при научных исследованиях, ошибочным решениям при разработке и испытаниях образцов новой техники. Завышенная оценка погрешности измерений, следствием чего, как правило, является ошибочный вывод о необходимости применения более точных средств измерений (СИ), вызывает непроизводительные затраты на разработку, промышленный выпуск и эксплуатацию СИ. Стремление максимально приблизить оценку погрешности измерений к ее действительному значению так, чтобы она при этом оставалась в вероятностном смысле "оценкой сверху", - одна из характерных тенденций развития современной практической метрологии. Эта тенденция приобретает особенно большое практическое значение там, где требуемая точность измерений приближается к точности, которую могут обеспечивать образцовые СИ и где повышение корректности оценок точности измерений по существу является одним из резервов повышения точности измерений. Погрешность измерений обусловлена, в общем случае, рядом факторов.

Она зависит от свойств применяемых СИ, способов использования СИ (методик выполнения измерений), правильности калибровки и поверки СИ, условий, в которых производятся измерения, скорости (частоты) изменения измеряемых величин, алгоритмов вычислений, погрешности, вносимой оператором. Следовательно, задача оценки погрешности измерений в современных условиях, в частности, технических измерений - сложная комплексная задача.

чувствительность средство измерение погрешность

1. Моделирование функции преобразования средства измерения

Задание № 1. Чувствительность средства измерения

Чувствительность по определению:

Найдём чувствительность СИ как производную функции преобразования:

Задание № 2. Определение погрешностей в виде касательной

Определить абсолютную, относительную и приведенную погрешности нелинейности при аппроксимации функции преобразования СИ в виде касательной в начальной точке. Определить наибольшую погрешность нелинейности.

Запишем уравнение касательной к графику функции преобразования в начальной точке:

Найдём y?(x0):

Найдём y?(x0):

Получаем:

Ответ: уравнение линейной функции преобразования .

Найдём абсолютную погрешность линеаризации:

Т.к. , то абсолютная погрешность линеаризации принимает отрицательное значение:

В конечной точке наибольшая по модулю абсолютная погрешность:

В конечной точке наибольшая по модулю относительная погрешность:

Найдём приведённую погрешность:

Задание № 3. Определение погрешностей в виде хорды

Определить абсолютную и относительную погрешности нелинейности при аппроксимации функции преобразования СИ в виде хорды, проходящей через начальную и конечную точки диапазона измерения. Определить наибольшую погрешность нелинейности.

Аппроксимируем функцию преобразования СИ хордой, проходящей через начальную [x0 ; y0] = [0 ; k] и конечную [xн ; yн] = [1 ; ] точки диапазона измерения:

Найдём уравнение хорды, записав уравнение прямой, проходящей через две точки:

Подставляем:

Выразим :

Определим абсолютную погрешность нелинейности:

Т.к. , то корень равный 5,5 не удовлетворяет условию задачи.

Найдём точку, в которой абсолютная погрешность принимает наибольшее значение:

Корень x = 0,5 принадлежит диапазону измерения [0 ; 1].

При x = 0,5 абсолютная погрешность принимает наибольшее значение. Найдём это значение:

Определим относительную погрешность нелинейности:

Наибольшее значение относительная погрешность принимает в точке . Найдем его:

Задание № 4. Определение погрешностей функции .

Аппроксимировать функцию преобразования СИ на интервале: линейной функцией вида: , так, чтобы наибольшая погрешность линеаризации была минимальна: . Определить предельные относительную и приведенную погрешности линеаризации.

Аппроксимируем функцию преобразования СИ на интервале [0 ; xн] = [0 ; 1] линейной функцией yл = E·x + k:

Запишем выражение для абсолютной погрешности:

Приравняв производную абсолютной погрешности по x к нулю, найдём точки, в которых абсолютная погрешность имеет экстремумы:

По условию задачи подходит точка x2 (во втором случае x1 < 0, т.к. a >0, c >0, E < 0, )

Найдём погрешность в точке xэкс = x2:

Найдём погрешность в точке xн = 1:

Оптимизируем решение:

т.к. секущая пересекает функцию преобразования, то погрешности линеаризации в точках xн и xэкс будут разных знаков:

Решим уравнение в Mathcad относительно E:

Получаем,

Абсолютная погрешность линеаризации примет вид:

Предельное значение абсолютной погрешности равно:

Относительная погрешность линеаризации имеет вид:

Предельное значение относительной погрешности равно:

Найдём приведённую погрешность линеаризации:

Задание № 5. Определение погрешностей функции .

Аппроксимировать функцию преобразования СИ на интервале: линейной функцией вида: , так, чтобы наибольшая погрешность линеаризации была минимальна:

Определить предельные относительную и приведенную погрешности линеаризации.

Аппроксимируем функцию преобразования СИ на интервале [0 ; xн] = [0 ; 1] линейной функцией yл = E·x + F:

Запишем выражение для абсолютной погрешности:

Приравняв производную абсолютной погрешности по x к нулю, найдём точки, в которых абсолютная погрешность имеет экстремумы:

По условию задачи подходит точка x2 (во втором случае x1 < 0, т.к. a >0, c >0 E > 0, )

Найдём погрешности в начальной x0, экстремальной x1 и конечной xн точках:

Оптимизируем решение: составим систему уравнений с учётом знаков абсолютной погрешности в точках x0, x1 и xн :

Из первого уравнения системы находим E:

; E=0.08

Из второго уравнения системы находим F:

Таким образом,

yл = 0,08x+1,19165

Абсолютная погрешность линеаризации примет вид:

Предельное значение абсолютной погрешности равно:

Относительная погрешность линеаризации имеет вид:

Предельное значение относительной погрешности равно:

Найдём приведённую погрешность линеаризации:

Задание № 6. Определение погрешностей функции .

Аппроксимировать функцию преобразования СИ на интервале: линейной функцией вида: , так, чтобы дисперсия погрешности аппроксимации была минимальна. Определить предельную приведенную погрешность линеаризации.

Аппроксимируем функцию преобразования СИ на интервале [0 ; xн] = [0 ; 1] линейной функцией yл = E·x + 1,2:

Запишем выражение для абсолютной погрешности:

Найдём дисперсию погрешности аппроксимации по формуле:

Найдём каждый интеграл в отдельности:

Таким образом:

Приравняв производную дисперсии по Е к нулю, найдём значение Е, при котором дисперсия минимальна:

Таким образом,

yл = 0,0645x + 1,2

При Е = 0,0645 дисперсия принимает значение:

Найдём предельную приведённую погрешность линеаризации:

Задание № 7. Определение погрешностей функции

Аппроксимировать функцию преобразования СИ на интервале: линейной функцией вида:

чтобы дисперсия погрешности аппроксимации была минимальна. Определить предельную приведенную погрешность линеаризации.

Аппроксимируем функцию преобразования СИ на интервале [0 ; xн] = [0 ; 1] линейной функцией yл = E·x + F:

Запишем выражение для абсолютной погрешности:

Найдём дисперсию погрешности аппроксимации по формуле:

Найдём каждый интеграл в отдельности:

Получаем:

Приравняв частные производные дисперсии по E и по F к нулю, найдём значения E и F, при которых дисперсия минимальна:

>

Из первого уравнения системы:

F = 1,243-0,666E

Подставляем во второе:

F = (2,45826-0,0834)/2=1,1876

Таким образом,

yл = 0.0834x + 1,1876

При E = 0,0834 и F = 1,1876 дисперсия принимает следующее значение:

Найдём предельную приведённую погрешность линеаризации:

Размещено на Allbest.ur