,

где - веса, с которыми берутся значения функции в точках x_i. Положения точек и веса функций вычисляются точно для квадратур любого порядка. На практике, однако, редко используются квадратуры выше 10-го порядка. В таблице приведены значения аргумента и соответствующие веса для нескольких первых квадратур.

Для произвольного интервала интегрирования получаем квадратуру Гаусса-Лежандра:

Где .

Квадратуры Гаусса-Лежандра требуют минимум вычислений для достижения заданной точности интегрирования.

Сравнение различных методов интегрирования и их влияние на точность аппроксимации

Во-первых, необходимо выполнить дополнительные преобразования над формулами метода Симою. Рассмотрим формулу:

.

Обозначим , тогда . Согласно определению преобразования Лапласа, тогда .

Раскладывая функцию в ряд по степеням pt:

можем представить интеграл в выражении в виде суммы интегралов:

Введем обозначение:

В общем случае получим:

Тогда возвращаясь к предыдущим уравнениям, получим:

.

Перемножая степенные ряды от p и приравнивая в результирующем соотношении коэффициенты при одинаковых степенях р, получаем следующие выражения для коэффициентов S_k:

Для удобства расчета введем дополнительное обозначение и выполним сдвиг площадей на единицу вперед :

Или в общем случае:

2.6 Пример аппроксимации с использованием программы

автоматический аппроксимация интегрирование

Для решения задачи аппроксимации было создано приложение «Аппроксимация кривых разгона», реализующее алгоритм аппроксимации методом площадей Симою с графическим интерфейсом.

Главное окно представлено в незаполненном состоянии. Для наполнения его исходными данными пользователь должен нажать кнопку «Редактировать исходные данные». Перед ним возникнет окно «Ввод данных», которое в зависимости от предыдущей с ним работы может также оказаться пустым или быть наполнено текущими данными, если их вводили ранее.

Для заполнения окна данными пользователь должен либо загрузить данные из файла (*.pnt или *.tf), либо вручную ввести коэффициенты числителя и знаменателя, разделяя каждый коэффициент пробелом. При желании он также может указать временные настройки (начальное время, шаг, и конечное время), в противном случае они будут выбраны автоматически.

Для примера загрузим данные из файла. Нажмем пункт меню открыть -> открыть файл данных. Возникнет диалоговое окно выбора файла. Для примера выберем файл data3.tf. Нажимаем открыть. Данные загрузятся в окно. К данным относятся: имя файла, путь к файлу, описание, коэффициенты числителя и знаменателя, временной интервал (опционально). Как только данные буду прочитаны из файла, программа создаст передаточную функцию объекта и рассчитает экспериментальные точки кривой разгона.

В случае если данные не устраивают пользователя, он может выполнить их редактирование. может изменить коэффициенты передаточной функции и временной интервал (необходимо нажать кнопку «Создать передаточную функцию») или изменить непосредственно значения экспериментальных точек в списках «Данные Х» и «Данные Y». Если пользователь желает сохранить данные у него есть возможность сделать это двумя способами. Либо сохранить коэффициенты передаточной функции («Сохранить…» -> «Сохранить ПФ») или сохранить экспериментальные точки («Сохранить…» -> «Сохранить данные»). Для завершения работы с исходными данными необходимо нажать кнопку «ОК» для передачи данных главному окну или кнопку «Отмена» для отмены действий.

Нажмем кнопку «ОК».

Теперь приложение готово для выполнения основной функции - аппроксимации данных.

Необходимо выполнить следующие действия:

1. Руководствуясь указаниями по выбору порядка числителя и знаменателя, необходимо задаться порядками числителя и знаменателя. Например зададим порядки 2 и 4.

2. Заданное значение нужно указывать только в том случае если оно известно. Если нет, оставить -1.

3. Необходимо выбрать метод численного интегрирования. В программе представлены 4 метода численного интегрирования: метод трапеций, метод парабол Симпсона, метод Гаусса-Лежандра и метод Монте-Карло. У каждого метода имеются свои преимущества и недостатки, поэтому его выбор всегда индивидуален. Можно сказать, что метод трапеций является самым универсальным. Оставим его.

4. Все приготовления выполнены. Нажимаем на кнопку «Аппрокимировать».

В результате аппроксимации получаем:

- Аппроксимирующую передаточную функцию (коэффициенты числителя и знаменателя)

- Корни характеристического уравнения

- Аналитическую формулу переходного процесса

- Значение ошибки аппроксимации в процентах

- Аппроксимирующая и аппроксимируемая кривые наложены друг на друга.

Теперь аппроксимацию можно проводить и дальше, выбирая различные порядки числителя и знаменателя, разные методы интегрирования, с целью добиться наименьшей ошибки аппроксимации.

Приложение позволяет сформировать отчет о проделанной работе. Для формирования отчета необходимо выбрать пункт меню «Дополнительно» -> «Формирование отчета». Пользователю будет предложено ввести имя файла отчета. Нажмем сохранить. Далее пользователь должен подождать, пока формируется отчет. Как только возникнет информационное сообщение «Операция выполнена», пользователь может продолжить работу с программой.

Список литературы