Исследование напряженного состояния в точке сплошной среды

Размещено на http://www.allbest.ru/

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ОБРАЗОВАНИЯ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» (ВолгГТУ)

Кафедра «Технологии материалов»

Секция «Обработка металлов давлением»

Курсовая работа

по дисциплине «Механика сплошных сред»

Выполнил: студент гр. М-438 Ретивов В.А

Проверил: канд. техн. наук, доцент Максимук В.С.

Волгоград 2004

Содержание

1. Запись данных компонент в виде тензора напряжений

2. Вычисление инвариантов тензора напряжений I₁, I₂, I₃

3. Составление кубического уравнения и вычисление главных нормальных напряжений

4. Вычисление направляющих косинусов нормалей к главным площадкам

4.1 Вычисление направляющих косинусов нормалей для первой главной площадки

4.2 Вычисление направляющих косинусов нормалей для второй главной площадки

4.3 Вычисление направляющих косинусов нормалей для третьей главной площадки

5. Запись тензора напряжений, заданного компонентами в главных площадках у_1, у_2, у_3. Вычисление гидростатического давления

6. Разложение тензора напряжений, заданного компонентами в произвольно ориентированной площадке и в главных осях на шаровой тензор и девиатор напряжений

6.1 Разложение тензора напряжений, заданного компонентами в произвольно ориентированной площадке на шаровой тензор и девиатор напряжений

6.2 Разложение тензора напряжений, заданного компонентами в главных осях на шаровой тензор и девиатор напряжений

7. Графическое изображение положения произвольно ориентированных площадок относительно главных осей

8. Вычисление главных касательных напряжений

9. Вычисление интенсивности напряжений для главных и произвольно ориентированных площадок

9.1 Вычисление интенсивности напряжений для произвольно ориентированных площадок

9.2 Вычисление интенсивности напряжений для главных площадок

10. Вычисление значения нормального и касательного октаэдрических напряжений

11. Построение по вычисленным главным напряжениям у_1, у₂ и у_3. кругов Мора. Определение графически точку, соответствующую октаэдрической площадке. Сравнить результаты теоретического (аналитического) и графического решений, оценить погрешность

12. Определение с помощью кругов Мора графически значения нормального и касательного напряжений, действующих на площадке с направляющими косинусами:a₁=0,5; a₂=0,707; a₃=0,5

13. Построение эллипсоида напряжений в главных осях

14. Сводная таблица напряжений и направляющих косинусов

Список литературы

Задание

напряжение тензор нормаль эллипсоид

Исследовать напряжённое состояние в точке сплошной среды, нагруженное внешними силами, заданное компонентами тензора напряжения Ту (см. таблицу 1).

1. Записать заданные компоненты в виде тензора напряжений.

2. Вычислить инварианты тензора напряжений I₁, I₂, I_3.

3. Составить кубическое уравнение и вычислить главные нормальные напряжения.

4. Вычислить направляющие косинусы нормалей к главным площадкам.

5. Записать тензор напряжений, заданный компонентами в главных площадках у_1, у_2, у_3. Вычислить гидростатическое давление.

6. Разложить тензор напряжений, заданный компонентами в произвольно ориентированной площадке и в главных осях на шаровой тензор и девиатор напряжений. Показать, что первый инвариант девиатора напряжений равен нулю.

7. Изобразить графически положение заданных произвольно площадок относительно главных осей.

8. Вычислить главные касательные напряжения.

9. Вычислить интенсивность напряжений для главных и произвольно ориентированных площадок.

10. Вычислить значения нормального и касательного октаэдрических напряжений.

11. По вычисленным главным напряжениям у_1, у₂ и у_3. построить круги МОРА (диаграмму МОРА). Определить графически точку, соответствующую октаэдрической площадке. Сравнить результаты теоретического (аналитического) и графического решений, оценить погрешность.

12. С помощью построенных кругов МОРА определить графически значения нормального и касательного напряжений, действующих на площадке с направляющими косинусами: a₁=0,5; a₂=0,707; a₃=0,5.

13. Построить эллипсоид напряжения в главных осях. Вычисленные значения напряжений, направляющих косинусов свести в таблицу.

Таблица 1

Компоненты тензора напряжённого состояния в точке сплошной среды (МПа)

Номер варианта	уx	уy	уz	фxy	фxz	фyz
9	60	50	80	-100	-20	-40

Решение

1. Запись данных компонент в виде тензора напряжений

Подставив численные значения получим:

(МПа).

2. Вычисление инвариантов тензора напряжений I₁, I₂, I₃

Первый инвариант вычисляется по формуле:

(МПа)

Второй инвариант вычисляется по формуле

(МПа)

Третий инвариант вычисляется по формуле

(МПа)

3. Составление кубического уравнения и вычисление главных нормальных напряжений

Кубическое уравнение запишем в виде:

(1)

После подстановки значений инвариантов получим

Первый корень кубического уравнения определим, например, подбором делителя для свободного члена уравнения (1): ±1... ±10... и т.д.

у' = 90,79716278

Правильность подбора первого корня б' проверим его подстановкой в уравнение (1).

Второй и третий корень определим, применив, например, теорему БЕЗУ, согласно которой кубическое уравнение типа (1) делится без остатка на величину (у - у '), где у ' - первый корень, определённый подбором.

Применение этой теоремы позволяет не производить упомянутого деления вообще, а коэффициенты нового (теперь уже - квадратного уравнения, полученного в результате такой операции, определяют в последовательности, показанной в таблице 2.

Таблица 2

Определение коэффициентов квадратного уравнения

Исходное (кубическое) уравнение
--	a0=+1	a1=±(I1)	a2=±(I2)	Свободный член a3=±(I3)
--	1	-190	-200	836000
Искомое (квадратное) уравнение:
Первый корень у'=90,79716	a0=b0=+1	b1= у'· b0+a1	b2= у'· b1+a2	b3= у'· b2+a3=0
	b0=+1	b1=90,79716·1+ +(-190)	b2 = 90,79716 · · (-99,20283722) + +(-200)	b3 = 90,79716 · · (-9207,336159) + +836000
	+1	-99,20283722	-9207,336159

При составлении квадратного уравнения на основании исходного (кубического) значения степени для "у" кубического уравнения уменьшаются на единицу.

Второй и третий корни кубического уравнения (1) находим, решая квадратное уравнение.

Корни этого уравнения находятся по формуле

Вычисление корней квадратного уравнения

157,618255

-58,41541752

Корни этого квадратного уравнения являются вторым и третьим корнем кубического уравнения.

С учетом известного соотношения у₁> у₂> у₃ найденным корням кубического уравнения присваивают соответствующие индексы "1", "2", "3".

у₁=157,6182547 (МПа);

у₂=90,79716278 (МПа);

у₃=-58,41541752 (МПа).

Выполним проверку найденных корней кубического уравнения

I₁=157,6182547+90,79716278 +(-58,41541752)=190 (МПа)

I₂= - [157,6182547 · 90,79716278 +90,79716278 · (-58,41541752) +

+ (-58,41541752) · 157,6182547] = -[ 14311,29033+(-5303,954173)+

+ (-9207,3362)] = 200 (МПа)

I₃=157,6182547 · 90,79716278 · (-58,41541752) =-836000 (МПа)

4. Вычисление направляющих косинусов нормалей к главным площадкам

Аналитически направлявшие косинусы нормалей к главный площадкам с главными нормальными напряжениями у_г (то есть у₁ или у₂ или у₃) определяют по формулам:

,

где , , -направляющие косинусы нормалей к соответствующей главной площадке;

, . Значения и вычисляют решая систему

4.1 Вычисление направляющих косинусов нормалей для первой главной площадки

Найдем значения и , решив два уравнения системы.

Каждое уравнение системы делим на a'₃ и вводим обозначение

, .

;

.

Подставив численные значения получим

;

.

Найдем значения направляющих косинусов для первой площадки

Выполним проверку полученных значений из условия что:

1,0=1,0

Посчитаем значение углов в градусах

б'₁=arcos()=arcos(0,683968)= 46,85°

б'₂= arcos()=arcos(-0,7051032)= 134,84°

б'₃= arcos()=arcos(0,187131)= 79,21°

4.2 Вычисление направляющих косинусов нормалей для второй главной площадки

Найдем значения и , решив два уравнения системы.

Каждое уравнение системы делим на a''₃ и вводим обозначение

, .

;

.

Подставив численные значения получим

;

.

Найдем значения направляющих косинусов для второй площадки

Выполним проверку полученных значений

Первую из условия что:

1,0=1,0

Вторую из условия что:

0=0

Посчитаем значение углов в градусах

б''₁=arcos()=arcos(-0,341017816)= 109,94°

б ''₂= arcos()=arcos(-0,082266243)= 94,72°

б''₃= arcos()=arcos(0,936450273)= 20,54°

4.3 Вычисление направляющих косинусов нормалей для третьей главной площадки

Найдем значения и , решив два уравнения системы.

Каждое уравнение системы делим на a'''₃ и вводим обозначение

, .

;

.

Подставив численные значения получим

;

.

Найдем значения направляющих косинусов для третьей площадки

Выполним проверку полученных значений

Первую из условия что:

1,0=1,0

Вторую из условия что:

0=0

Посчитаем значение углов в градусах

б'''₁=arcos()=arcos(0,644899559)= 49,84°

б'''₂= arcos()=arcos(0,704316466)= 45,23°

б'''₃= arcos()=arcos(0,296720196)= 72,74°

5. Запись тензора напряжений, заданного компонентами в главных площадках у_1, у_2, у_3. Вычисление гидростатического давления

Тензор напряжений, заданный компонентами в главных площадках у_1, у_2, у₃ запишется в виде

Подставив значения главных напряжений, получим:

(МПа)

Гидростатическое давление вычисляется по формуле:

Подставив значения главных напряжений, получим:

(МПа)

6. Разложение тензора напряжений, заданного компонентами в произвольно ориентированной площадке и в главных осях на шаровой тензор и девиатор напряжений

Тензор напряжений T_у можно представить в виде двух слагаемых

,

где - среднее напряжение;

T_у° - шаровый тензор напряжений;

D_у - девиатор напряжений.

Шаровый тензор определяет напряженное состояние всестороннего растяжения или сжатия, которое вызывает лишь чисто упругое изменение объёма тела без изменения его формы.

Девиатор напряжений определяет напряжённое состояние, вызывающее пластическое формоизменение твёрдого тела без изменения его объёма, Особенностью девиатора является равенство нулю его первого инварианта I₁(D_у).

6.1 Разложение тензора напряжений, заданного компонентами в произвольно ориентированной площадке на шаровой тензор и девиатор напряжений

(МПа)

Покажем, что первый инвариант девиатора напряжений равен нулю.

6.2 Разложение тензора напряжений, заданного компонентами в главных осях на шаровой тензор и девиатор напряжений

Покажем, что первый инвариант девиатора напряжений равен нулю.

Размещено на http://www.allbest.ru/

= Размещено на http://www.allbest.ru/

+ Размещено на http://www.allbest.ru/

= +

Рисунок 1 Разложение тензора напряжений, заданного компонентами в произвольно ориентированной площадке на шаровой тензор и девиатор напряжений

Размещено на http://www.allbest.ru/

= Размещено на http://www.allbest.ru/

+ Размещено на http://www.allbest.ru/

= +

Рисунок 2 -Разложение тензора напряжений, заданного компонентами в главных осях на шаровой тензор и девиатор напряжений

Размещено на http://www.allbest.ru/

7. Графическое изображение положения произвольно ориентированных площадок относительно главных осей

Направляющие косинусы главных площадок:

Первый a₁?= +0,684; a₂?= -0,705; a₃?= +0,187;

б₁?= 46,85°; б₂?= 134,84°; б₃?= 79,21°;

второй a₁??= -0,341; a₂??= -0,082; a₃??= +0,936;

б₁??= 109,64°; б₂??= 94,72°; б₃??= 20,54°;

третий a₁???= +0,645; a₂???= +0,704; a₃???= +0,297;

б₁???= 49,84°; б₂???= 45,23°; б₃???= 72,74°.

Рисунок 3 Графическое изображение положения произвольно ориентированных площадок относительно главных осей

8. Вычисление главных касательных напряжений

Главные касательные напряжения действуют в площадках, наклоненных под углом 45° к главным осям, вдоль которых направлены главные нормальные напряжения. Определяются они как полуразность двух соответствующих главных нормальных напряжений

Подставив численные значения получим:

(МПа)

(МПа)

(МПа)

Выполним проверку из условия, что сумма главных касательных напряжений равна нулю:

0=0

9. Вычисление интенсивности напряжений для главных и произвольно ориентированных площадок

Интенсивность нормальных у_i и касательных ф_i напряжений определяется по формулам

9.1 Вычисление интенсивности напряжений для произвольно ориентированных площадок

9.2 Вычисление интенсивности напряжений для главных площадок

10. Вычисление значения нормального и касательного октаэдрических напряжений

Октаэдрические нормальное у₀ и касательное ф₀ напряжения действуют в площадках, равнонаклоненных к осям координат, и определяются по формулам

Подставив численные значения получим

(МПа)

11. Построение по вычисленным главным напряжениям у_1, у₂ и у_3. кругов Мора. Определение графически точку, соответствующую октаэдрической площадке. Сравнить результаты теоретического (аналитического) и графического решений, оценить погрешность

Построение приведено на рисунке 4.

Точка Р, определенная графически, имеет значения:

у₀^г=64 МПа; ф₀^г=88 МПа.

Аналитическое (теоретическое) значения октаэдрического напряжения составляет:

у₀=63,3 МПа; ф₀=90,3 МПа.

Абсолютная погрешность составляет:

для нормальных октаэдрических напряжений

для касательных октаэдрических напряжений

Погрешность может быть связана с неточностями построения кругов Мора.

12. Определение с помощью кругов Мора графически значения нормального и касательного напряжений, действующих на площадке с направляющими косинусами:a₁=0,5; a₂=0,707; a₃=0,5

Построение приведено на рисунке 5.

Точка Р, определенная графически, имеет значения:

у_п=71 МПа; ф_п=78 МПа.

20

13. Построение эллипсоида напряжений в главных осях

Построение приведено на рисунке 6.

у₁=157,6 МПа; у₂=90,8 МПа; у₃= -58,4 МПа.

Рисунок 6 Эллипсоид напряжений

14. Сводная таблица напряжений и направляющих косинусов

Номер нижнего индекса	1	2	3
Инварианты I, МПа	190	200	-836000
Главные нормальные напряжения у, МПа	90,7971628	-58,415418	157,618255
Направляющие косинусы
a?	0,683967403	-0,705103241	0,187131
a?, град	46,85	134,84	79,21
a??	-0,341017816	-0,082266243	0,936450273
a??, град	109,94	94,72	20,54
a???	0,644899559	0,704316466	0,296720196
a???, град	49,84	45,23	72,74
Гидростатическое давление p, МПа	-63,333333
Главные касательные напряжения ф, МПа	ф12=33,410546	ф23=16,1908726	ф31=49,601419
Интенсивность напряжений
для произвольно ориентированных площадок, МПа	уi=191,5724406	фi=110,6044002
для главных площадок, МПа	уi=191,5724406	фi=110,6044002
Октаэдрическое напряжение
МПа	у0=63,333	ф0=90,30811456

Список литературы

1. Аркулис Г.Э., Дорогобод В.Г. Теория пластичности. М.: Металлургия, 1997. 352 с.

2. Безухов Н.И. Основы теории упругости, пластичности и ползучести. М.: Высшая школа, 1968. 512с.

3. Джонсон У., Меллор П. Теория пластичности для инженеров. Пер.c англ. М.: Машиностроение, 1979. 568с.

4. Филин А.П. Прикладная механика твердого деформированного тела. Тем I. М.: Наука, 1975. 832 с.

5. Курс лекций по дисциплине «Механика сплошных сред».

6. Максимук В.С., Мохов А.И. Методическое указание к курсовой работе по дисциплине «Механика сплошных сред». Волгоград, 1996. 24 с.

Размещено на Allbest.ru