Конечно-элементное моделирование ползучести пластин произвольной формы

А.С. Чепурненко, А.В. Сайбель, А.А. Савченко

Донской государственный технический университет, Ростов-на-Дону

Аннотация

В статье приведен вывод уравнений изгиба треугольного конечного элемента пластины с учетом ползучести. При выводе уравнений используется вариационный принцип Лагранжа. Задача сводится к системе линейных алгебраических уравнений. Полученные уравнения позволяют рассчитывать пластинки произвольной формы с учетом вязкоупругих свойств материала. Приведен пример расчета прямоугольной полимерной пластинки из вторичного ПВХ, шарнирно опертой по контуру и загруженной равномерно распределенной по площади нагрузкой. В качестве закона, устанавливающего связь между деформациями ползучести и напряжениями, используется нелинейное уравнение Максвелла-Гуревича. Представлены графики изменения во времени напряжений и прогиба. Напряжения в процессе ползучести меняются несущественно, разница между напряжениями в начале и в конце процесса ползучести не превышает 6%.

Ключевые слова: ползучесть, метод конечных элементов, изгиб пластин, полимеры, уравнение Максвелла-Гуревича, длительная цилиндрическая жесткость.

Известно, что для многих конструкционных материалов характерно явление ползучести, т.е. развитие во времени деформаций при постоянных нагрузках. В то же время на данный момент отсутствуют общие методы расчета конструкций и их элементов с учетом реологии материала. В литературе приводятся некоторые частные решения для стержневых элементов [1-4], пластин [5] и оболочек [6]. В работе [5] рассматривается методика расчета прямоугольных пластин с учетом ползучести методом конечных разностей, однако данная методика неприменима для пластин произвольной формы.

В настоящей статье приводится вывод уравнений изгиба с учетом ползучести для плоского треугольного конечного элемента, что позволяет рассчитывать пластины произвольной формы.

Рассматриваемый конечный элемент представлен на рис. 1. В каждом из его узлов имеется 3 степени свободы: прогиб и 2 угла поворота и . Поле перемещений конечного элемента записывается в виде:

изгиб вариационный пластина ползучесть

(1)

где

Рис. 1. - Треугольный конечный элемент пластины

Для функции прогиба принимается следующая аппроксимация, которая также используется в работе [7]

(2)

где - неопределенные коэффициенты, - L-координаты, определяемые следующим образом:

где - площадь конечного элемента, .

Остальные коэффициенты определяются путем циклической замены индексов . Постоянные можно найти, подставив в выражение (2) узловые значения прогибов и углов поворота. При этом возникает необходимость дифференцирования по координатам и . Производные по декартовым координатам вычисляются следующим образом:

(3)

Окончательно функция прогибов записывается в виде:

(4)

где , , - функции формы.

. (5)

Выражения для и также можно получить путем циклической замены индексов.

При выводе уравнений используется вариационный принцип Лагранжа.

Потенциальная энергия деформации пластинки определяется следующим образом:

(6)

где - вектор напряжений, - вектор упругих деформаций, которые представляют разность между полными деформациями и деформациями ползучести:

(7)

Деформации связаны с напряжениями следующим образом:

 (8)

где - матрица упругих постоянных.

Вектор полных деформаций определяется следующим образом:

(9)

Элементы матрицы являются функциями от и . Данная матрица нами была получена в символьном виде в математическом пакете Matlab и здесь не приводится ввиду ее громоздкости.

С учетом (9) векторы напряжений и упругих деформаций записываются в виде:

(10)

Подставив (10) в (6), получим:

Если на элемент действует равномерно распределенная нагрузка, то работа внешних сил записывается в виде:

После минимизации полной энергии по узловым перемещениям задача сводится к системе линейных алгебраических уравнений:

(11)

где - матрица жесткости, - вектор внешних узловых нагрузок, - вклад деформаций ползучести в вектор узловых нагрузок.

Интегралы по площади в выражениях для и вычисляются численно. В матрицу жесткости и вектор нагрузки входят члены со степенью не выше второй, поэтому интегрирование будет точным при использовании всего лишь трех точек (середин сторон элемента) [7]. Формула интегрирования записывается в виде:

Интегралы по толщине пластинки вычисляются методом трапеций.

Был выполнен расчет прямоугольной шарнирно опертой по контуру пластинки, загруженной равномерно распределенной нагрузкой q (рис. 2).

Материал пластинки - вторичный ПВХ, модуль упругости коэффициент Пуассона , величина нагрузки q = 2 кПа, размеры пластины: a = 0.8 м, b = 0.6 м, толщина пластинки . В качестве закона ползучести использовалось нелинейное уравнение Максвелла-Гуревича, которое при плоском напряженном состоянии записывается в виде:

где - функция напряжений, - релаксационная вязкость.

где - среднее напряжение, - символ Кронекера, - модуль высокоэластичности.

где - начальная релаксационная вязкость, - модуль скорости.

Для сдвиговой деформации ползучести:

Рис. 2. - Расчетная схема пластинки

Реологические параметры ПВХ при различных температурах приводятся в работах [8-9]. При , ,

Полученный в результате график роста прогиба в центре пластины представлен на рис. 3. Отметим, что для пластин, материал которых подчиняется уравнению Максвелла-Гуревича, отношение прогибов при и должно быть равно:

где - цилиндрическая жесткость пластинки, - длительная цилиндрическая жесткость, впервые введенная в работе [10].

где

Рис. 3. - График роста прогиба в центре пластины

По результатам численного расчета отношение составило 1.2092, что отличается от точного значения на 0.26% и свидетельствует о достоверности полученных уравнений и методики.

Рис. 4. - Изменение во времени наибольших напряжений

На рис. 4 представлены графики изменения во времени наибольших напряжений. Напряжения выросли на 0.93%, - на 4.05 %, наибольшие касательные напряжения снизились на 6%.

Литература

1. Козельская М.Ю., Чепурненко А.С., Литвинов С.В. Применение метода Галёркина при расчете на устойчивость сжатых стержней с учетом ползучести // Инженерный вестник Дона. 2013. №2.

2. Andreev V.I., Chepurnenko A.S., Yazyev B.M. Energy method in the calculation stability of compressed polymer rods considering creep // Advanced Materials Research. 2014. Vol. 1004-1005. pp. 257-260.

3. Козельская М.Ю., Чепурненко А.С., Литвинов С.В. Расчет на устойчивость сжатых полимерных стержней с учетом температурных воздействий и высокоэластических деформаций // Научно-технический вестник Поволжья. 2013. № 4. С. 190-194.

4. Чепурненко А.С., Языев Б.М. Оптимизация формы поперечного сечения сжатых стержней из условия устойчивости // Научное обозрение. 2012. № 6. С. 202-204.

5. Andreev V.I., Yazyev B.M., Chepurnenko A.S. On the bending of a thin polymer plate at nonlinear creep // Advanced Materials Research. 2014. Vol. 900. pp. 707-710.

6. Дудник А.Е., Чепурненко А.С., Никора Н.И. Плоская осесимметричная задача термовязкоупругости для полимерного цилиндра /Инженерный вестник Дона. 2015. №1.

7. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике. М.: Мир, 1975 538 с.

8. Chepurnenko A.S., Beskopylnyi A.N., Jazyev B.M., Andreev V.I. Determination of rheological parameters of polyvinylchloride at different temperatures // MATEC Web of Conferences. 2016.

9. Дудник А.Е., Чепурненко А.С., Литвинов С.В. Определение реологических параметров поливинилхлорида с учетом изменения температуры // Пластические массы. 2016. № 1-2. С. 30-33.

Размещено на Allbest.ur