Исследование напряжений на линии сопряжения ступенчатой пластины

Размещено на http://www.allbest.ru/

Исследование напряжений на линии сопряжения ступенчатой пластины

П.В. Дородов

Различные детали и рабочие органы машин могут иметь резкие переходы от одного сечения к другому. В этих зонах проявляется значительная концентрация напряжений под действием внешних нагрузок, приводящая к возникновению трещин или больших остаточных деформаций, что является недопустимым явлением. Известно много методов определения напряжений в таких зонах. [1, 2] В данной работе предлагается метод определения напряжений и коэффициента концентрации, позволяющий прийти к точному решению задачи.

На примере плоской задачи рассмотрим сопряжение ступени 1 и основания 2 пластины переменной жесткости (рис.1). Линия сопряжения представляет собой прямую [-t;t], соединяющую углы перехода от ступени к основанию.

Рис. 1 Сопряжение ступенчатой пластины

1 - ступень, 2 - основание

Для решения этой задачи используем характеристическую часть особого интегрального уравнения с постоянными коэффициентами а и b на отрезке [-t;t] [3, 4, 5]:

,

где ; U, V - перемещения точек линии сопряжения; ; - нормальные и касательные напряжения на линии сопряжения.

На рисунке 2 изображена пластина после внедрения ступени в основание.

Рис. 2 Ступень после внедрения в основание

q - внешняя нагрузка; д - вертикальное перемещение линии сопряжения; г - угол наклона касательной в точке перехода контура пластины от ступени к основанию

В случае неограниченного решения в узлах имеем [3, 4, 6]:

, (1)

где

а*, b*, С- постоянные.

Предположим, что линия сопряжения после нагружения пластины остается прямой или ее искривлением можно пренебречь, тогда на линии интегрирования перемещения принимают вид:

где д, b₁ - некоторые постоянные и

,

а выражение (1) после разложения на действительную и мнимую части можно переписать

; . (2)

Кроме напряжений у_у и ф_ху возникает еще и у_х, которое можно определить по закону Гука

, (3)

где , G - модуль сдвига, н - коэффициент Пуассона.

Для определения постоянных воспользуемся уравнением равновесия:

(4)

и краевым условием - при х=0 нормальные напряжения из условий симметрии будут равны главным:

тогда для максимальных касательные напряжений запишем

или с учетом (2) и (3), имеем

. (5)

Решая совместно (4) и (5), получаем:

, где

, ,

а напряжения примут вид:

(6)

Из формул (6) видно, что на концах линии сопряжения напряжения у_у и ф_ху неограниченно возрастают. Это объясняется идеально острыми углами. На самом деле углы скруглены. Переход от ступени к основанию пластины с закругленными углами изображен на рисунке 3.

Рис. 3 Ступенчатая пластина со скругленными углами

Обозначим через б_у теоретический коэффициент концентрации напряжений по нормальным напряжениям у_у , то есть

.

Здесь

,

где t₀ - полуширина ступени пластины с идеально прямыми (неокругленными) углами,

.

Тогда имеем

откуда

. (7)

Далее предположим, что скругленный угол по контуру совпадает с частью гиперболы (см. рис. 3)

в системе координат х₁, у₁ с действительной t и мнимой h полуосями. Оси х₁, у₁ повернуты к осям х, у под углом в 45⁰.

Тогда для точки М скругленного контура можно записать

. (8)

Так как б_у зависит только от геометрии угла, следовательно, в точках линии гиперболы и эллипса с одинаковой кривизной коэффициенты концентрации должны быть одинаковы.

Согласно [7, 8] для эллипса имеем:

,

откуда

. (9)

Учитывая (9), из выражения (8) получаем

. (10)

Приравнивая правые части (7) и (10), имеем

.

Обозначим относительный радиус , тогда последнее выражение можно переписать напряжение концентрация ступенчатый пластина

. (11)

На рисунке 4 изображена графическая зависимость (11) теоретического коэффициента концентрации напряжений от радиуса кривизны галтели и коэффициента Пуассона, который для всех материалов принимает значения и которому соответствует . Построение проводилось в среде пакета программ Maple. Предложенное решение хорошо согласуется с действительным коэффициентом концентрации напряжений, найденным для модели из органического стекла (н=0,35) при помощи лазерного интерферометра по методике, описанной в [9, 10]. Так, при действительный коэффициент концентрации составил 1,48, а теоретическое значение, найденное по выражению (11) дает 1,52, то есть относительное отклонение теории от эксперимента равно 2,7%.

Рис. 4 Графическая взаимосвязь между коэффициентом концентрации напряжений и радиусом галтели

Из анализа графической зависимости можно сделать следующие выводы:

- так как линии с предельными коэффициентами Пуассона практически совпадают, то для исследования концентрации напряжений в галтелях можно пользоваться примерной формулой при

; (12)

- из выражения (12) видно, что при , а так как в ступенчатых деталях используются выкружки с относительными радиусами от 0,5 до 0,1, которым соответствуют коэффициенты концентрации напряжений , следовательно, применение технологического скругления углов с постоянными радиусами не является оптимальной формой перехода.

Литература

1. Попов Г.Я. Концентрация упругих напряжений возле штампов, разрезов, тонких включений и подкреплений. - М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1982. - 344 с.

2. Бескопыльный А.Н. Методика экспериментального исследования предварительных напряжений в образце при вдавливании индентора / А.Н. Бескопыльный, А.А. Веремеенко // Инженерный вестник Дона [Электронный ресурс].- 2012. -№4. - Режим доступа: http://www.ivdon.ru/.

3. Мусхелишвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения. - М.: «Наука», 1968. - 512 с.

4. Дородов П.В. Приведение краевой задачи для плоского упругого тела к одному особому интегральному уравнению / П.В. Дородов // Политематический сетевой электронный научный журнал Кубанского государственного аграрного университета (Научный журнал КубГАУ) [Электронный ресурс]. - Краснодар: КубГАУ, 2012. - №06(80). - Режим доступа: http://ej.kubagro.ru/.

5. Дородов П.В. Исследование напряжений в окрестности плоского горизонтального выреза / П.В. Дородов, А.В. Кулагин // Инженерный вестник Дона [Электронный ресурс].- 2012. -№2. - Режим доступа: http://www.ivdon.ru/.

6. Trjitzinsky W.J. Singular integral equations with Cauchy kernels // Trans. Amer. Math. Soc. 1946. V.60. No. 2. P.167-214.

7. Демидов С.П. Теория упругости: Учебник для вузов. - М.: Высш. школа, 1979. - 432 с.

8. Inglis C.E. Stresses in а plate due to the presence of cracks and sharp corners // Trans. Institute of Naval Architects. 1913. V.55. P. 219-241.

9. Беркутов В.П. Интерферометр для определения нормальных напряжений в плоских прозрачных моделях / Н.В. Гусева, П.В. Дородов, М.М. Киселев // Датчики и системы, - №2. - 2009. - С. 26-30.

10. Беркутов В.П. Полярископ для определения разности главных напряжений в плоских моделях, изготовленных из оптически малочувствительных прозрачных материалов / Н.В. Гусева, П.В. Дородов, М.М. Киселев // Вестник Ижевского государственного технического университета, - №4 (40). - 2008. - С. 108-110.

Размещено на Allbest.ru