Подземная гидромеханика

Размещено на http://www.allbest.ru/

Казахский Национальный Технический Университет Им. К.И. Сатпаева

Институт геологии и нефтегазового дела им. К. Турысова

Кафедра: Разработки нефтяных и газовых месторождений

Курс лекций

дисциплины: «ПОДЗЕМНАЯ ГИДРОМЕХАНИКА»

Алматы 2011 г.



Учебно-методический комплекс по дисциплине «Подземная гидромеханика» для студентов КазНТУ имени К.И.Сатпаева по специальности 5B070800 -Нефтегазовое дело

Составитель: кафедра РНГМ, А.Г. Танирбергенов, Алматы: КазНТУ, 2011 - с.

Составитель: Танирбергенов Аманжол Гиззатович - к.ф.-м.н., ст. преподаватель



Лекция 1. Введение

Подземная гидромеханика (ПГМ) - наука о движении (фильтрации) нефти, воды, газа и их смесей в пористых и трещиноватых горных породах, слагающих продуктивные пласты и массивы.

Так как ПГМ изучает разновидность механического движения, то её можно считать отделом механики.

Те или иные положения ПГМ устанавливаются и развиваются строгими или упрошенными математическими методами на основе данных о движении жидкости и газа в реальных пластах.

Существуют естественные подземные потоки пластовой жидкости. Движение жидкости и газа в пластах возникают каждый раз, когда начинают добывать из залежи нефти и газ. Это движение обладает специфическими особенностями, отличающими его от движения жидкости и газа по трубам и по открытым руслам. Знать особенности движения их движения в пористой и трещиноватой среде необходимо для того, чтобы вести успешную разработку нефтяных и газовых месторождений.

ПГМ - наука, применяемая не только для решения вопросов рациональной, разработки нефтяных и газовых месторождений. Гидротехнические сооружения (плотины, каналы, шлюзы, водоспуски и др.) проектируют на основе законов движения воды в грунтах. Законы ПГМ лежат в основе расчетов, относящихся к водоснабжению, ирригация, подземной газификации угля и др.

Чтобы успешно решать задачи ПГМ необходимо знание математики, физики, геологии, физики пласта, жидкости и газа и др. наук.

Начало развития ПГМ было положено в середине XIX столетия трудами французского инженера А.Дарси как и всякая наука ПГМ прошла до настоящего времени определенные этапы развития.

Основная литература: 2 [3-5]

Дополнительная литература: 4 [5-13]

Контрольные вопросы:

Что понимается под подземной гидромеханикой?

Кто считается основоположником подземной гидромеханики?

Этапы развития подземной гидромеханики.

Лекция 2. Основные понятия подземной гидромеханики

Под пористой средой подразумевается множества твердых частиц, тесно прилегающих друг другу, сцементированных или несцементированных, пространство между которыми (поры, трещины) может быть заполнено жидкостью и газом.

Фильтрацией называют движение жидкостей, газов и их смесей через твердые тела (вообще говоря, деформируемые) связанные между собой порами или трещинами.

Чрезвычайно малые размеры поровых каналов (единицы и десятки микрометров), их неправильная форма, большая поверхность шероховатых стенок все это создает огромные сопротивления движению жидкости и газа. Эти сопротивления служат главной причиной очень низкой скорости перемещения жидкости и газа в пористой среде.

Если объем пространства, занятого порами, не изменяется так, что его изменениями можно пренебречь, то пористая среда считается недеформируемой. Если же под влиянием упругих сил происходят такие изменения объема порового или трещиноватого пространства, величиной которых пренебрегать нельзя, то среду следует рассматривать как упругую (деформируемую).

В виду того, что поровые каналы имеют неправильную форму и самые разнообразные размеры, невозможно исследовать движение частиц жидкости или газа по всему множеству каналов. С самого начала развития теории фильтрации пошли по пути построения упрощенных моделей реальной пористой среды, называемых идеальными и фиктивными грунтами. Под идеальным грунтом понимается модель пористой среды, поровые каналы которой представляют собой пучок тонких цилиндрических трубок (капилляров) с параллельными осями. Фиктивным грунтом называется модель пористой среды, состоящая из шаров одинакового диаметра.

Одним из важных параметров, характеризующих пористую среду является пористость, измеряемая коэффициентом пористости (m), равного отношению объема пор Vп в некотором элементе пористой среды ко всему объему V данного элемента. Другим параметром пористой среды служит просветность (площадная пористость), измеряемая коэффициентом просветности n, равная отношению площади просветности Fп в некотором сечении пористой среды ко всей площади этого сечения F.

Средняя просветность по пласту равна пористости (=m).

Рассмотрим величину, называемую скоростью фильтрации , под которой понимается объемный расход жидкости (газа) в единицу времени Q через единицу площади поперечного сечения F, т.е.

=?Q/?F (1)

Так как расход (?Q) делится на полную площадь (?F), а не на ее часть, занятую порами, то очевидно, что скорость фильтрации не является действительной средней скоростью движения W в живом сечении фильтрационного потока. Учитывая, что =m, будем иметь:

W=/m (2)

Основная литература: 2 [6-9]

Дополнительная литература: 4 [14-20]

Контрольные вопросы:

Что понимается под фильтрацией?

Коэффициент пористости.

Коэффициент просветности.

Скорость фильтрации.

Лекция 3. Закон Дарси - линейный закон фильтрации. Причины нарушения закона Дарси и пределы его применимости

В середине ХIХ века в результате экспериментального изучения движения воды через песчаные фильтры был установлен закон Дарси - основной закон фильтрации или линейный закон фильтрации. В результате тщательно проведенного эксперимента Анри Дарси получил формулу

Q=kф·F·?H/L (1)

где Q - объемный расход жидкости через песчаный фильтр, длина которого L, а площадь поперечного сечения F, ?H=H1-H2 - разность напоров воды над фильтром и у его основания; kф - коэффициент фильтрации, который зависит от структуры пористой среды и от свойств фильтрующейся жидкости.

Коэффициент фильтрации kф используется обычно в гидромеханических расчетах, где приходится иметь дело с одной жидкостью - водой. При исследовании фильтрации нефти, газа и их смесей необходимо разделить влияние свойств пористой среды и жидкости. В этом случае формула Дарси имеет вид

Q=gF (2)

или =· (3)

где, м - динамический коэффициент вязкости, Па с;

P=сgh, гидростатическое давление, Па;

k - коэффициент проницаемости, .

Проницаемость - способность породы пропускать через себя жидкость, газ или их смеси под воздействием приложенного перепада давления.

Сравнивая (1) и (2), получим:

Kф = kсg/м (4)

Формула (3) носит название линейного закона Дарси.

В процессе исследования пределов применимости закона Дарси показано, что существуют две основные группы причин отклонения от закона Дарси:

1) отклонения, связанные с проявлением инерционных сил при высоких скоростях фильтрации (верхняя граница применимости закона Дарси);

2) отклонения при достаточно малых скоростях фильтрации с проявлением неньютоновских реологических свойств жидкости, ее взаимодействием с твердым скелетом пористой среды (нижняя граница применимости закона Дарси).

Верхнюю границу применения закона Дарси связывают обычно с некоторым критическим (предельным) значением числа Рейнольдса (Reкр):

Reкр=d/

где, d - некоторый характерный размер пористой среды;

W - средняя скорость течения по трубам;

- кинематический коэффициент вязкости флюида (=/с).

Удобную для практики разработки нефтяных и газовых месторождений формулу числа Re предложил В. Н. Щелкачев:

Re= (5)

По В. Н. Щелкачеву критические значения Re, заключены в интервале:

Reкр=0,032ч14.

Нижняя граница применимости закона Дарси связана с проявлением неньютоновских свойств фильтрующихся флюидов, что характеризуется повышенным содержанием в нефти высокомолекулярных компонентов (смол, асфальтенов, парафина и др.). В этом случае предлагается нелинейный закон фильтрации неньютоновских жидкостей, в основе которого лежит модель фильтрации с предельным градиентом, в виде:

, >0,

(6)

где г - предельный (начальный) градиент давления, по достижении которого начинается движение жидкости; при меньших значениях градиента движение отсутствует.

Основная литература: 2 [9-22]

Дополнительная литература: 4 [20-33]

Контрольные вопросы:

Что понимается под проницаемостью пласта?

Линейный закон Дарси.

Число Рейнольдса.



Лекция 4. Нелинейные законы фильтрации

Несмотря на то, что закон Дарси достаточно точно описывает процессы фильтрации, с которыми чаще всего приходится иметь дело на практике, он является, тем не менее, лишь частным выражением общего закона фильтрации. В тех случаях, в которых закон Дарси не имеет силу, общий закон фильтрации называется нелинейным законом.

Формулы, выражающие общий закон фильтрации, можно подразделить на одночленные и двучленные.

Одночленные (степенные) формулы имеют следующий вид:

=C (1)

где, С и n - некоторые постоянные, причем интервал возможных значений n такой: n=1-2.

Так как параметры С и n являются функциями скорости фильтрации, то они не могут приниматься постоянными. Только при условии, что изменения скорости фильтрации малы, допустимо принимать n =const.

Постепенный переход от закона Дарси к нелинейному закону фильтрации и последующая фильтрация по нелинейному закону лучше всего описываются двучленной формулой:

?P/L=A+B (2)

где A и B - некоторые постоянные, которые находятся следующим образом:



A= B=; kp= (3)

где Fс и Fр - площадь просвета сжатых и расширенных частей трубки тока соответственно; Fср - средняя просветная площадь трубки тока; N - число сжатий и расширений в единице трубки тока.

Дифференциальная форма закона Дарси.

Линейный закон Дарси в виде:

= (1)

выведен для пласта с постоянной площадью сечения. Для трубки тока с переменной площадью сечения по длине трубки dS закон записывается в дифференциальной форме.

Выделим два сечения: первое на расстоянии S от начала движения, второе на расстоянии dS от первого (рис.1).

Рис.1. Трубка тока

В сечении с координатой s приведенное давление P(s, t), в сечении с координатой (s+ds) давление P(s+ds, t)=P(s, t)+

Подставляя эти значения давлений в (1), получим:



Или = - (2)

Знак минус появился в правой части (2) потому, что давление уменьшается в направлении движения флюида, т.е. градиент давления ?Р/?S<0.

Если плоскость XY совместить с плоскостью слоя, а координатную ось Z направить перпендикулярно, то закон Дарси можно записать

x= - y= - z= - (3)

Основная литература: 2 [17-22]

Дополнительная литература: 4 [30-33]

Контрольные вопросы:

Нелинейный закон Дарси.

Одночленные формулы фильтрации.

Двучленные формулы фильтрации.

Дифференциальное уравнение движения

Лекции 5, 6. Основные уравнения подземной гидромеханики

Рассматривается процесс, для которого температура флюидов равна температуре пласта (изотермический процесс).

В число дифференциальных уравнений фильтрации входят уравнение баланса массы в элементе пористой среды - уравнение неразрывности, дифференциальное уравнение движения - закон Дарси в дифференциальной форме, а также уравнения состояния флюида и пористой среды.

Уравнение неразрывности потока

Уравнение неразрывности (сплошности) фильтрационного потока для однородного сжимаемого флюида в деформируемой пористой среде представляет собой уравнение баланса массы в элементарном объеме пористой среды.

Математически это выражается следующим образом. Рассматривается прямоугольный параллелепипед со сторонами dx, dy, dz, параллельных осям координат X, Y, Z соответственно. В единицу времени в параллелепипед по направлению по оси X входит масса dy·dz, а с противоположной стороны выходит масса, равная:

За время dt разность (изменение массы флюида между массами, которые входят и выходят в направлении оси X), равна:

-

Для направлений, параллельных осям Y и Z аналогично получим:

- -

Общее изменение массы во всем объеме за время dt равно:

- (1)



С другой стороны, масса флюида рассматриваемого элемента равна . Изменение массы за время dt выражается как

(2)

Приравняв (1) и (2), получим

- (3)

Уравнения состояния флюидов и пористой среды

Закон Дарси в дифференциальной форме и уравнение неразрывности потока содержит плотность с, коэффициент пористости m, коэффициент проницаемости k.

При изотермическом процессе зависимость плотности однородного флюида от давления представляет собой уравнение состояния.

1. При установившейся фильтрации капельной жидкости можно считать ее плотность независящей от давления, т.е. рассматривать жидкость как несжимаемую. Тогда,

с=const. (4)

2. Соотношение между плотностью к давлению для сжимаемой жидкости может быть получено, исходя из уравнения, определяющего коэффициент сжимаемости жидкости вж:

вж= - (5)



где, Vж - начальный объем жидкости.

Если массу рассматриваемого объема жидкости обозначим через М,

то Vж=М/с и =и уравнение (5) принимает вид : вж= откуда после интегрирования получим:

(6)

Природные газы можно считать идеальными, если пластовые давления газовых месторождений невелики (до 6-9 МПа) и депрессия до 1 МПа.

Уравнением состояния идеального газа является уравнение Клайперона-Менделеева

P/с=RT

где, R - газовая постоянная.

Если , а - плотность газа при атмосферном давлении, то уравнение состояния идеального газа принимает вид:

(7)

Для газовых месторождений с высоким пластовым давлениями (до 40-60 МПа), эксплуатирующихся с большими депрессиями (15-30 МПа), используется уравнение состояния реального газа:

(8)



где z - коэффициент сверхсжимаемости газа.

4. Вследствие малой деформации твердой фазы считают обычно, что изменение пористости зависит от изменения давления линейно. Вводя коэффициент объемной упругости пласта , закон сжимаемости породы записывают в виде:

(9)

где - изменение объема пор в элементе пласта, имеющим объем V, при изменении давления на dp. Закон сжимаемости (9) можно записать в виде:

dm=

или m= m+вс (10)

При малых изменениях давления, зависимость проницаемости от давления можно принять линейной

,

а при больших - экспоненциальной

k = ke (11)

где, - коэффициент, определяемый экспериментально, зависит от состава породы.

Основная литература: 2 [39-49]

Дополнительная литература: 4 [44-51]

Контрольные вопросы:

Уравнение неразрывности потока.

Уравнение движения флюида.

Уравнение состояния флюида.

Уравнение состояния породы.

Коэффициент объемного расширения жидкости.

Коэффициент сжимаемости породы.

Лекция 7. Основные типы начальных и граничных условий

Продуктивный пласт или выделенную из него часть можно рассматривать как некоторую область пространства, ограниченную поверхностями - границами. Границы могут быть непроницаемыми для флюидов, например кровля и подошва пласта, сбросы и поверхности выклинивания. Граничной поверхностью является также поверхность, по которой пласт сообщается с областью питания (с дневной поверхностью, с естественным водоемом), это так называемый контур питания; стенка скважины является внутренней границей пласта.

Чтобы получить решение системы уравнений, к ней необходимо добавить начальные и граничные (краевые) условия.

Начальные условия заключаются в задании искомой функции во всей области в некоторый момент, принимаемое за начальное. Например, если искомой функцией является пластовое давление, то начальное условие может иметь вид:

P=P (x, y, z) при t=0, (1)

т.е. в начальный момент времени задается распределение давление во всем пласте.

Если в начальный момент пласт невозмущен, то начальное условие примет вид

P=P = const, при t=0, (2)

Граничные (краевые) условия задаются на границах пласта. Число граничных условий должно быть равно порядку дифференциального уравнения по координатам.

Возможны следующие граничные условия.

На внешней границе Г:

-постоянное давление

P(Г,t) = P = const, (3)

т.е. граница является контуром питания;

-постоянный перетек через границу

, (4)

где n - нормаль к границе Г;

-переменный перетек через границу

(t); (5)

-замкнутая внешняя граница

0; (6)

-бесконечный по простиранию пласт



; (7)

На внутренней границе:

-постоянное давление на забое скважины радиуса

P(r=P; (8)

-постоянный дебит. Это условие при выполнении закона Дарси можно представить следующим образом:

Q = (9)

или r при r=r; (10)

где F=- площадь боковой поверхности скважины, h - толщина пласта;

-переменное давление на забое скважины

P(r при r=r (11)

-переменный дебит

при r=r; (12)

-отключение скважины



0 при r=r; (13)

Основная литература: 2 [49-51]

Контрольные вопросы:

Что понимается под контуром питания?

Начальные условия.

Граничные условия.

дарси фильтрация несжимаемый гидромеханика

Лекции 8, 9. Установившееся движение несжимаемой жидкости по закону Дарси

Дифференциальное уравнение установившейся фильтрации несжимаемой жидкости.

Если жидкость несжимаема, то ее уравнение состояния . Также пористость m=const. Тогда уравнение неразрывности потока примет вид:

(1)

Подставляя в (1) V, V, V, получим

0

или (2)

Расчет основных гидродинамических характеристик одномерного прямолинейно-параллельного фильтрационного потока.

Пусть в горизонтальном пласте постоянной толщины h и ширины В на контуре питания поддерживается постоянное давление P , а на добывающей галерее, отстоящей на расстоянии Lк от контура питания (КП), постоянное давление P. Направляем ось координат ОХ вдоль линии тока, ось OY вдоль КП.

Так как меняется только координата Х, то уравнение (2) принимает вид:

0 (3)

которое, решается при следующих граничных условиях

P=P при x=0;

P=P при x=L (4)

Дважды интегрируя (3) и удовлетворяя условиям (4) получим закон распределения давления в пласте:

P=P - (5)

найдем градиент давления

Тогда скорость фильтрации

= (6)

Дебит галереи определяется выражением



где, F=Bh - площадь поперечного сечения пласта.

с учетом (6) получим, что

(7)

Закон движения частицы жидкости найдем по формуле:

(8)

Разделяя переменные и учитывая (6), получим после интегрирования

(9)

Время полного выбора жидкости из пласта (Т) определяется по (9) при x=L

(10)

Средневзвешенное по объему пластовое давление (Р) найдем по формуле:

(11)



где, V=BhLкm, dV = Bhmdx (12)

(13)

3. Расчет основных гидродинамических характеристик одномерного плоскорадиального фильтрационного потока.

Будем считать, что несжимаемая жидкость притекает к гидродинамически совершенной скважине радиусом r, расположенной в центре однородного горизонтального кругового пласта постоянной толщины h. На внешней круговой границе пласта радиусом r, служащей контуром питания, поддерживается постоянное давление Р, на забое скважине давление Р , тоже постоянно.

Дифференциальное уравнение в этом случае имеет вид:

0 (14)

Введя замену r=после соответствующих преобразований из (14) получим:

= 0 или = 0 (15)

Уравнение (15) будем решать при следующих граничных условиях:

P=P при r = rк ;

P=P при r = r (16)

Дважды интегрируя (15) и учитывая (16), найдем закон распределения давления

(17)

Скорость фильтрации = (18)

Дебит скважины , где - поверхность, через которую происходит фильтрация с учетом (18) будем иметь

(19)

Формула (19) называется формулой Дюпюи.

Отношение дебита скважины Q к перепаду давления ?Р называется коэффициентом продуктивности скважины (К). Из (19)

(20)

Закон движения частицы жидкости найдем из формулы или (21)

Подставив (18) в (21) и производя интегрирование в пределах от 0 до t и от r до r, получим (22)

Время Т полного отбора жидкости из пласта определяется из (22) подстановкой r = r, т. е. (23)

Средневзвешенное по объему порового пространства пластовое давление определяется из соотношения

(24)

где V=

(25)

Подставляя (17) и (25) в (24) и интегрируя полученное выражение в пределах от r до r, получим

(26)

В (26) принято, что r<<r, т. е. r0 .

4. Расчет основных гидродинамических характеристик радиально-сферического фильтрационного потока.

Будем считать, что несжимаемая жидкость притекает к скважине, вскрывшей кровлю однородного пласта весьма большой толщины. Выделим на достаточно удаленной от забоя скважине полусферическую границу радиусом r, на котором сохраняется постоянное давление Р . На забое скважины радиуса r, поддерживается постоянное давление Р .

Дифференциальное уравнение установившейся фильтрации для рассматриваемого потока



=0, (27)

которое после замены r =принимает вид:

0 или =0 (28)

Уравнение (28) решаем при условиях:

P=P при r=r

P=P при r=r (29)

Решая уравнение (28) при условиях (29), найдем

(30)

Далее (31)

где (32)

(33)

(34)

Основная литература: 2 [51-68]

Дополнительная литература: 4 [51-65]

Контрольные вопросы:

Установившаяся фильтрация.

Простейшие фильтрационные потоки.

Средневзвешенное по объему пластовое давление.

Формула Дюпюи.

Индикаторная диаграмма.

Закон движения частицы.

Коэффициент продуктивности скважины.

Лекция 10. Обобщение расчетных формул на случай слоисто-неоднородных и зонально-неоднородных пластов

В природных условиях продуктивные нефтегазосодержащие пласты редко бывают однородные.

Пористая среда называется неоднородной, если ее фильтрационные характеристики - пористость и проницаемость - различны в разных областях.

Нередко встречаются пласты, значительные области которых сильно отличаются друг от друга по фильтрационным характеристикам, так называемые макронеоднородные пласты.

В пластах-коллекторах нефти и газа выделяют следующие основные виды макронеоднородности.

1. Слоистая неоднородность, когда пласт разделяется по толщине на несколько слоев, в каждом из которых проницаемость в среднем постоянна, но отличается от проницаемости соседних слоев. Такие пласты называют также неоднородными по толщине. Вследствие малости кривизны границы раздела между слоями с различными проницаемостями считают обычно плоскими. Таким образом, в модели слоистой пористой среды предполагается, что проницаемость изменяется только по толщине пласта и является кусочно-постоянной функцией вертикальной координаты.

В случае прямолинейно-параллельного потока несжимаемой жидкости в слоисто-неоднородном пласте дебит потока Q всего пласта можно вычислить как сумму дебитов в отдельных пропластках Q:

(1)

Для гидродинамических расчетов иногда бывает удобным заменить поток жидкости в неоднородном пласте потоком в однородном пласте такой толщины h, ширины В и длины L со средней проницаемостью , которая определяется выражением:

(2)

В случае плоскорадиального потока несжимаемой жидкости в слоисто-неоднородном пласте

(3)

и определяется по (2).

2. Зональная неоднородность, при которой пласт по площади состоит из нескольких зон (областей пласта) различной проницаемости. В пределах одной и той же зоны проницаемость в среднем одинакова, но на границе двух зон скачкообразно меняется. Здесь, таким образом, имеет место неоднородность по площади пласта.

В случае прямолинейно-параллельного потока несжимаемой жидкости в зонально-неоднородном пласте дебит потока всего пласта равен:



и (4)

где l - длина i - ой зоны, проницаемость которой k.

Для плоскорадиального потока несжимаемой жидкости в зонально-неоднородном пласте дебит потока всего пласта равен:

и (5)

где r и r - внешний и внутренний радиусы i - ой зоны.

Основная литература: 2 [69-78]

Дополнительная литература: 4 [94-99]

Контрольные вопросы:

Слоистая неоднородность пласта.

Зональная неоднородность пласта.

Средняя проницаемость пласта при слоистой неоднородности.

Средняя проницаемость пласта при зональной неоднородности.

Лекции 11, 12. Интерференция скважин

Явление интерференции (взаимодействия) скважин заключается в том, что под влиянием пуска, остановки или изменения режима работы одной группы скважин изменяются дебиты и забойные давления другой группы скважин, эксплуатирующих тот же пласт. Вновь вводимые скважины взаимодействуют с существующими. Это явление взаимодействия и взаимовлияния скважин называется интерференцией.

Назовем точечным стоком (источником) на плоскости точку, поглощающую (выделяющую) жидкость. Сток (источник) можно рассматривать как центр добывающей (нагнетательной) скважины.

Введем потенциал Ф точечного стока, определяемый по формуле:

(1)

где q=Q/h - дебит скважины-стока, приходящейся на единицу толщины пласта;

r - расстояние от стока до точки пласта, в которой определяется потенциал;

c - постоянное число.

Для точечного источника в формуле (1) дебит q считается отрицательным.

При совместном действии в пласте нескольких стоков (источников) потенциал Ф определяется для каждого стока (источника) по формуле (1). Потенциал, обуславливаемый всеми стоками и источниками, вычисляется путем сложения этих независимых друг от друга значений потенциалов, т. е. или

(2)

где .

1. Приток жидкости в группе скважин в пласте с удаленным контуром питания (КП).

Пусть в горизонтальном пласте толщиной h расположена группа скважин А, А, … А радиусами r, работающих с различными забойными потенциалами , где i = 1,2,…n.

Расстояние между центрами i - ой j - ой скважин известны ( = ). Так как контур питания (КП) находится далеко от скважин, то можно приближенно считать, что расстояние от всех скважин до всех точек КП одно и то же и равно r. Потенциал Ф на КП считается заданным.

Потенциал в любой точке пласта М определяется по формуле (2). Потенциал на забое i - й скважины

(3)

где i = 1,2, … n.

Система (3) состоит n уравнений и содержит (n+1) неизвестных (n дебитов и постоянную интегрирования С). Дополнительное уравнение получим, поместив точку М на контур питания.

(4)

Вычитая численно каждое из уравнений (3) из (4), исключим, постоянную C и получим систему из n уравнений, решив которую, можно определить дебиты скважин q если заданы забойные и контурный потенциалы.

2. Приток жидкости к скважине в пласте с прямолинейным контуром питания (КП)

Пусть в полубесконечном пласте с прямолинейным КП, на котором потенциал равен , работает одна добывающая скважина с забойным потенциалом . Необходимо найти q.

Для решения задачи зеркально отображаем скважину-сток относительно КП и дебиту скважины - отображению (источник) припишем знак минус.

Потенциал в любой точке пласта М:

(5)

Помещая последовательно точку М на стенку скважины (сток) радиуса r и на КП, найдем

(6)

где a - кратчайшее расстояние от скважины стока до КП.

3. Приток жидкости к скважине, эксцентрично расположенной в круговом пласте.

Пусть в плоском пласте постоянной толщины h с круговым КП радиуса r, на котором поддерживается постоянный потенциал , на расстоянии a от центра круга расположена скважина - сток с постоянным потенциалом .

Отобразим скважину-сток фиктивной скважиной-источником относительно КП.

Потенциал в точке М пласта определяем по формуле (5). Помещая точку М на стенку скважины и КП, определяем потенциалы и , после чего находим

(7)



4. Взаимодействие скважин кольцевой батареи

Рассмотрим совместное действие в пласте большой протяженности добывающих скважин, центры которых помещаются так, что скважины-стоки образуют кольцевую батарею радиуса a ( a<).

На КП радиуса потенциал , на стенке всех скважин -.

По формуле (2) потенциал в точке М:

(8)

Помещая точку М поочередно на КП и стенку скважины-стока и пренебрегая значением a по сравнению с , найдем дебит скважины:

(9)

Формула (9) приближенная.

Если величиной a по сравнению с , пренебречь нельзя, то необходимо пользоваться более точной формулой:

(10)

Обозначим дебит скважины, определяемый по формулам (9) или (10) через , а дебит, определяемый по (7) через q.

Коэффициентом взаимодействия (интерференции) I, называют отношение дебита одиночно работающей скважины q к дебиту ее при совместной работе с группой скважин :

(11)

Коэффициентом суммарного взаимодействия U, называют отношение суммарного дебита группы совместно работающих скважин, к дебиту одиночно работающей скважины q:

(12)

Основная литература: 2 [52-96]

Дополнительная литература: 4 [125-155]

Контрольные вопросы:

Явление интерференции скважин.

Источники и стоки

Дебит скважины в пласте с прямолинейным контуром питания.

Дебит скважины эксцентрично размешенной на залежи.

Взаимодействие скважин кольцевой батареи.

Коэффициент взаимодействия скважин.

Коэффициент суммарного взаимодействия скважин.

Лекция 13. Приток жидкости к гидродинамически несовершенным скважинам

Скважина называется гидродинамически совершенной, если она вскрывает продуктивный пласт на всю толщину h и забой скважины открытый, т. е. вся вскрытая поверхность забоя является фильтрующей.

1. Если скважина с открытым забоем вскрывает пласт не на всю толщину h, а только на некоторую глубину b, то ее называют гидродинамически несовершенной по степени вскрытия пласта. При этом называется относительным вскрытием пласта.

Дебит гидродинамически несовершенной по степени вскрытия пласта скважины можно определить по формуле И. Козени:

(1)

2. Если скважина вскрыла пласт до подошвы, но сообщение с пластом происходит только через специальные отверстия в обсадной колонне и цементном камне или через специальные фильтры, то такую скважину называют гидродинамически несовершенной по характеру вскрытия пласта.

3. Нередко встречаются скважины и с двойным видом несовершенства - как по степени, так и по характеру вскрытия пласта.

Дебит скважины гидродинамически несовершенной как по степени, так и по характеру вскрытия пласта можно рассчитать по формуле:

(2)

где - дополнительное фильтрационное сопротивление, вызванное несовершенством скважины по степени вскрытия пласта и по характеру вскрытия .

Величины и определяются по методике В. И. Щурова. Им построены графики зависимости величины от параметров и и величины от трех параметров: , и , где n - число перфорационных отверстий на один метр вскрытой толщины пласта, - диаметр скважины, - глубина проникновения пуль в породу, - диаметр отверстий.

Иногда бывает удобно ввести понятие о приведенном радиусе скважин , т. е. радиусе такой совершенной скважины, дебит которой равен дебиту данной несовершенной скважины:

Тогда формулу (2) можно заменить следующей формулой:

(3)

Иногда гидродинамическое несовершенство скважин учитывается при помощи коэффициента совершенства скважины

(4)

где Q - дебит несовершенной скважины; - дебит совершенной скважины в тех же условиях.

Коэффициент совершенства скважины и величина С связаны между собой зависимостью:

(5)

Основная литература: 2 [96-100]

Дополнительная литература: 4 [207-213]

Контрольные вопросы:

Совершенная скважина.

Несовершенство скважины по степени вскрытия.

Несовершенство скважины по характеру вскрытия.

Приведенный радиус скважины.

Влияние радиуса скважины на ее дебит.



Лекции 14, 15, 16. Установившаяся фильтрация газа в пористой среде

Исследования показали, что хотя при установившейся фильтрации газа и происходит понижение температуры, оно относительно невелико даже при больших перепадах давления. Во многих случаях можно принимать для практических целей, что установившаяся фильтрация газа в пористых породах совершается в условиях изотермического изменения его состояния.

1. Дифференциальное уравнение установившейся фильтрации идеального газа.

Как было сказано ранее, для вывода дифференциального уравнения необходимо совместное решение уравнения неразрывности потока, уравнения движения и уравнения состояния.

Уравнение неразрывности потока:

(1)

Уравнение движения:

(2)

Уравнение состояния идеального газа:

(3)

При установившейся фильтрации идеального газа



= 0 (4)

С учетом (2) - (4) уравнение (1) принимает вид:

= 0

или = 0 (5)

Сравнивая дифференциальное уравнение установившейся фильтрации идеального газа (5) с дифференциальным уравнением установившейся фильтрации несжимаемой жидкости, можно сделать вывод о аналогии, т. е. решения уравнения (5) должны быть аналогичны решениям дифференциального уравнения установившейся фильтрации несжимаемой жидкости. Только вместо Р необходимо брать .

2. Прямолинейно-параллельный поток идеального газа.

Дифференциальное уравнение (5) в этом случае будет иметь вид:

= 0 (6)

Примем граничные условия:

при x=0; при x=L (7)

По аналогии с установившимся движением несжимаемой жидкости решение уравнения (6) при условиях (7) дает закон распределения давления в виде:



или (8)

Скорость фильтрации:

(9)

Дебит галереи, приведенный к атмосферному давлению

(10)

Средневзвешенное по объему пластовое давление

(11)

где , , .

Тогда

После интегрирования получим

(12)

3. Плоскорадиальный фильтрационный поток идеального газа.



Дифференциальное уравнение (5) будет иметь вид:

= 0 (13)

которое решается при следующих граничных условиях

при при (14)

Решение уравнения (13) имеет вид:

(15)

Уравнение (15) представляет собой закон распределения давления в пласте.

Скорость фильтрации

(16)

Дебит газовой скважины, приведенный к атмосферному давлению,

(17)

Средневзвешенное по объему пластовое давление определяется по (11) при . После интегрирования (11) получим, пренебрегая величиной ,



(18)

4. Плоскорадиальный фильтрационный поток реального газа по закону Дарси.

Если пластовое давление выше 10МПа и депрессия не слишком мала (0,9), то уравнение состояния газа значительно отличается от уравнения состояния идеального газа и плотность газа определяется по формуле:

(19)

где z - коэффициент сверхсжимаемости газа. Кроме того, для высоких пластовых давлений нужно учитывать зависимость вязкости от давления

(20)

или при малых изменениях давления

(21)

где µ0 - вязкость при фиксированном давлении;

бµ - коэффициент, определяемый экспериментально и зависящий от состава газа.

Проницаемость пласта принимается постоянной.

Дебит газовой скважины, приведенный к атмосферному давлению,



(22)

Имеется несколько способов вычисления интеграла в формуле (22), наиболее употребляем из которых следующий: по графикам зависимостей и определяются значения переменные и z под знаком интеграла заменяются постоянными, равными , .

Тогда интеграл в формуле (22) вычисляется и (22) принимает следующий вид:

.

Основная литература: 2 [112-127]

Дополнительная литература: 4 [68-74]

Контрольные вопросы:

Какой газ называется идеальным?

Уравнения состояния идеального и реального газов.

Дифференциальное уравнение установившейся фильтрации идеального газа.

Закон распределения давления при фильтрации идеального газа.

Дебит газовой скважины.

Средневзвешенное по объему пластовое давление.

Коэффициент сверхжимаемости.

Зависимость вязкости реального газа от давления.

Дебит газовой скважины при фильтрации реального газа.



Лекция 17. Установившаяся фильтрация газированной жидкости

Если давление в пласте выше давления насыщения (), то весь газ полностью растворен в жидкости и она ведет себя как однородная. При снижении давления ниже из нефти выделяются пузырьки газа. По мере приближения к забою скважины давление падает и размеры пузырьков увеличиваются вследствие расширения газа и одновременно происходит выделение из нефти новых пузырьков газа.

В этом случае мы имеем дело с фильтрацией газированной жидкости, которая представляет собой двухфазную систему (смесь жидкости и выделившегося из нефти свободного газа).

Для каждой фазы вводятся фазовые проницаемости и . Установлено, что фазовые проницаемости зависят главным образом от насыщенности порового пространства жидкой фазой S. Насыщенностью называется отношение объема пор, занятого жидкой фазой ко всему объему в данном элементе пористой среды. В результате опытов построены графики зависимостей относительных фазовых проницаемостей = /k и = /k от насыщенности S (k - относительная проницаемость).

В теории фильтрации газированной жидкости водится понятие газового фактора Г, равного отношению приведенного дебита газа к дебиту жидкости в нормальных условиях

Большинство практических методов расчета движения газированной нефти базируется на результатах исследования установившегося течения, которое рассмотрено С.А. Христиановичем. Им была показана возможность сведения нелинейных задач установившейся фильтрации газированной жидкости к задачам движения однородной несжимаемой жидкости в пористой среде. При этом принимается, что “Г” вдоль линии тока постоянный, а так же и .

Назовем функцией С. А. Христиановича выражение

имеющего размерность давления.

При определении распределении функции С. А. Христиановича и дебита жидкой фазы при установившейся фильтрации газированной жидкости справедливы все формулы, выведенные для однородной несжимаемой жидкости с заменой давления на функцию С. А. Христиановича.

Так для плоскорадиальной установившейся фильтрации газированной жидкости

Основная литература: 2 [228-231]

Дополнительная литература: 4 [75-85]

Контрольные вопросы:

Давление насыщения.

Фазовые проницаемости.

Функции С.А. Христиановича.

Закон распределения функции С.А. Христиановича.

Дебит скважины при фильтрации газированной жидкости.



Лекция 18. Неустановившееся движение упругой жидкости в пористой среде

При пуске скважины в эксплуатацию, при остановке их, при изменении темпа отбора жидкости из скважин в пласте возникают неустановившиеся процессы, которые появляются в перераспределении пластового давления (в падении или росте давления вокруг скважины), в изменениях с течением времени дебитов, скоростей фильтрационных потоков и т. д.

Объем насыщающей пласт жидкости при снижении пластового давления () увеличивается, а объем порового пространства уменьшается; это и определяет вытеснение жидкости из пласта в скважину, что является основой упругого режима.

Хотя коэффициенты сжимаемости воды , нефти и пористой среды очень малы, упругость жидкостей и породы оказывают огромное влияние на поведение скважин и пластов в процессе их эксплуатации, так как объемы пласта и насыщающей его жидкости могут быть очень велики.

Под упругим запасом жидкости в пласте понимается количество жидкости, которое можно извлечь из пласта при снижении давления в нем за счет объемной упругости пласта и насыщающей его жидкости, определяемого по формуле

или (1)

где - объем пласта; - коэффициент упругоемкости; - изменение давления во всех точках пласта.

Дифференциальное уравнение истощения залежи при упругом режиме имеет вид:

(2)

где Q(t) - дебит всех скважин эксплуатирующих данный объект.

Решая совместно уравнение неразрывности потока, уравнения движения и состояния сжимаемой жидкости и пласта, получим дифференциальное уравнение неустановившейся фильтрации упругой жидкости:

= ж (3)

где ж= - коэффициент пьезопроводности, характеризующий темп перераспределения пластового давления в условиях упругого режима.

Основная литература: 2 [128-130]

Дополнительная литература: 4[272-276]

Контрольные вопросы:

Коэффициент объемного расширения жидкости.

Коэффициент сжатия породы.

Коэффициент упругоемкости.

Упругий запас жидкости.

Уравнение истощения залежи.

Лекция 19. Прямолинейно-параллельный неустановившийся поток упругой жидкости

Пуст в полубесконечном горизонтальном пласте постоянной толщины h и ширины В начальное пластовое давление всюду постоянное и равно .

Давление в любой точке потока Х и в любой момент времени t определяется из уравнения (3), которое для рассматриваемого потока будет иметь вид:

= ж (4)

Примем начальные и граничные условия:

при t=0;

при x=0, t >0; (5)

при .

Точное решение уравнения (4) при условиях (5) имеет вид

P=P (6)

где erf x - интеграл вероятности.

Согласно закону Дарси, имеем

(7)

Накопленная к моменту времени t добыча определяется по формуле

Если в таком же полубесконечном пласте в момент времени t = 0 пущена в эксплуатацию галерея с постоянным объемным дебитом

Математически задача заключается в интегрировании уравнения (4) при следующих начальных и граничных условиях:

при t=0

при x=0 (8)

при

В этом случае давление в любой точке истока определяется по формуле:

(9)

Закон изменения давления на галерее определяется из (9) подстановкой граничного условия при 0. Получим

или (10)

Основная литература: 2 [131-143]

Дополнительная литература: 4 [277-283]

Контрольные вопросы:

Дифференциальное уравнение упругого режима.

Коэффициент пьезопроводности.

Дебит галереи в полубесконечном пласте.

Накопленная добыча при упругом режиме.



Лекция 20. Плоскорадиальный фильтрационный поток упругой жидкости

Пусть в неограниченном горизонтальном пласте постоянной толщины h имеется скважина нулевого радиуса (точечный сток). В момент времени t = 0 скважина пущена в эксплуатацию с постоянным дебитом .

Распределение давления в пласте Р(r,t) определяется интегрированием уравнения (3), которое для плоскорадиального движения запишется в виде

(11)

Начальные и граничные условия таковы:

при t=0

при (12)

при r=0, t >0.

Точное решение уравнения (11) при условиях (12) имеет вид:

(13)

где - интегральная показательная функция.

Формула (13) получила название основной формулы теории упругого режима фильтрации.

При малых значениях интегральная показательная функция

Тогда изменение давления на стенке скважины, определенное из (13) при будет:

(14)

Если в полубесконечном пласте работает n скважин, снижение давления в любой точке пласта М определяется с помощью метода суперпозиции по формуле:

(15)

где - дебит i - ой скважины (при этом дебит добывающей скважины считается положительным, дебит нагнетательной - отрицательным; - расстояние от центра i - ой скважины до точки М; - время с начала работы i - ой скважины до момента времени t, в которой определяется понижение давления.

Основная литература: 2 [133-150]

Дополнительная литература: 4 [277-283]

Контрольные вопросы:

Коэффициент пьезопроводности.

Основная формула теории упругого режима.

Интерференция скважин при упругом режиме.

Изменение давления на стенке скважины.



Лекция 21, 22. Приближенные методы решения задач теории упругого режима

Метод ПССС.

Плоско-параллельный поток.

А. В момент времени t=0 в горизонтальном пласте постоянной толщины h и ширины B пущена в эксплуатацию галерея с постоянным забойным давлением. До пуска галереи во всем пласте .

Требуется найти распределение давления, закон перемещения границы возмущенной области l(t) и изменение дебита галереи во времени Q(t).

Дебит галереи при установившемся процессе

(1)

Воспользуемся уравнением материального баланса

(2)

где , (3)

Подставляя (1) в (2) с учетом (3), получим

(4)

После интегрирования (4) будем иметь:



или (5)

Распределение давления в возмущенной зоне

(6)

с учетом (5) имеем

(7)

Дебит галереи ,

(8)

Погрешность не превосходит 11%

B, в том же пласте, как и в случае А, пущена галерея с постоянным дебитом.

В этом случае уравнения (2) с учетом (1) принимает вид:

(9)

или

интегрируя , получим, откуда (10)

Распределение давления из (6) с учетом (1)

,

(11)

значение определяется из (11) при х=

(12)

погрешность до 25%.

Плоскорадиальный поток

Пусть в неограниченном горизонтальном пласте постоянной толщины h в момент времени t=0, пущена добывающая скважина радиуса rс постоянным дебитом Q. До пуска скважины во всем пласте .

Через время t после пуска скважины вокруг нее образуется возмущенная область радиуса r где давление в соответствии с ПССС будет распределяться по стационарному закону

(13)

Дебит скважины

(14)

Размеры возмущенной области



(15)

Т. к. то (16)

Подставив (15) и (16) в уравнение материального баланса (2), получим

или

откуда (17)

Подставляя (17) в (13), будем иметь

(18)

Давление на скважине определяют из (8) при r=rc:

(19)

погрешность 10%.

2. Метод А. М. Пирвердяна.

В отличие от ПССС распределение давления в возмущенной области по методу А.М. Пирвердяна задается в виде квадратной параболы.

Рассматривается плоско-параллельный неустановившийся поток упругой жидкости.

А. Рассмотрим случай постоянного дебита Q=const.

Уравнение распределения давления в возмущенной области

(20)

Дебит галереи

(21)

Градиент давления из (20)

тогда (22)

Средневзвешенное по объему пластовое давление

тогда (23)

Уравнение материального баланса примет вид:

откуда (24)

Интегрируя (24) в пределах от 0 до t и от 0 до l получим



(25)

Распределение давления в возмущенной области

, 0 < x,

Давление на галерее определяется при

(26)

погрешность 9%, т. е. в 2,5 раза меньше, чем при

B. Рассмотрим случай, когда .

Уравнение материального баланса в этом случае принимает вид (с учетом (22) и (23))

или откуда (27)

Распределение давления в возмущенной области:

(28)



Дебит галереи (29) погрешность около 2,5 %.

Основная литература: 2 [151-162]

Контрольные вопросы:

Сущность метода ПССС.

Закон перемещения внешней границы возмущенной области при постоянном дебите.

Закон перемещения внешней границы возмущенной области при Рг = const.

Сущность метода А.М. Пирвердяна.

Закон перемещения внешней границы возмущенной области по методу А.М. Пирвердяна.

Лекция 23. Неустановившееся движение газа в пористой среде

Для вывода дифференциального уравнения неустановившейся фильтрации идеального газа в уравнении неразрывности потока подставляются выражения для компонента скорости фильтрации и уравнения состояния идеального газа.

Считая коэффициенты пористости m, проницаемости k и вязкости газа постоянными получим

, (1)

где



Рассмотрим конкретную задачу о притоке газа в скважину, расположенную в пласте бесконечной протяженности с постоянной толщиной h.

Дифференциальное уравнение (1) в данном случае имеет вид:

(2)

которое решается при начальном и граничном условиях:

при t=0

при 0 (3)

Введем условие на забое скважины - Q= const массовый дебит.

Q

Откуда (4)

Проводя аналогию между неустановившейся фильтрацией упругой жидкости и идеального газа делаем вывод, что все соотношения для идеального газа давление входит в квадрате, коэффициент пьезопроводности для жидкости заменяется на для газа, коэффициент В остальном все соотношения аналогичны.

Тогда решение уравнения (2) при условии (3) и (4) имеет вид

(5)

Изменим давление на забое скважины (при r= rc)

(6)

Основная литература: 2 [170-184]

Дополнительная литература: 4 [303-310]

Контрольные вопросы:

Дифференциальное уравнение фильтрации газа.

Аналогия между неустановившейся фильтрацией упругой жидкости и идеального газа.

Определение давления на стенке газовой скважины при постоянном дебите.

Лекция 24. Решение задачи о притоке газа к скважине методом ПССС

В любой момент времени возмущенной областью является круговая область радиусом r(t) внутри которой давление распределяется по стационарному закону:

(1)

Вне возмущенной области при r>r(t). (2)

В возмущенной области принимается

при (3)

(4)

Из (10.18) (5)

Подставив (5) в (1), получим

(6)

Для нахождения r(t) составим уравнение материального баланса.

Начальный запас газа (при ) в зоне радиуса r(t)

(7)

Текущий запас газа

(8)

где (9)

т.к. отбор газа происходит с постоянным дебитом, то или с учетом (10.21), (10,22) и (10.23) находим:



откуда

или (10)

Подставляя (10) в (6) получим

(11)

(12)

Основная литература: 2 [185-187]

Контрольные вопросы:

Сущность метода ПССС

Уравнение материального баланса.

Начальный запас газа.

Текущий запас газа.

Закон перемещения внешней границы возмущенной области при постоянном дебите газовой скважины.

Лекция 25. Приближенное решение задач об отборе газа из замкнутого пласта

Пусть в центре замкнутой круговой залежи радиуса находится скважина радиуса . Начальное пластовое давление равно .

Рассматриваются два случая:

а) отбор производится с постоянным дебитом ;

б) забойное давление сохраняется постоянным.

Обе задачи решаются методом ПССС, т.е. с использованием законов стационарной фильтрации газа и уравнения истощения залежи. Это последнее уравнение - уравнение материального баланса - заключается в том, что количество газа, извлеченного из пласта за некоторый промежуток времени, равно уменьшению запасов газа в пласте, так кА пласт ограничен, то запасы ограничены и не пополняются извне.

Если - плотность идеального газа, соответствующая средневзвешенному давлению в пласте , а - объем порового пространства пласта, принимаемый постоянным, то уменьшение запасов газа за бесконечно малый промежуток времени запишется в виде:

(1)

отобранная масса газа за тот же промежуток времени (2)

Приравнивая (1) и (2), получим дифференциальное уравнение истощения газовой залежи:

(3)

Для установившейся плоскорадиальной фильтрации газа очень мало отличается от давления на границе замкнутого пласта .

Поэтому принимая , получим



(4)

Рассмотрим случай а) когда .

При этом (5)

Интегрируя (5), учитывая, что при t=0, получаем

(6)

Из формулы дебита скважины (7)

можно выразить забойное давление: (8)

С учетом (6) находим

(9)

В случае б) для определения зависимости от t подставим (7) в (4) и разделим переменные:

(10)

Интегрируя (10) от 0 до t и от до , получим



(11)

Основная литература: 2 [185-186]

Дополнительная литература: 4 [306-315]

Контрольные вопросы:

Уравнение материального запаса.

Изменение запасов газа.

Забойное давление при постоянном дебите.

Изменение давления на верхней границе пласта при постоянном забойном давлении.

Лекции 26, 27. Взаимное вытеснение жидкостей

Задачи о движении границы раздела двух жидкостей в пористой среде представляют большой теоретический и практический интерес.

При разработке нефтяных месторождений в условиях водонапорного режима наблюдается стягивание контура нефтеносности (КН.) под напором краевой воды.

Кинематические условия на подвижной границе раздела при взаимном вытеснении жидкостей.



Основная трудность точного решения задачи о движении границы раздела двух жидкостей в пористой среде заключается в том, что линии тока на границе раздела жидкостей преломляются.

Пусть кривая I-I (рис. 1) является границей раздела двух жидкостей с вязкостями и , и пусть, например, > (нефть вытесняется водой). Рассмотрим произвольную точку М границы I-I и проведем через нее касательную и нормаль к границе раздела жидкостей I-I. Найдем проекции скоростей фильтрации воды и нефти, находящихся в данный момент в точке М, ее касательную и нормаль, считая проницаемость пористой среды k постоянной по обе стороны границы раздела.

Согласно условию неразрывности потока массы элементарные расходы обеих несжимаемых жидкостей через элемент границы раздела, включающий точку М, должны быть равны между собой. Отсюда следует, что нормальные составляющие скоростей фильтрации обеих жидкостей будут равны, т.е. . Давление в пласте в точке М также должно быть одинаково для обеих жидкостей, так как при малых скоростях (ниже звуковых) разрыва давления в сплошном потоке быть не может.

Касательные составляющие скоростей фильтрации обеих жидкостей будут определяться по закону Дарси:

(1)

(2)

Так как >, то из (1) и (2) получаем, что . Отсюда следует, что результирующий вектор скорости фильтрации касательный к линии тока АМ, будет больше вектора , касательного к линии тока нефти МВ. Следовательно, линии тока АМ и МВ, проходящие через точку М, будут иметь излом в точке М. Учет этого преломления линий тока на границе раздела жидкостей и составляет главную трудность в точном решении задачи продвижения границы раздела.

Лини тока не будут преломляться только в двух случаях - при прямолинейно-параллельном и плоскорадиальном движениях границы раздела, когда Эти задачи прежде всего и будут рассмотрены в данной главе. При этом жидкости (нефть и вода) считаются несжимаемыми, взаимно нерастворимыми и химически не реагирующими одна с другой и с пористой средой. Вытеснение нефти водой предполагается происходящим полностью - так называемое поршневое вытеснение.

2. Прямолинейно-параллельное вытеснение нефти водой (рис. 2)

при x=0; при x=L; начальное положение ВНК.

текущее положение. Примем, т.е. граница нефть-вода - вертикальная.

Распределение давления и скорость фильтрации в водоносной и нефтеносной областях:

0 (3)

(4)

(5)

(6)

Из условия, что имеем откуда