Размещено на http://www.allbest.ru

Министерство образования и науки Российской Федерации

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«МАГНИТОГОРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ. Г.И. НОСОВА»

Кафедра «Автоматизированного электропривода и мехатроники»

КУРСОВАЯ РАБОТА

По дисциплине: «Теория автоматического управления»

На тему: «Исследование двухконтурной системы автоматического регулирования»

Исполнитель: Гончаров А.К,

студент 3 курса, группа ЭМБ-11

Руководитель: Белый А.В.,

кандидат технических наук, доцент

Магнитогорск 2013

ЗАДАНИЕ НА КУРСОВУЮ РАБОТУ

Цель курсовой работы: Усвоение методов расчёта, анализа и синтеза линейных двухконтурных систем автоматического регулирования (в дальнейшем САР), построенных по принципу систем подчинённого регулирования с последовательной коррекцией.

контур статический астатический коррекция частотный

Задан объект регулирования (рис. 1). Далее необходимо:

- произвести построение и расчёт двухконтурной САР (статической и астатической).

- выбрать и рассчитать регуляторы в контурах регулирования

- выполнить построение ЛФЧХ и ЛАЧХ, а также кривых переходных процессов по управляющему и возмущающему воздействиях

- определить качество регулирования САР

Рис. 1 Объект регулирования

Объект регулирования

Заданный объект регулирования (в дальнейшем ОР) обладает следующими параметрами, при подстановке которых ОР приобретает вид, изображённый на рис. 2.

где - коэффициент усиления фильтра

где - коэффициент усиления апериодического звена

, где - малая постоянная времени фильтра

где - постоянные времени ОР

Рис. 2 Объект регулирования с заданными параметрами

где передаточная функция фильтра

передаточная функция апериодического звена первого порядка

передаточная функция идеального интегрирующего звена

Что касается ОР может быть принята схема, представленная на рис. 2. В составе ОР два апериодических звена первого порядка и одно идеальное интегрирующее звено. В данной работе под ОР понимается схема двигателя постоянного тока, получающего питание от преобразователя с постоянной времени , где является наименьшей среди постоянных времени. могут быть определены по параметрам двигателя.



1. ИССЛЕДОВАНИЕ ВНУТРЕННЕГО КОНТУРА ДВУХКОНТУРНЫХ СТАТИЧЕСКИХ И АСТАТИЧЕСКИХ САР С ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОЙ КОРРЕКЦИЕЙ

1.1 Составление схемы оптимальной двухконтурной САР

Система подчинённого регулирования состоит их ОР (рис. 1, рис. 2) и регулирующей части САР строится в виде контуров регулирования, начиная от первого внутреннего контура. Каждый контур регулирования включает в себя регулятор и отдельные звенья объекта с двумя большими постоянными времени и одной малой некомпенсируемой постоянной времени. На входе первого регулятора установлен фильтр (звено с малой постоянной времени , что обеспечивает помехозащищённость системы, а значит её работоспособность). Данная схема приведена на рис. 3.

На рис. 3 используются следующие обозначения:

передаточные функции регуляторов для первого и второго контуров соответственно.

заданные значения выходных координат.

Регуляторы в данной схеме выполняют две важные функции:

- регулируют одну выходную координату контура, например , в соответствии с её заданным значением

- компенсирует одну большую постоянную времени (два регулятора компенсируют две больших постоянных времени).

На вход регулятора, как следует из выше сказанного, подаётся два сигнала: действительное значение регулируемой координаты и её заданное значение.

Передаточные функции регуляторов выбираются из расчёта, чтобы обеспечить оптимальность контура регулирования и получалась оптимальная передаточная функция.

Данный принцип позволяет не только последовательно регулировать координаты ОР, но и компенсировать инерционности этого объекта, т.е. осуществление коррекции САР, получившее название «последовательной коррекции».

Проектируемая САР должна быть статической по возмущающему воздействию и астатической - по управляющему воздействию. Для таких систем требуется оптимальная настройка по модульному оптимуму. Поэтому они называются однократно-интегрирующими системами с последовательной коррекцией. ОР содержит две большие постоянные времени и одну малую, так называемую некомпенсируемую времени . Основополагающим принципом построения систем подчиненного регулирования является компенсация каждой большой постоянной времени соответствующим регулятором. Но при этом обязательным условием служит присутствие в каждом контуре двух звеньев ОР с большой и малой постоянными времени. На основании этих принципов можно построить схему, изображённую на рис. 3.

Рис. 3 Структурная схема оптимальной двухконтурной САР

Как видно из схемы, что к данной САР приложены следующие внешние воздействия:

а) управляющее воздействие

б) внешнее возмущающее воздействие

А регулируемыми выходными координатами соответственно являются

выходная регулируемая координата первого внутреннего контура

выходная регулируемая координата второго внешнего контура

И соответствующие этим выходным координатам заданные значения выходных координат и

1.2 Структурная схема внутреннего контура регулирования САР. Определение передаточной функции регулятора внутреннего контура

Система подчинённого регулирования, состоящая из ОР и регулирующей части САР строится в виде контуров регулирования, начиная от внутреннего первого контура. На выходе первого регулятора обычно устанавливается фильтр (или звенья с малой и некомпенсируемой постоянной времени , которая обеспечивает помехозащищённость системы, т.е её работоспособность). При больших значениях постоянной времени она может существенно влиять на быстродействие системы регулирования. Следовательно для осуществления абсолютной компенсации постоянной времени и превращения инерционного звена в усилительное, необходимо последовательно с объектом включить регулятор с передаточной функцией дифференцирующего звена

(1)

где коэффициент усиления и постоянная времени регулятора, причём

(2)

Соответственно передаточная функция апериодического звена

(3)

При абсолютной компенсации постоянных времени контур регулирования становится весьма чувствительна к помехам

Степень приближения компенсации к абсолютной ограничивается пределом, при котором полоса пропускания замкнутого контура обеспечивается его помехозащищённости. Поэтому применяют ПИ-регуляторы с передаточной функцией

(4)

и большие постоянные времени регулятора

(5)

При замыкании данного контура единичной обратной связью получаем следующее выражение

На рис.4 приведена следующая схема внутреннего контура исследуемой САР

Рис. 4 Внутренний контур регулирования САР

В данной схеме передаточная функция регулятора может быть найдена по следующей формуле

(6)

где постоянная времени обратной связи регулятора

постоянная времени интегрирования регулятора

передаточная функция той части объекта, которая компенсируется регулятором первого контура

коэффициент обратной связи внутреннего контура регулирования (в данной работе)

Учитывая вышеуказанные выражения в итоге получим следующую формулу

(7)

Получили регулятор с пропорционально-интегральной характеристикой. Теперь составим функцию разомкнутого контура:

(8)

и соответственно

(9)

где



1.3 Передаточные функции внутреннего оптимального замкнутого и разомкнутого контуров САР

1.

Передаточная функция разомкнутой САР будет иметь следующий вид:

Тогда передаточная функция замкнутой системы с единичной отрицательной обратной связью будет определяться следующим выражением:

2.

Тогда передаточная функция замкнутой системы с единичной связью будет определяться следующим образом:

3.

Тогда передаточная функция замкнутой системы с единичной отрицательной обратной связью определится следующим образом:

1.3.1 Определение передаточной функции разомкнутой и замкнутой САР при изменении значения постоянной времени

1.

Тогда передаточная функция замкнутой САР при единичной отрицательной обратной связи равно будет определяться следующим выражением:

2.

Тогда передаточная функция замкнутой САР будет определяться следующим выражением:

3.

Аналогично двум другим случаям, передаточная функция замкнутого контура САР определится следующим выражением:

1.4 Аналитический расчёт графиков переходных процессов оптимального внутреннего замкнутого контура

Полученное выражение свидетельствует о соответствии передаточной функций разомкнутого и замкнутого контуров оптимальной САР второго порядка, другими словами внутренний контр оптимизирован по модульному оптимуму. Поэтому переходная функция станет оптимальной и будет определяться выражением:

(10)

Переходные функции оптимальной САР зависят от порядка и номера контура регулирования ОР

В данном случае

Характеристическое уравнение

; (11)

или , где

Корни характеристического уравнения

Рис. 5 Кривая переходного процесса по модульному оптимуму

Переходная функция характеризуется следующими показателями

a. Перерегулирование

b. Время первого достижения установившегося значения .

c. Время первого достижения максимального значения .

d. Время переходного процесса (вхождения в 2-х процентную зону)

Таким образом, передаточные функции разомкнутого и замкнутого контуров соответствуют оптимальной системе второго порядка, т.е. внутренний контур регулирования двухконтурной САР оптимизирован по модульному оптимуму. Поэтому переходная функция станет оптимальной и будет определяться выражением (10). Такая переходная функция представлена на рис. 5.

Параметры переходного процесса также оптимальны. Они получены при оптимальной настройке регулятора, при которой

где постоянная времени обратной связи регулятора

постоянная времени интегрирования регулятора

оптимальное значение коэффициента, определяющего соотношение постоянных времени замкнутого контура.

На динамические показатели замкнутого внутреннего контура оказывает влияние действительная настройка регулятора, а именно, выбор значений постоянных времени регулятора и . Динамически показатели САР в этом случае могут быть оценены по частотным методам оценки качества САР. Для этого необходимо построить логарифмические амплитудную и фазовую частотные характеристики САР с использованием передаточных функций разомкнутой и замкнутой САР.

Наиболее точно динамические показатели могут быть определены путём расчёта переходных процессов по методу структурного моделирования на ЭВМ. При этом желательно исследовать следующие варианты настройки параметров регулятора:

а) изменение постоянной времени интегрирования регулятора:

1) базовый вариант оптимальной настройки;

2)

3)

б) изменение постоянной времени обратной связи регулятора:

1) базовый вариант оптимальной настройки;

2)

3)

Для построения переходных процессов можно воспользоваться приложением MATLAB Simulink, для этого на рис. 6 приведём схему для построения соответствующих кривых переходных процессов.



Рис. 6 Схема ОР для исследования кривых переходных процессов



а)

б)

Рис. 6 Кривые переходных процессов:

а) - при изменении б) - при изменении



а)

б)

Рис.7 Распределение нулей и полюсов

а) - при изменении б) - при изменении

Вывод: Итак, анализируя переходные процессы, представленные на рис. 6 а, б можно установить, что:

1) При изменении :

1.1) При уменьшении постоянной времени (коэффициента а, а значит значения ) снижается время переходного процесса (другими словами, увеличивается быстродействие), но возрастает перерегулирование

1.2) При снижении постоянной времени , наоборот снижается перерегулирование, но снижается быстродействие (время переходного процесса увеличивается).

2) При изменении

2.1) При уменьшении постоянной времени обратной связи происходит увеличение и уменьшению (т.е. увеличение быстродействия )

2.2) При увеличении также происходит увеличение , но в большей степени по отношению к оптимальной настройке, однако происходит увеличение (т.е. снижение быстродействия).

Теперь можно сделать вывод, что любое отклонение от оптимальной настройки (т.е. изменение либо постоянной времени , либо постоянной времени обратной связи ) приводит либо к увеличению перерегулирования , либо увеличению времени переходного процесса (снижению быстродействия). Поэтому напрашивается вывод о том, что оптимальные настройки являются наиболее благоприятными для переходного процесса и облегчают процесс регулирования объектом.

1.5 Построение логарифмических частотных характеристик внутреннего контура САР

По данным кривых переходных процессов могут быть определены показатели качества САР.

Для этой цели могут быть также использованы также логарифмические амплитудная и фазовая частотные характеристики САР, построенные на основе передаточных функций разомкнутой и замкнутой систем для указанных вариантов изменения параметров регулятора. Например, передаточные функции разомкнутых САР при изменении имеют вид:

(12)

Теперь приведём построенные на основе этих функций соответствующие ЛАЧХ и ЛФЧХ представленные на рис. 8.

Построение ЛАЧХ и ЛФЧХ для разомкнутой САР также проводим для трех вариантов настройки системы при различных значениях .

ЛАЧХ записывается в виде следующего выражения:

(13)

1.

2.

3.

Для построения асимптотических ЛАЧХ можно воспользоваться упрощенным методом. Суть метода заключается в следующем. При частоте откладываем в выбранном масштабе ординату Через полученную точку откладываем низкочастотную часть ЛАЧХ под наклоном до частоты сопряжения Затем под наклоном проводим высокочастотную часть ЛАЧХ. В результате построения получим логарифмические частотные характеристики внутреннего контура при изменении постоянной времени регулятора , смещенные друг относительно друга на некоторую величину, зависящую от коэффициента усиления (т.е. от постоянной времени ).

ЛФЧХ зависит от постоянной времени и записывается по виду передаточной функции (14) следующим образ

(14)

Следовательно, ЛАЧХ не зависит от постоянной времени и при ее изменении остается прежней. Логарифмические амплитудные и фазовые частотные характеристики разомкнутого внутреннего контура регулирования при трех значениях представлены на рисунке 8.

Определение запаса устойчивости по фазе

Запас устойчивости по фазе определяется, исходя из следующего выражения:

(15)

Частоты среза логарифмических характеристик и запас устойчивости:



1. ,

2. ,

3. ,

Рис. 8 ЛАЧХ и ЛФЧХ внутреннего контура при изменении

Аналогично получим передаточные функции и построим ЛФЧХ и ЛАЧХ при изменении постоянной времени обратной связи .

После получения передаточной функции разомкнутой САР можно записать выражение для расчета ЛАЧХ.



1.

Построение ЛФЧХ производится в соответствии с выражением:

В этом случае характеристика имеет одну частоту сопряжения, равную

2.

Построение ЛФЧХ производится в соответствии с выражением:

В этом случае имеем три частоты сопряжения:

3.

Построение ЛФЧХ производится в соответствии с выражением:

В этом случае также имеем три частоты сопряжения:

Соответствующие логарифмические частотные характеристики представлены на рисунке 9.

Показатели качества соответственно равны



Рис. 9 ЛАЧХ и ЛФЧХ внутреннего контура при изменении



2. ИССЛЕДОВАНИЕ ДВУХКОНТУРНОЙ СТАТИЧЕСКОЙ САР С ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОЙ КОРРЕКЦИЕЙ

2.1 Расчёт регулятора внешнего контура САР. Составление структурной схемы двухконтурной САР

Внешней замкнутый контур САР может быть представлен следующей структурной схемой (рис. 10)

Рис. 10 Структурная схема внешнего контура регулирования САР

Передаточная функция регулятора внешнего контура выглядит следующим образом

(16)

где передаточная функция той части объекта регулирования, которая компенсируется регулятором контура

коэффициенты обратных связей контуров (при единичной обратной связи)

Теперь подставляя параметры соответствующие варианту получаем следующий вид функции



Следовательно регулятор имеет пропорциональную характеристику (т.е. передаточная функция имеет вид пропорционального звена).

На двухконтурную САР оказывают влияние следующие виды внешних воздействий:

1) Задающее воздействие ;

2) Возмущающее воздействие .

Поэтому при исследовании двухконтурной САР необходимо определить её реакцию на эти воздействия:

а) реакция САР на управляющее воздействие:

1) для выходной координаты внутреннего контура;

2) выходная координата внешнего контура.

б) реакция САР на управляющее воздействие:

1)

2)

Для определения динамических и статических показателей двухконтурной САР необходимо для каждого случая получить передаточные функции разомкнутой и замкнутой САР. Показатели качества САР могут быть найдены частотными методами по ЛАЧХ и ЛФЧХ разомкнутых и замкнутых САР, а также более точно - по кривым переходных процессов, полученных по методу структурного моделирования на ЭВМ.



2.2 Передаточные функции разомкнутой и замкнутой САР по управляющему и возмущающему воздействиям для выходной координаты внешнего и внутреннего контуров

Для начала рассмотрим передаточные функции внешнего замкнутого контура регулирования по управляющему воздействию для выходных координат внутреннего и внешнего контуров регулирования.

Для выходной координаты

Передаточная функция внешнего разомкнутого и замкнутого контуров для координаты :

(17)

Где передаточная функция внутреннего контура (14), т.е. этот контур является колебательным звеном;

(18)

Выражения (14) и (15) показывают, что внешний замкнутый контуру по отношению к выходной координате имеет оптимальные передаточные функции системы третьего порядка (по управляющему воздействию).

Переходная функция системы, полученной на основании обратного преобразования Лапласа, будет определена выражением:

(19)

или в относительных координатах

где относительное время переходного процесса

В данном случае

Характеристическое уравнение

(20)

Корни характеристического уравнения

(21)

Рис. 11 Кривая переходного процесса в оптимальной системе третьего порядка

Переходная функция характеризуется следующими показателями



a. Перерегулирование

b. Время первого достижения установившегося значения .

c. Время первого достижения максимального значения .

d. Время переходного процесса (вхождения в 2-х процентную зону)

Графическое изображение переходной функции системы третьего порядка представлено на рис. 11. Можно сказать, что для систем четвёртого и более порядков величины перерегулирование практически изменяется незначительно и составляет величину, равную (рис. 11). Однако время регулирования при повышении порядка на единицу возрастает приблизительно в 2 раза, соответственно быстродействие уменьшается в 2 раза

Управление переходной функции, полученным на основании обратного преобразования Лапласа: для этой оптимальной системы запишется:

(22)

В рассмотренном случае внутренний замкнутый контур представлен колебательным звеном с передаточной функцией (20)

(23)



Однако, учитывая, что является малой некомпенсируемой постоянной времени и , первым слагаемым в знаменателе можно пренебречь, т.к. .

В этой связи передаточная функция внутреннего замкнутого контура может быть представлена передаточной функцией апериодического звена первого порядка, следовательно, получаем следующее выражение

(24)

Где наименьшая некомпенсируемая постоянная времени внешнего контура.

Такая аппроксимация позволяет представить передаточную функцию внешнего замкнутого контура в виде

(25)

Следовательно, при аппроксимации (упрощении) порядок системы снижается. При этом снижается перерегулирование .

4. Для выходной координаты

Передаточная функция по управляющему воздействию для выходной координате внутреннего контура.

Передаточная функция имеет следующий вид

или

(26)

Аппроксимируя выражение

Получим

(27)

Переходные характеристики могут быть найдены следующим образом. Из выражения следует, что

В то же время

Отсюда можно записать

Следовательно, выходная координата является производной от

(28)

Для упрощения САР при аппроксимации внутреннего контура имеем:

где



Таким образом

(29)

Кривые переходных процессов при управляющем воздействии для и представлены на рис. 12

Рис. 12 Переходные процессы передаточных функций САР по управляющему воздействию для выходных координат и



3. РАСЧЁТ И ИССЛЕДОВАНИЕ ДВУХКОНТУРНОЙ АСТАТИЧЕСКОЙ САР С ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОЙ КОРРЕКЦИЕЙ

Из способа оптимизации САР по симметричному оптимуму следует, что для получения астатической характеристики во внешний контур необходимо ввести интегрирующее звено, оставив внутренний контур таким же, как и при техническом оптимуме. Регулятор внутреннего контура имеет ту же передаточную функцию. Поэтому дополнительных исследований внутреннего контура для астатической системы не требуется.

Необходимо только иметь в виду, что передаточная функция регулятора в этом случае будет

Передаточная функция внутреннего замкнутого контура

И в случае его аппроксимации (упрощения)

3.1 Исследование астатической двукратно интегрирующей САР по управляющему воздействию

В соответствии с принципом оптимизации структурной схемы САР, настроенная по симметричному оптимуму, имеет вид (рис. 13).



Рис. 13 Структурная схема астатической САР в общем виде

Передаточная функция регулятора внешнего контура

Так же, как и для статической системы исследуется реакция САР при управляющем и возмущающем воздействии в отношении входных координат внешнего контура и внутреннего контура .

Передаточная функция САР по управляющему воздействию

Передаточная функция замкнутой САР для выходной координаты

Принимая (при аппроксимации внутреннего контура), получим

(30)

т.е. контур имеет оптимальную передаточную функцию.

В соответствии с передаточной функцией имеем

Отсюда для переходной функции можно записать

где производная по времени переходной функции .

Таким образом,

(31)

Для выходной координаты внутреннего контура

Поэтому переходная функция для выходной координаты будет иметь вид

(32)

Из полученных кривых переходных процессов видно, что при настройке по симметричному оптимуму возникает большая величина перерегулирования выходной координаты , которая составляет .Кроме того, возрастает и значение . Для снижения перерегулирования на входе системы со стороны задающего воздействия устанавливается дополнительный фильтр с передаточной функцией

.

В этом случае для замкнутой системы при управляющем воздействии будем иметь

т.е. передаточная функция будет оптимальной.

Для этого случая переходные функции реакции на задающее воздействие также будут отрицательными:

(33)

(34)

Анализ кривых показывает, что дополнительный фильтр влияет только на свойства САР при управляющем воздействии и не влияет на реакцию системы при возмущающем воздействии. Перерегулирование выходной координаты снижается до 8,1 %, снижается также максимальное значение выходной величины внутреннего контура. Однако при этом возрастает время переходного процесса.

3.2 Реакция астатической САР на возмущающее воздействие

Структурные схемы САР по возмущающему воздействию для выходных координат и представлены на рис. 14. В соответствии с этими схемами передаточные функции системы при возмущающем воздействии определяются:

Для выходной координаты :

(35)

Рис. 14 Структурные схемы при регулировании по возмущающему воздействию:

а - для выходной координаты ;

б - для выходной координаты .

Следовательно, передаточная функция аналогична передаточной функции САР по управляющему воздействию для выходной величины внешнего контура.

Переходная функция в этом случае определяется



(36)

Для выходной координаты :

(37)

Переходная функция внешнего контура при возмущающем воздействии

(38)

Однако, переходная функция для выходной координаты определяется при одновременном приложении к системе управляющего воздействия . Поэтому в соответствии с принципом наложения получим

(39)

Переходный процесс для выходной координаты астатической САР при возмущении представлен на рис. 15.



Рис. 15 Переходные процессы систем при возмущающем воздействии

Анализ кривых переходного процесса показывает, что исследуемая система является астатической, т.к. при приложении возмущения статическая ошибка равна 0 - . Это объясняется тем, что при наличии ПИ-регулятора во внешнем контуре при появлении ошибки будет изменяться выходной сигнал регулятора до тех пор, пока статическая ошибка регулирования не станет равной нулю. Однако во время переходного процесса появляется динамическая ошибка Кроме того, при настройке по симметричному оптимуму возникает перерегулирование выходной координаты при возмущающем воздействии и выходной координаты при управляющем воздействии.



5. СВЯЗИ МЕЖДУ ПРЯМЫМИ ПОКАЗАТЕЛЯМИ КАЧЕСТВА И ЧАСТОТНЫМИ ХАРАКТЕРИСТИКАМИ

По виду ЛАЧХ и ЛФЧХ можно судить:

1) Система устойчива, если при частоте среза ЛФЧХ меньше 180?, запас по фазе больше нуля;

2) Время регулирования системы обратно пропорционально частоте среза

;

3) Система устойчива, если запас по амплитуде больше нуля, при частоте достижения ЛФЧХ значения 180?;

4) Если при частоте среза наклон ЛАЧХ больше -20 дБ/дек, то система устойчивая;

5) Для устойчивости необходим диапазон с наклоном -20 дБ/дек не менее одной декады;

6) По низкочастотной части ЛАЧХ можно судить о статизме системы. Если наклон 0 дБ/дек, то система статическая, если -20 дБ/дек, то система первого порядка статизма, а если -40 дБ/дек - второго порядка статизма.



ВЫВОД:

В ходе анализа систем регулирования было отмечено следующее:

1. Простота расчёта и настройки регуляторов.

2. Данные системы позволяют получить оптимальные показатели переходных процессов с минимальным перерегулированием в статических системах и с нулевой статической ошибкой в астатических системах.

3. Из-за особенностей строения системы быстродействие каждого внешнего контура ниже быстродействия соответствующего внутреннего контура.

4. Любое отклонение от оптимальной настройки (т.е. изменение либо постоянной времени , либо постоянной времени обратной связи ) приводит либо к увеличению перерегулирования , либо увеличению времени переходного процесса(снижению быстродействия).

Эти особенности систем регулирования привели к тому, что такие системы получили широкое применение во всех отраслях, особенно в автоматизированном электроприводе.



СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ:

1. А.Н. Лукин. Теория автоматического управления: Методические указания. /А.Н. Лукин; МГТУ - Магнитогорск, 2004. - 67 стр.;

2. А.Н. Лукин. Теория автоматического управления: Учебное пособие. /А.Н. Лукин; МГТУ - Магнитогорск, 2008. - 215 стр.;

3. А.А. Воронов. Основы теории автоматического управления: Автоматическое регулирование непрерывных линейных систем. /А.А. Воронов - [2-е издание, переработанное] - М.: Энергия, 1980. - 312 стр.

4. С.Е. Душин, Н.С. Зотов. Теория автоматического управления: Учеб. для вузов - М: Высш. школа, 2005.-567 стр.

Размещено на Allbest.ru