Моделирование задержек сигналов в межсоединении на основе углеродных нанотрубок

С повышением степени интеграции электроники и увеличением числа элементов в электронных средствах растут проблемы их связи и взаимодействия в процессе функционирования. В общем случае соединения должны обеспечить передачу информации без искажений в минимально возможное время. В настоящее время основное применение получили металлические проводники, оптоволокно и микроволновая связь, каждые из которых имеют свои достоинства и недостатки. При разработке наноустройств исследователи сталкиваются с одной важной проблемой - резким падением проводимости привычных медных проводов, при уменьшении поперечного сечения провода до размеров свободного пробега электрона (40 нм для меди), чего не наблюдается у углеродной нанотрубки и дает возможность использования ее в качестве межсоединения [1,2]. В работах [3,4], были рассмотрены варианты формирования межсоединения с использованием связок углеродных нанотрубок (рис.1). Трубки имели диаметр 50-100 нм и длину до 5 мкм.

Рис. 1. Нанотрубки в качестве межсоединения

Необходимо отметить, что экспериментальное моделирование межсоединений наномодулей является трудоемким, требующим использования дорогого оборудования и не всегда осуществимым ввиду недостаточного на данный момент технического развития. Таким образом, теоретическая модель межсоединения является на данный момент наиболее применимым решением моделирования нанообъектов.

Для достижения цели, поставленной данной работой, необходимо решить следующие задачи:

· определить набор параметров и свойств, характеризующих особенности функционирования углеродных нанотрубок в качестве межсоединения;

· провести анализ электрических параметров межсоединений наномодулей;

· разработать методику и провести моделирование анализа задержек сигналов.

Сопротивление нанотрубки является функцией приложенного напряжения [5]. Так при напряжении меньшем 0,16 В сопротивление определяется по формуле:

(1)

где - сопротивление при низком напряжении, - постоянная Планка (), - заряд электрона (), - длина нанотрубки, - средняя длина свободная пробега электрона (~ 1,6 мкм).

При напряжении сопротивление определяется по формуле:

(2)

где - дифференциальное сопротивление нанотрубки, когда .

(3)

где

(4)

Бурке предложил RLC-модель одиночной нанотрубки, на которой, как показано в работе [6], особенность электрических свойств углеродных нанотрубок может быть учтена включением в их эквивалентную электрическую схему, помимо распределенных по длине проводника традиционных электростатической емкости и магнитной индуктивности, двух дополнительных распределенных элементов: кинетической индуктивности и квантовой емкости.

Эквивалентная схема сегмента межсоединения из углеродной нанотрубки, представлена на рис. 2.

Рис. 2. Эквивалентная схема сегмента межсоединения из углеродной нанотрубки

Кинетическая индуктивность характеризует эффект «запасания» тока в нанопроводнике не за счет магнитного поля, а вследствие инерции движения носителей заряда. Электроны реагируют на приложенное электрическое поле не мгновенно, а с некоторой задержкой. Поэтому при воздействии периодически изменяющихся электрических полей соответствующие вариации скорости электронов отстают по фазе от изменений напряженности электрического поля. Внешне это проявляется аналогично наличию индуктивности [7].

В случае макроскопических проводников кинетическая индуктивность всегда много меньше обычной «магнитной» индуктивности. В тонких же проводниках, например пленках, площадь поперечного сечения и концентрацию электронов можно сделать достаточно малыми, и тогда кинетическая индуктивность становится доминирующей. Аналогичный эффект наблюдается и в нанотрубках, где кинетическая индуктивность обычно в 10 тыс. раз превышает распределенную «магнитную» индуктивность.

(5)

где - скорость Ферми для носителей заряда ().

Для углеродных нанотрубок в [5] указана величина м/с, таким образом, удельная линейная кинетическая индуктивность составит .

Емкость углеродной нанотрубки является результатом двух емкостей: квантовой и электростатической.

Применительно к одномерному случаю нанотрубок в работе [8] квантовая емкость на единицу длины определяется как

(6)

При скорости Ферми для углеродных нанотрубок м/с удельная квантовая емкость составляет порядка 100 пФ/м.

Электростатическая емкость находится по формуле:

(7)

где у - расстояние от углеродной нанотрубки до земли, d - диаметр нанотрубки.

Рис. 3. Углеродная нанотрубка над слоем «земля»

Когда длина нанотрубки больше ее расстояние до «земли», пФ/м.

Передаточная функция пучка нанотрубок. На рис. 4 (a) показано межсоединение связки углеродных нанотрубок длины lth. На основании нанесен двойной слой оксида кремния и кремний. Его эквивалентная электрическая модель представлена на рис. 4 (б).

сигнал межсоединение углеродный нанотрубка

(а)

(б)

Рис. 4. Геометрия межсоединения (а); и (б) его эквивалентная распределенная электрическая модель: R_tr и C_out - входные эквивалентные сопротивление и емкость, C_load - емкость нагрузки на выходе, R_mc - сопротивление контакта нанотрубка-металл, R_sb - сопротивление нанотрубки, - квант сопротивления [9].

Из-за существующего ограничения в технологии связка представляет собой смесь металлических и полупроводниковых нанотрубок [7]. Таким образом:

(8)

где - количество металлических нанотрубок в межсоединении,

(9)

(10)

.(11)

где - вероятность металлической проводимости нанотрубки, и - количество нанотрубок в связке в вертикальных и горизонтальных направлениях соответственно [10]; int указывает, что только целая часть числа принята во внимание; D и (~ 0,34 nm [10]) обозначают диаметр каждой металлической нанотрубки и расстояние между двумя соседними трубами в связке, соответственно.

С учетом количества металлических нанотрубок в межсоединении:

(12)

(13)

В схеме рис. 4 (a), когда , передаточная функция напряжения в лапласовской области может быть вычислена:

(14)

где , и - комплексная частота.

Передаточную функцию при замене и [11,12] можно преобразовать в линейный эквивалент:

(15)

где - коэффициенты, зависящие от электрических параметров схемы [13].

Также математическую модель межсоединения можно получить с помощью Фурье-преобразований.

Сигнал на входе межсоединения можно представить в виде:

(16)

Соответствующий сигнал в области частоты может быть описан в виде:

(17)

Передаточная характеристика RLC:

(18)

Тогда сигнал, прошедший через межсоединение длиной l можно представить в виде:

(19)

Переходя во временную область, путем обратного Фурье-преобразования, получаем исходный сигнал на выходе межсоединения во временной области:

(20)

На основании выше изложенного было произведено моделирование задержки сигнала в среде MathCad 14 (рис. 5).

Рис. 5. Функция задержки сигнала в зависимости от длины межсоединения

Данная зависимость дает возможность прогнозировать задержку сигнала при увеличении длины межсоединения.