Расчет на прочность вращающихся дисков машин

Размещено на http://www.allbest.ru/

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ИНЖЕНЕРНОЙ ЭКОЛОГИИ

КАФЕДРА "СИСТЕМЫ АВТОМАТИЗИРОВАННОГО ПРОЕКТИРОВАНИЯ"

РАСЧЕТ НА ПРОЧНОСТЬ

ВРАЩАЮЩИХСЯ ДИСКОВ МАШИН

Л.Д. ЛУГАНЦЕВ

Москва 2005

ВВЕДЕНИЕ

Вращающиеся диски являются ответственными конструктивными элементами многих машин (компрессоров, турбокомпрессоров, распылительных сушилок, турбин и др.), используемых в химической промышленности и смежных отраслях народного хозяйства. Прочность дисков во многом определяет возможность получения высоких параметров работы машины, обеспечения необходимого срока службы.

Основными нагрузками, действующими на диски, являются центробежные силы, возникающие при вращении. Неравномерный нагрев дисков приводит к появлению температурных напряжений, которые могут оказаться существенными. Основная задача при расчете дисков машин на прочность заключается в определении напряжений и деформаций от центробежных сил и неравномерного нагрева. При значительном перепаде температуры необходимо учитывать изменение по радиусу диска механических и физических характеристик материала. Для стали, например, при повышении температуры от 20 до 500°С модуль упругости снижается на 40 %.

Равномерно нагретые по толщине, симметричные относительно плоской срединной поверхности диски работают в условиях плоского напряженного состояния. Такие диски достаточно рассчитывать на растяжение. В дисках сложной формы с изогнутой срединной поверхностью при неравномерном нагреве и осевых нагрузках возникают напряжения изгиба. Кроме того, в дисках могут возникать напряжения кручения за счет передаваемого диском крутящего момента. Напряжения изгиба и кручения обычно имеют второстепенное значение и могут быть определены независимо от напряжений растяжения.

Диски постоянной толщины встречаются редко, однако замкнутые решения, полученные для них, необходимы для контроля расчетов и обоснования результатов, определяемых при использовании численных методов.

При проектировании дисков машин конструктор использует свой опыт, создавая новую или модернизируя известную конструкцию, а затем осуществляет проверочный расчет диска на прочность. Итерационный характер процесса проектирования предопределяет многократное повторение расчетов и требует значительных затрат времени при выборе наилучшего варианта конструкции. Оперативное решение трудоемких задач анализа напряженно-деформированного состояния дисков машин, достоверная и надежная оценка их прочности с учетом конкретных условий работы, поиск оптимальных проектных решений возможны лишь с помощью современной вычислительной техники, которая в настоящее время располагает различными техническими средствами и почти неограниченными возможностями для выполнения работ, связанных с численными расчетами и логической обработкой информации, Вычислительная машина становится незаменимым инструментом для конструктора, открывает большие возможности при новых разработках. До применения ЭВМ искусство инженера заключалось в основном в максимальном упрощении задачи, выявлении и отбрасывании тех факторов, которые не оказывают существенного влияния на рассматриваемую конструкцию. Численные расчеты при создании новых образцов техники составляли небольшую часть общего объема работ и сводились к приближенным решениям. Задача решалась в основном при помощи эксперимента, что требовало больших затрат труда, времени и материальных средств. В настоящее время искусство исследователя состоит в том, чтобы наиболее полно и точно охарактеризовать рассматриваемый объект с учетом всех факторов, отказаться при составлении расчетной модели от многих упрощений и допущений, которые ранее казались естественными и неизбежными, и дать строгое математическое описание изучаемого явления. Современная вычислительная техника позволяет учесть в расчетах реальные условия работы конструкции, неравномерный нагрев ее элементов, изменение толщины, зависимость упругих характеристик материала от температуры, неоднородность напряженного и деформированного состояний и многие другие факторы.

Традиционные методы расчета не всегда удовлетворяют повышенным требованиям к точности и достоверности результатов и в новых условиях становятся малоэффективными. Попытки реализовать в программах для ЭВМ отработанные ранее в инженерной практике расчетные методики, ориентированные на ручное решение, не вносят ничего принципиально нового в процесс проектирования и не могут дать качественных сдвигов в совершенствовании этого процесса.

Возникает необходимость в разработке новых математических моделей, численных методов и алгоритмов решения инженерных задач, наиболее полно отражающих реальные условия работы элементов конструкций, учитывающих возможности современных ЭВМ и позволяющих достичь новых рубежей точности, универсальности, степени полноты и надежности получаемых результатов. Актуальной становится задача машинной реализации этих методов и алгоритмов в виде программ автоматизированного расчета конструкций на ЭВМ. Вычислительная машина становится средством изучения явлений, и возникает новый метод исследования - машинный анализ.

Применение методов машинного анализа и ЭВМ дает наибольший эффект, когда от автоматизации решения отдельных инженерных задач переходят к комплексной автоматизации процесса проектирования на основе создания и использования систем автоматизированного проектирования (САПР). Применение таких систем позволяет существенно повысить технический уровень и качество проектных решений, сократить сроки разработки и освоения новых машин.

Основное преимущество и высокая эффективность САПР обусловлены, прежде всего, тем, что с их помощью становится возможным оптимальное проектирование машин, т.е. поиск наилучшего в определенном смысле варианта проектного решения среди множества возможных. Именно за счет оптимизации конструкций путем синтеза и анализа математических моделей может быть получен наибольший эффект при разработке и внедрении новой техники.

Создание САПР является исключительно сложной, трудоемкой и многогранной задачей и заключается, прежде всего, в разработке специального программного обеспечения, которое имеет модульную структуру и включает в себя комплексы пакетов прикладных программ целевого назначения. От уровня специального программного обеспечения определяющим образом зависят возможности САПР при решении проектных задач. В связи с этим разработка численных методов расчета и оптимального проектирования на основе математических моделей высокого уровня и их машинная реализация в виде программ блочно-модульной структуры приобретает еще большее значение.

В данном курсе лекций рассматривается задача о расчете на прочность вращающихся неравномерно нагретых дисков машин, строится математическая модель их напряженно-деформированного состояния, излагается численный метод решения задачи, строится машинный алгоритм расчета. Поясняется структура и функционирование программы автоматизированного расчета дисков на ЭВМ ЕС и составляющих ее модулей. Приводятся примеры численного расчета конструкций. Рассматривается задача оптимального проектирования дисков.

машина диск вращающийся прочность

1.ПОСТРОЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ ВРАЩАЮЩИХСЯ НЕРАВНОМЕРНО НАГРЕТЫХ ДИСКОВ

1.1 Постановка задачи

Рассмотрим диск переменной толщины с центральным отверстием, симметричный относительно срединной плоскости. Материал диска изотропный, упругий. Диск нагрет до температуры , переменной по радиусу и постоянной по толщине, и вращается с угловой скоростью . Закон изменения температуры и зависимость модуля упругости , коэффициента Пуассона и коэффициента линейного расширения материала диска от температуры предполагаем известными. Располагая этими данными, можно получить законы изменения величин , и по радиусу диска: , , .

Расчетная схема диска, представлена на рис.1.1.

Рис.1.1. Расчетная схема диска

При вращении диска возникают массовые силы инерции, распределенные по его объему и направленные по радиусу от центра. Интенсивность этих сил является функцией радиуса и равна произведению плотности материала диска на величину центростремительного ускорения , т.е. .

Воздействие на диск присоединенных к нему по наружной поверхности лопаток и узлов их крепления может быть представлено инерционной радиальной нагрузкой. Ввиду того, что обычно число лопаток велико, будем считать эту нагрузку равномерно распределенной по наружной поверхности. Обозначим интенсивность этой нагрузки через .

В результате посадки диска на вал с натягом (напомним, что под натягом понимают разность диаметров вала и отверстия) на поверхностях контакта возникают силы давления. Предположим, что эти силы равномерно распределены по контактным поверхностям; интенсивность их обозначим через и назовем контактным давлением. Величина контактного давления зависит от величины натяга угловой скорости вращения диска .

В основу расчета диска положим два допущения. Согласно первому принимаем равномерное распределение напряжений по толщине диска. Согласно второму допущению предполагаем, что напряжения в плоскостях, параллельных срединной плоскости, отсутствуют. Это позволяет считать напряженное состояние всех точек диска двухосным.

Эти допущения были обоснованы путем сопоставления приближенного решения с точным, полученным для некоторых частных случаев, и справедливы при условии, что отношение внешнего диаметра диска к его наибольшей толщине больше 4.

Учитывая первое допущение, заключаем, что в рассматриваемой постановке напряжения, деформации и перемещения в диске являются функциями только радиуса.

Переходим к решению задачи.

1.2 Уравнение равновесия элемента диска

Выделим из диска элемент в форме криволинейного шестигранника (рис. 1.2). В радиальных сечениях по условиям симметрии касательные напряжения отсутствуют, и возникают лишь нормальные напряжения, которые называются кольцевыми или окружными и обозначаются . Таким образом, площадки, лежащие в радиальных сечениях, являются главными.

Рис.1.2 Элемент диска

Учитывая, что напряженное состояние диска является плоским (см. второе допущение), заключаем, что площадки, лежащие в окружных сечениях, также являются главными. Нормальные напряжения в этих сечениях называются радикальными и обозначаются .

Помимо радиальных и кольцевых внутренних сил к рассматриваемому элементу приложена еще и объемная сила где объем элемента.

Внутренние силы, возникающие в сечениях диска приводим к его срединной плоскости. В окружном сечении получаем радиальное усилие интенсивности

на единицу длины окружного сечения срединной плоскости (рис.1.3). В радиальном сечении получаем кольцевое усилие интенсивности на единицу длины радиального сечения

Рис.1.3. Внутренние

усилия в дискесрединной плоскости.

Проектируя силы, действующие на элемент диска, на радиальное направление, получим следующее уравнение равновесия:

откуда, учитывая, что и обозначая , устанавливаем, что

(1.1)

Остальные уравнения равновесия для элемента выполняются тождественно. Параметр называют динамическим коэффициентом.

В уравнение равновесия (1.1) входят две неизвестных величины и , поэтому задача определения внутренних усилий в диске является статически неопределимой. Для решения ее необходимо рассмотреть деформации.

1.3 Деформации элемента диска

Рассмотрим элемент диска до и после деформации (рис.1.4). Перемещения точек диска по условиямсимметрии будут происходить в радиальных направлениях, радиальное перемещение точек на радиусе обозначим через . Тогда радиальное перемещение точек на радиусе будет . За положительное направление для примем направление от оси диска. Обозначим через и относительные деформации в диске в радиальном и кольцевом направлениях и выразим их через перемещение .

Рис.1.4 Перемещения точек элемента диска

Очевидно, что радиальная деформация

(1.2)

а кольцевая деформация

(1.3)

1.4 Связь между деформациями и внутренними усилиями в диске

Три независимых уравнения (1.1) - (1.3) содержат пять неизвестных величин: , , , , . Недостающие два уравнения получаем, рассматривая обобщенный закон Гука для материала диска. Поскольку напряженное состояние является двухосным, деформации и напряжения связаны следующими зависимостями:

(1.4)

(1.5)

где - температурная деформация, обусловленная нагревом диска на ; - начальная температура равномерно нагретого диска (обычно принимают ). Температурная деформация определяется по формуле:

(1.6)

Переходя в уравнениях (1.4) и (1.5) от напряжений и к усилиям и , получаем

(1.7)

(1.8)

1.5 Разрешающая система уравнений для диска с центральным отверстием

Уравнения (1.1) - (1.3), (1.7), (1.8) позволяют получить полное решение задачи о расчете напряженно-деформированного состояния диска. Примем в качестве основных неизвестных радиальное перемещение и радиальное усилие и преобразуем эти уравнения, исключив из них величины , , .

Из уравнений (1.7) и (1.8) следует, что

(1.9)

(1.10)

Подставляя соотношение (1.10) в уравнение (1.1), получаем

(1.11)

Заменяя в уравнениях (1.9) и (1.11) и их выражениями (1.2) и (1.3), получаем систему линейных дифференциальных уравнений первого порядка относительно и :



В общем случае систему (1.12) интегрируем численным методом с применением ЭВМ. Постоянные интегрирования определяем из граничных условий на внутреннем и наружном контурах диска.

Через величины и , определяемые из системы (1.12), можно выразить остальные параметры, характеризующие напряженно-деформированное состояние диска:

(1.13)

1.6 Граничные условия

В случае, когда величина контактного усилия на внутреннем контуре диска задана, граничное условие можно записать в следующей форме:

(1.14)

где , - радиальное усилие и толщина диска на внутреннем контуре.

При установке диска на вал с натягом величина контактного давления зависит от величины натяга , угловой скорости вращения , неравномерного нагрева диска и заранее неизвестна. Запишем уравнение совместности перемещений контактных поверхностей диска и вала:

(1.15)

где и радиальные перемещения точек поверхностей контакта диска и вала соответственно. Эти перемещения считаются положительными, если они направлены от центра.

Радиальные перемещения точек поверхности вала определяются выражением

(1.16)

где - перемещения точек поверхности вала за счет контактного давления;

- температурная деформация вала; - коэффициент линейного расширения материала вала; - температура нагрева вала; - начальная температура вала (обычно ).

Перемещения точек посадочной поверхности вала за счет контактного давления можно найти по формуле

(1.17)

где , - модуль упругости и коэффициент Пуассона материала вала; - коэффициент, зависящий от отношения длины посадочной поверхности к диаметру вала; численное значение можно определить по формулам

при ;

при .(1.18)

Подставляя выражения (1.16) и (1.17) в уравнение (1.15) и принимая во внимание, что контактное давление связано с радиальным усилием на внутреннем контуре диска соотношением (1.14), получаем

;(1.19)

где

(1.20)

Соотношение (1.19) служит граничным условием в случае посадки диска на вал с натягом.

Если контактное давление между валом и внутренней поверхностью диска отсутствует (например, образуется зазор), граничное условие на внутреннем контуре диска принимает вид:

(1.21)

В общем случае граничное условие на внутреннем контуре диска можно записать в форме

,(1.22)

где , , заданные коэффициенты.

Граничное условие (1.14) можно получать из общего выражения (1.22) при , , . В случае посадки диска на вал с натягом , , . Граничное условие (1.21) получим из выражения (1.22) при , . Граничное условие на наружном контуре диска :

,(1.23)

где и - радиальное усилие и толщина диска при , - интенсивность инерционной радиальной нагрузки, распределенной по наружной поверхности диска.

Совокупность уравнений (1.12), (1.13) и граничных условий (1.22), (1.23) является математической моделью напряженно-деформированного состояния вращающегося неравномерно нагретого диска с центральным отверстием.

1.7 Сплошной диск

Уравнения (1.12) остаются справедливыми и для сплошного диска (без центрального отверстия) кроме точки . Найдем производные в центре диска, полагая, что они непрерывны в этой точке.

Разложим функцию в ряд по степеням в окрестности точки :

.(1.24)

По условиям симметрии , следовательно, .

Подставляя разложение (1.24) в выражения (1.2) и (1.3), получаем

,(1.25)

,(1.26)

Из выражений (1.25), (1.26) следует, что величины , , принимают в центре диска одно и то же значение:

.(1.27)

Выразим усилия и через деформации и , воспользовавшись соотношениями (1.7) и (1.8):

,(1.28)

.(1.29)

Подставляя в выражения (1.28) и (1.29) разложения (1.25) и (1.26), находим

(1.30)

(1.31)

Из выражений (1.30) и (1.31) вытекает, что усилия и принимают в центре диска одно и то же значение :

(1.32)

где , , , - значения соответствующие параметров при .

Из выражений (1.27) в (1.32) находим

(1.33)

Найдем производную из выражения (1.30):

(1.34)

Полагая, что в центре диска производные , , обращаются в нуль, находим значение производной в этой точке:

(1.35)

Уравнение (1.1) можно записать в следующем виде:

(1.36)

Подставляя в уравнение (1.36) выражения (1.30) и (1.31), получаем

,(1.37)

откуда

.(1.38)

Сопоставляя выражения (1.35) и (1.38), заключаем, что .

Таким образом, в центре диска

,

(1.39)

Расчет сплошного диска сводится к интегрированию системы (1.12), при этом производные и в точке определяем по формулам (1.39). Для определения постоянных интегрирования служат граничные условия:

,

(1.40)

Отметим, что граничное условие в точке можно получить из общего выражения (1.22) при , . Параметры, характеризующие напряженно-деформированное состояние в сечениях диска при , находим по формулам (1.13). Напряжения и деформации в центре диска определяем по формулам:

,

(1.41)

Уравнения (1.12), (1.13), (1.39), (1.41) и граничные условия (1.40) составляют математическую модель напряженно-деформированного состояния вращающегося сплошного неравномерно нагретого диска.

2. РАСЧЕТ ДИСКОВ ПОСТОЯННОЙ ТОЛЩИНЫ

Для дисков постоянной толщины при , можно получить замкнутое решение задачи.

2.1 Диск с центральным отверстием

При решении системы уравнений (1.1) - (1.3), (1.7), (1.8) применяем метод начальных параметров. Согласно этому методу постоянные интегрирования выражаем через начальные параметры и - радиальное перемещение и радиальное усилие, соответствующие внутреннему контуру диска.

(2.1)

Подставляя выражение (2.1) в уравнение (1.1), получаем

.(2.2)

Интегрируя уравнение (2.2) в промежутке от до текущего значения , находим

, (2.3)

.(2.4)

Подставляем выражение (2.3) в первое уравнение системы (1.12):

(2.5)

Принимая во внимание, что , получаем

(2.6)

Интегрируем уравнение (2.6) в промежутке от  до :

(2.7)

Подставляя в уравнение (2.7) выражение (2.4) для , получаем

(2.8)

Подставляя выражение (2.8) в уравнение (2.3), находим

(2.9)

Введем обозначения: и

, ,

, ,

, .

Тогда уравнения (2.8) и (2.9) можно записать в следующем виде:

,

(2.10)

Уравнения системы (2.10) являются основными при расчете дисков постоянной толщины с нейтральным отверстием. Начальные параметры , определяем из граничных условий (1.22), (1.23).

Функции , , , ,, называются сопровождающими функциями для диска. Их числовые значения для приведены в приложении.

2.2 Сплошной диск

Основные уравнения для диска без центрального отверстия получаем из уравнений (2.8) и (2.9), выполняя в этих уравнениях предельный переход при и принимая во внимание, что для сплошного диска , .

Предварительно находим, используя соотношение (1.33),

(2.11)

Переходя к пределу при в уравнениях (2.8) и (2.9), получаем с учетом выражения (2.11):

,(2.12

.(2.13)

Уравнения (2.12) и (2.13) является основным при расчете сплошных дисков. Они содержат только один начальный параметр , который можно определить из граничного условия на наружном контуре диска:. Из этого условия с учетом выражения (2.13) находим

.(2.14)

Напряжения и деформации в сечениях диска при находим по формулам (1.13), в центре диска - по формулам (1.41).

Рассмотрим более подробно случай, когда неравномерный нагрев диска отсутствует . В этом случае , .

Подставляя значение начального параметра в уравнения (2.12) а (2.13), находим

,(2.15)

.(2.16)

Подставляя выражения (2.15) и (2.16) в уравнение (1.13) для кольцевого усилия при , получаем

.(2.17)



Рис.2.1 Графики напряжений во вращающемся сплошном диске при отсутствии нагрева

Формулы для напряжений в диске имеют вид:

,(2.18)

.(2.19)

Графики напряжений, построенные по зависимостям (2.18) и (2.19), приведены на рис.2.1. Наибольшие напряжения возникают в центре диска

.(2.20)

2.3 Пример расчета диска с центральным отверстием

Выполним расчет диска постоянной толщины по следующим данным:

- наружный радиус диска ;

- радиус центрального отверстия ;

- плотность материала диска ;

- модуль упругости и коэффициент ;

Пуассона материала диска ;

- угловая скорость вращения диска .

Диск установлен на вал с натягом .

Неравномерный нагрев диска отсутствует: .

Интенсивность инерционной радиальной нагрузки, распределенной по наружной поверхности диска, .

Механические характеристики материала вала и диска одинаковы.

Расчет диска выполняем по уравнениям (2.10).

Динамический коэффициент .

Температурная деформация .

Начальные параметры и определяем из граничных условий (1.19) и (1.23). Коэффициенты и находим по формулам (1.18) и (1.20). Принимая во внимание, что в данном случае , получаем

,

.

Граничное условие (1.19) принимает вид:

.(2.21)

Из граничного условия (1.23) с учетом выражения (2.10) для при и получаем

.(2.22)

Подставляя в выражение (2.22) значения сопровождающих функций , , из таблицы, приведенной в приложении, получаем следующее уравнение:

.

Решая систему уравнений (2.21) и (2.23), находим

,

.

Дальнейший расчет выполняем по формулам (2.10) и (1.13) при для ряда кольцевых сечений диска. Значения сопровождающих функций принимаем по таблице, приведенной в приложении. Результаты расчета сводим в табл.2.1.

Таблица 2.1

Результаты расчета диска

,		,	,	,	,	,
50	1	0,0493	-420	19594	-4,20	195,24	-3,15	9,86
75	0,66	0,0467	4729	13862	47,29	138,62	0,29	6,22
100	0,50	0,0489	6146	11629	61,46	116,29	1,33	4,89
125	0,40	0,0527	6374	10348	63,74	10З,48	1,69	4,22
150	0,33	0,0568	6044	9391	60,44	93,91	1,61	3,79
175	0,29	0,0606	5372	8541	53,72	85,41	1,40	3,46
200	0,25	0,0636	4449	7710	44,49	77, Ю	1,07	3,19
225	0,22	0,0659	3317	6852	33,17	68,52	0,63	2,93
250	0,20	0,0668	2000	5947	20,00	59,47	0,11	2,67

На рис.2.2 приведены графики напряжений в диске, построенные по результатам расчета.

Анализ результатов расчета показывает, что наибольшее эквивалентное напряжение имеет место у внутренней поверхности диска. По теории наибольших касательных напряжений эквивалентное напряжение в точках внутреннего контура диска достигает значения

МПа.

Рис.2.2 Графики напряжений во вращающемся диске

с центральным отверстием при

3. ЧИСЛЕННЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ О РАСЧЕТЕ ВРАШАЮЩИХСЯ НЕРАВНОМЕРНО НАГРЕТЫХ ДИСКОВ ПЕРЕМЕННОЙ ТОЛЩИНЫ

В разд. 1 было установлено, что задача о расчете вращающегося неравномерно нагретого диска переменной толщины с центральным отверстием сводится к интегрированию системы дифференциальных уравнений (1.12) с переменными коэффициентами в интервале при заданных граничных условиях (1.22) и (1.23). Эта, так называемая, краевая задача (граничные условия сформулированы в точках и интервала интегрирования) в общем случае может быть решена численным методом с применением ЭВМ.

Расчеты с применением ЭВМ имеют ряд характерных особенностей. В частности, при реализации численных методов расчета на ЭВМ весьма эффективным оказывается использование матричной формы записи машинных алгоритмов. Применение матричной символики позволяет не только компактно записать уравнения и алгоритм решения задачи, но и облегчить процесс программирования, так как ЭВМ, как правило, снабжены стандартными программами для матричных операций.

Из величия и составим вектор , который будем называть вектором состояния, и запишем систему уравнений (1.12) в матричной форме:

, (3.1)

где

- матрица переменных коэффициентов; (3.2)

(3.3)

- вектор, учитывающий массовые силы инерции и температурную деформации.

Наиболее распространенным методом численного решения линейной краевой задачи является метод начальных параметров, позволяющий свести решение краевой задачи к решению последовательности задач Коши. Напомним, что в задаче Коши (начальной задаче) требуется найти частное решение системы дифференциальных уравнений, удовлетворяющее начальным условиям.

Общее решение системы неоднородных линейных дифференциальных уравнений (3.1) можно представить в виде суммы какого-либо частного решения этой системы и линейной комбинации двух линейно-независимых решений , системы однородных дифференциальных уравнений

(3.4)

Таким образом, можно записать

,(3.5)

где , , - постоянные интегрирования.

Вектор можно найти, решая задачу Коши для системы (3.1) при произвольных начальных условиях .

Численное решение задачи Коши выполняем методом Рунге-Кутта. Делим интервал на заданное число частей с шагом (рис.3.1). Согласно методу Рунге-Кутта, который относится к числу шаговых методов, вектор состояния в каждой последующей точке находим по формуле

; ,(3.6)

, , , - векторы, определяемые по формулам:

Таким образом, задавая начальный вектор , находим затем последовательно векторы , , … , по формуле (3.6).

Рис.3.1 Схема деления диска на участки

Векторы , можно найти, решив две задачи Коши для системы однородных уравнений (3.4), задавая начальные условия:

При выборе начальных векторов , следует обеспечить их линейную независимость.

Численное решение задач Коши для системы (3.4) находим методом Рунге-Кутта, вычисляя последовательно векторы состояния в точках ,

, … , по формулам:

; ,

; ,

где - векторы, определяемые по формулам:

,

,

,

,

Постоянные интегрирования и определяем из граничных условий (1.22) в (1.23), принимая во внимание, что соотношение (3.5) выполняется для всех точек интервала , в том числе, и для точек и , т.е.

,

,(3.7)

где и - действительные векторы состояния на внутреннем и наружном контурах диска.

Запишем соотношения (3.7) в развернутом виде:

,

(3.8)

Из векторных соотношений (3.8) можно получить следующие скалярные соотношения:

,

,

(3.9)

Используя граничные условия (1.22) и (1.23), получаем с учетом соотношений (3.9) систему линейных алгебраических уравнений относительно и :

,

(3.10)

где .

Решая систему (3.10), находим постоянные интегрирования.

Для сокращения объема вычислений при численном решении рассматриваемой краевой задачи целесообразно так назначить начальные векторы , , , чтобы одна из постоянных интегрирования заведомо обращалась в нуль.

Систему (3.10) можно представить в следующем виде:

,

(3.11)

Для того, чтобы при любых значениях достаточно выполнения следующих соотношений:

,

(3.12)

Выражение не может одновременно обратиться в нуль ввиду линейной независимости векторов , .

Соотношения (3.12) будут выполнены, если при принять

, , , , т.е.

, .(3.13)

Если , то необходимо, чтобы . В противном случае из соотношения (1.22) следует, что одновременно и , а это означает, что граничное условие на внутреннем контуре диска обращается в тождество и решение задачи становится неопределенным.

В случае, когда и , для выполнения соотношений (3.12) можно принять , ; , , т.е.

, .(3.14)

При указанном выборе начальных векторов и равенство выполняется при любых значениях исходных данных, и для решения рассматриваемой краевой задачи достаточно выполнить численное решение только двух задач Коши:

- для системы однородных уравнений (3.4) при начальном векторе ;

- для системы неоднородных уравнений (3.1) при начальном векторе .

Постоянную интегрирования в этом случае определяем по формуле

(3.15)

Вектор решения краевой задачи находим затем по формуле (3.5), учитывая, что :

(3.16)

Изложенный метод можно применить также для расчета дисков без центрального отверстия.

По условиям симметрии радиальное перемещение центра сплошного диска , т.е. коэффициенты , , в условии (1.22) принимают значения: , .

При расчете сплошного диска формируем начальные векторы по формулам (3.13):

,

и выполняем численное решение задач Коши для системы однородных уравнений (3.4) и системы неоднородных уравнений (3.1) при начальных условиях и соответственно.

При численном интегрировании матрицу коэффициентов и вектор в точке формируем в соответствии с уравнениями (1.39):

(3.17)

В точках элементы матрицы и вектора вычисляем в соответствии с выражениями (3.2) и (3.3).

Постоянную интегрирования и решение краевой задачи для сплошного диска находим по формулам (3.15) и (3.16), как и для диска с центральным отверстием.

Алгоритм численного решения краевой задачи для диска можно представить в более компактной форме. Введем в рассмотрение матрицы:

,(3.18)

(3.19)

, .(3.20)

Столбцами матрицы служат векторы и частных решений задач Коши для систем (3.4) и (3.1). Матрица состоит из векторов начальных условий и . Столбцами матрицы являются нулевой вектор и вектор , учитывающий массовые силы инерции и температурную деформацию диска в соответствии с выражениями (3.3) и (3.17).

Решение краевой задачи для диска сводится к решению задачи Коши для дифференциального уравнения

(3.21)

при начальном условии . В уравнении (3.21) - матрица, элементы которой определяются выражениями (3.2) и (3.17). Численное интегрирование уравнения (3.21) выполняем методом Рунге-Кутта:

; ,(3.22)

где , , , - матрицы производных частных решений, определяемые выражениями:

,

,

, ,

(3.23)

В результате находим матрицы частных решений , , ... , уравнения (3.21) в точках , , … , интервала .

Постоянную интегрирования определяем по формуле

,(3,24)

где , - элементы второй строки матрицы (первая цифра в скобках указывает номер строки, вторая - номер столбца матрицы), - радиальное усилие при .

Вектор решения краевой задачи для диска находим по формуле

, ,(3.25)

где , - соответственно первый и второй столбцы матрицы .

Размещено на Allbest.ru