Уединенные волны в физически линейных и нелинейных вязкоупругих стержнях

Размещено на http://www.allbest.ru/

1

Размещено на http://www.allbest.ru/

Уединенные волны в физически линейных и нелинейных вязкоупругих стержнях

Построим одномерную модель колебаний, учитывающую в определенной степени инерцию поперечных движений стержня. Отнесем бесконечный стержень неизменного поперечного сечения, свободный от внешних объемных и поверхностных воздействий, к системе координат, направив ось вдоль оси стержня, а оси y и расположим в одном из поперечных сечений.

Аппроксимируем перемещения точек стержня функциями [1]

дисперсионный волна уравнение стержень

,,,(1)

где - соответственно перемещения по осям x, y, z, - время, - коэффициент Пуассона.

Буквенные индексы, которые содержат функции (1), определяют частную производную от функции по указанной переменной, т.е.

, и т.д.

Конечные деформации стержня зададим соотношениями:

(2)

где индекс после запятой определяет частную производную от функции по соответствующей переменной, т.е. , предполагается, что ,

Для описания реологических свойств стержня воспользуемся уравнениями линейной вязкоупругости [2]

,(3)

где соответственно компоненты тензоров напряжений и деформаций; объемное расширение, символы Кронекера; параметры Ламе; - константы, определяющие реологические свойства стержня; Е модуль Юнга; коэффициент Пуассона.

Для упрощения исследования заменим интегральный оператор в (3) дифференциальным, разлагая функцию в ряд Тейлора по степеням (). Ограничиваясь двумя слагаемыми, что возможно для >>1, получаем

,(4)

где оператор и действует на функцию по правилу .

Формулы (4) можно представить в развернутом виде

или

,

где

,,

,,.

Уравнение движения стержня получим из вариационного принципа

,(5)

где точкой обозначена производная по t, плотность материала стержня, вариации деформаций, - вариации перемещений, а тройной интеграл вычисляется по объему стержня.

Вычислим вариации деформаций.

или в операторной форме

.

Используя формулы (4) и вариации компонент деформации, определим вариацию внутренней энергии:

или

.

Подставляя значение вариации внутренней энергии в выражение (5), получим уравнение движения стержня:

.

После преобразования имеем:

+

.

Перейдем в последнем уравнении к безразмерным переменным

, , , , ,

где - амплитудный параметр возмущения, , d - соответственно характерные длина волны и поперечный размер стержня, скорость волны, - характеристика нелинейности волнового процесса и допустим, что - малый параметр, т.е. характерная длина волны значительно превосходит амплитудный параметр , а поперечные размер стержня и реологические постоянные определяют отношения порядков

, .

Пренебрегая членами порядка выше, чем , получаем уравнение движения стержня:

(6)

Представим функцию в виде асимптотического разложения

.(7)

Учитывая введенные соотношения порядков и асимптотическое разло-

жение (7), из уравнения (6) в нулевом приближении получим

.

Так как , то из последнего уравнения следует, что скорость распространения волны

(8)

Из первого приближения получаем условие разрешимости уравнения для , которое дает известное уравнение Кортевега де Вриза - Бюргерса:

,(9)

где

, , .

Как и в линейном случае, рассмотрим бесконечный стержень неизменного поперечного сечения, свободный от внешних объемных и поверхностных воздействий в системе координат с осью , направленной вдоль линии центров тяжести поперечных сечений, и осями , , расположенными в одном из них.

Аппроксимируем перемещения точек стержня функциями (1), а конечные деформации стержня определим формулами (2).

Для описания реологических свойств стержня в отличие от предыдущего случая воспользуемся уравнениями квадратичной теории вязкоупругости [2]

,(10)

где , - параметры Ламе, - объемное расширение, - символы Кронекера - компоненты девиатора деформаций, -физические константы материала, - интенсивность деформаций.

Для упрощения исследования заменим интегральный оператор в уравнениях (10) дифференциальным, разлагая функцию

в ряд Тейлора по степеням . Ограничиваясь двумя слагаемыми ряда, что возможно для , получаем

где введены операторы

,,

действующие на функцию по правилу

,.

Вычислим компоненты девиатора деформаций:

,

где

или

.

Из вариационного принципа (5) получаем уравнение движения стержня, в котором перейдем к безразмерным переменным

, , , , ,

где - амплитудный параметр возмущения, , d - соответственно характерные длина волны и поперечный размер стержня, скорость волны, - характеристика нелинейности волнового процесса.

Допустим, что - малый параметр, т.е. характерная длина волны

значительно превосходит амплитудный параметр , а поперечные размер стержня и реологические постоянные определяют отношения порядков

, , ,

где - характерный размер поперечного сечения.

Опуская звездочки в выражениях для соответствующих безразмерных переменных, получим уравнение движения

+(11)

+,

где .

Представим функцию асимптотическим разложением . Подставляя это разложение в уравнение движения (11) и учитывая введенные отношения порядков, в нулевом приближении приходим к уравнению

,

где - модуль упругости. Так как то из полученного уравнения скорость распространения возмущения

Первое приближение дает модифицированное уравнение Кортевега де Вриза - Бюргерса

(12)

где ,, , .

Список литературы

1.Аршинов Г.А., Могилевич Л.И. Статические и динамические задачи вязкоупругости. Саратов: Изд-во СГАУ, 2002. 152 с.

2. Москвитин В.В. Сопротивление вязкоупругих материалов. М., 1972.

Размещено на Allbest.ru