Математическая модель трансформации форм фосфора, азота и кремния в движущейся турбулентной водной среде в задачах динамики планктонных популяций

Размещено на http://www.allbest.ru

Размещено на http://www.allbest.ru

В настоящее время существует потребность моделирования биогеохимических процессов в водных экосистемах с целью их предсказания. Эта проблема актуальна для Азовского моря и в особенности для Таганрогского залива, подвергающихся эвтрофикации.

В данной статье рассматривается нестационарная пространственно-трехмерная модель трансформации форм фосфора, азота и кремния и их взаимодействия с планктонной популяцией, которая достаточно полно описывает биогеохимические процессы, происходящие в мелководных водоемах, подобных Азовскому морю.

Модель основана на системе уравнений диффузии-конвекции-реакции. Каждый блок модели описывается дифференциальным уравнением в частных производных вида:

(1)

где - концентрация i-ой компоненты, - компоненты вектора скорости водного потока, , , - химико-биологический источник, индекс указывает на вид субстанции, iM, M={F1, F2, F3, PO4, POP, DOP, NO3, NO2, NH4, Si}.

Химико-биологические «источники» и «стоки» описываются следующими зависимостями:

,

,

,

,

,

,

,

,

где , 1 - это , 2 - , 3 - , а - символические обозначения видов планктона, - удельная скорость дыхания фитопланктона; - удельная скорость отмирания фитопланктона; - удельная скорость экскреции фитопланктона; - удельная скорость автолиза РОР; - коэффициент фосфатофикации РОР; - коэффициент фосфатофикации DОР; - удельная скорость окисления аммония до нитритов в процессе нитрификации; - удельная скорость окисления нитритов до нитратов в процессе нитрификации, , - нормировочные коэффициенты между содержанием N и P и весом во влажном состоянии.

Скорость роста фитопланктона определяется выражениями:

,

;

где KNF - максимальная удельная скорость.

Структура взаимодействия отдельных блоков модели имеет вид:

Рис. 1. - Модельная схема биогеохимической трансформации форм фосфора, азота и кремния. ChV - зеленая водоросль Chlorella vulgaris, AF-A - синезеленая водоросль Aphanizomenon flos-aquae, SC - диатомовая водоросль Sceletonema costatum, PO4 - фосфаты, POP - взвешенный органический фосфор, DOP - растворенный органический фосфор, NH4,- аммоний, NO2 - нитриты, NO3 - нитраты, Si - растворенный неорганический кремний.

Присоединим начальные условия:

, , i M(2)

и граничные:

на цилиндрической боковой поверхности; (3)

на свободной поверхности водоема; (4)

, , на дне, (5)

где - неотрицательные постоянные,, i{F1, F2, F3} учитывают опускание водорослей на дно и их затопление; , i{PO4, POP, DOP, NO3, NO2, NH4, Si} учитывают поглощение питательных веществ донными отложениями.

Для получения условий существования и единственности задачи (1)-(5) проведем линеаризацию системы временной сетке . Члены вида линеаризуются в пределах каждого временного шага, а именно, вместо уравнения (1) рассматривается цепочка уравнений вида:

биогеохимический дифференциальный уравнение турбулентный

, (6)

где:

, ,

,

,

,

,

,

,

.

К начальным условиям (2) присоединяются следующие условия:

, (7)

где - «финальное» решение задачи (6) для предыдущего временного интервала .

Для линеаризованной системы построим квадратичный функционал, в результате преобразований которого и будут получены искомые условия. Имеет место теорема.

Теорема. Пусть поставлена начально-краевая задача для линеаризованной по правым частям системы уравнений (6) с дополнительными условиями: начальными (2,7) и граничными (3-5).

Пусть принадлежат классу , , , и для каждого выполняются неравенства:

.

Тогда решение поставленной задачи существует и единственно.

Используя полученную математическую модель можно составить прогноз развития экосистемы на длительный срок и для различных значений входных параметров, разработав программный комплекс для многопроцессорной вычислительной системы.

Размещено на Allbest.ru