Кинематический анализ нагруженности эпюр

Размещено на http://www.allbest.ru/

Задача

Для плоской фермы с поперечным сечением стержней в виде двух равнополочных уголков в соответствии с данными требуется:

1. Провести кинематический анализ. Вычислить способами моментной точки или проекции усилия в 4-х отмеченных стержнях. Проверить равновесие узла С.

2. Из условия прочности подобрать номер уголка. Определить предельную температуру при пожаре t_пр.

3. Проверить устойчивость наиболее сжатого стержня.

Дано:

Схема 3

L=30 м

Н=6.5 м

F=220 кН

Решение:

1. Кинематический анализ и вычисление N_j.

а) Кинематический анализ (КА).

КА - проверка геометрической неизменяемости несущей конструкции.

Необходимое условие: W 0. Число степеней свободы для ШСС вычисляется по формуле W=2Y-C-C₀ (вместо формулы для W плоской стержневой системы общего типа), где Y - число узлов; C - число стержней, их соединяющих; C₀ - число опорных стержней.

В примере: W=2*10-17-3 необходимое условие выполняется.

Достаточное условие. Структура фермы соответствует последовательному соединению трех дисков тремя шарнирами, не лежащими на одной прямой (правило треугольника).

К земле ферма крепится тремя опорными стержнями (два в опоре А, один в опоре В), оси которых параллельны и не пересекаются в одной точке (правило двух дисков), следовательно, достаточное условие выполняется.

Вывод: система геометрически неизменяема и статически определима (т.к. W=0). сечение эпюра нагружение силовой

б) Вычисление усилий N_j в заданных стержнях.

Сначала определяем опорные реакции. Из симметрии системы следует, что:

V_A=V_B=

а с учетом вида опор и нагружения H_А=0.

Отмеченные стержни фермы нумеруются.

Для определения усилий в стержнях 1, 4 проводим сечение I - I и рассматриваем равновесие правой части фермы, где N_j изображаются положительными направленными от сечения). Если это не так, знак вычисленного усилия будет отрицательным.

Усилие N₁ находим способом моментной точки, т.к. существуют соответствующие моментная точка К3 (точка пересечения линий N₄, N₅).

N₁-?, сечение I - I, *m_K3(F)=0, =arctg(2l/4H)=arctg(30/2*6.5)=66.57

Поскольку линии действия N₁ и N₅ параллельны, моментной точки для N₄ не существует. Для вычисления N₄ используем способ проекций (проецируем силы на ось y, перпендикулярную линиям действия N₁ и N₅).

N₄-?, сечение I - I, *F_y=0,

N₁cos+N₄-F/2-F/2+V_A=0

N₄= -Ncos+F/2+F/2-V_A = 622.5*cos66.57+110+110-605= -137.5 кН.

Для определения усилий в стержнях 2, 3 проводим сечение II - II.

При вычислении N₂, N₃ используем методы аналогичные предыдущим.

N₂-?, сечение II - II, *m_K4(F)=0,

N₃-?, сечение II - II, *F_y=0,

-N₃sin-2F/2-F+V_A=0

=arctg(4Н/l)=arctg(4*6.5/30)=40.91

N₃= (-2F/2-F+V_A)/sin= (-220-220+605)/sin40.91= 251.9 кН.

Правильность вычислений N_j (j=1,2,3,4) проверяется способом вырезания узлов. Если найденные усилия N_j верны, для проверяемого узла (узел С) должны выполняться уравнения равновесия (статическая проверка):

*F_x=0, *F_y=0,



*F_x= N₁sin+N₂+N₃cos= 622.5sin66.57-888.5+251.9*cos40.91=0

*F_y= -F+N₁cos+N₄-N₃sin= -220+622.5*cos66.57-137.5-251.9sin40.91=0

Искомые усилия определены верно:

N₁= 622.5 кН, N₂= -888.5 кН, N₃= 251.9 кН, N₄= -137.5 кН.

Знаки N₂, N₄, показывают, что истинные направления противоположны выбранным сначала.

2. Расчет на прочность и определение t_пр.

а) Расчет на прочность.

Тип прочностного расчета в задании 6 - проектировочный. Из условия прочности фермы:

, где

кН, для А (площади двух уголков) следует:

Для одного уголка

Из таблицы сортамента прокатных профилей для уголка подбираем сечение с ближайшим большим значением А: уголок №10 (10010010) с А₁=19.2 см².

Площадь всего сечения А=2А₁=2*19.2=38.4 см².

б) Определение t_пр.

Предельная температура фермы при пожаре находится из условия:

.

В нашем случае:

Графическое решение уравнения 231=_Т(t_пр), с учетом зависимости _Т(t_пр) даёт t_пр=285С.

3. Расчет на устойчивость.

Тип расчета на устойчивость в задании 6 - проверочный. В примере наибольшее сжимающее усилие испытывает стержень 2, для него:

а) коэффициент приведения длины м=1 (шарнирное опирание);

б) длина ;

в) минимальный радиус инерции сечения равен радиусу инерции I_X выбранного уголка №10;

г) гибкость ;

д) коэффициент продольного изгиба ц вычисляется с помощью линейной интерполяции:

так как значение л=246 попадает в интервал между значений (240;250), а минимальное значение в таблице 220, то берем его.

е) сниженное расчетное сопротивление цR_y=0.135*240=32.4 МПа;

ж) действующие нормальные напряжения

Сравнение |у| =231 МПа с цR_y=32.4 МПа показывает, что условие устойчивости |у| цR_y для стержня 2 не выполняется.

Это означает, что подбор поперечного сечения стержней фермы и оценка t_пр (в примере) определяются условием устойчивости.

Задача

Для многопролетной разрезной балки с поперечным сечением в виде двутавра в соответствии с данными требуется:

1. Провести кинематический анализ. Дать схему расчленения и построить эпюры Q и M.

2. Из условия прочности подобрать номер двутавра. Определить предельную температуру при пожаре t_пр.

3. Определить вертикальное перемещение сечения К от силового нагружения.

Дано:

Схема 3

F=15 кН

q=17.5 кН/м

m=25 кНм

Решение:

а) Кинематический анализ.

Необходимое условие W=3Д-2Ш-С-С₀=3*3-2*2-0-5=0 - выполняется, где Д=3 (диски AD, DK, KM); Ш=2; С=0 (заделка М эквивалентна трем опорным стержням, шарнирно-подвижные опоры в В, С - каждая одному).

Вывод: система в целом геометрически неизменяема и статически определима (так как W=0).

б) Схема расчленения балки и построение эпюр Q, M.

Разрезная балка расчленяется на составные части по шарнирам D, К. Связи в шарнирах заменяются реакциями. Так как заданные (активные) силы вертикальны, горизонтальные составляющие реакций отсутствуют.

Определение опорных реакций и усилий в шарнирах начинается с тех участков, где число неизвестных не превышает двух.

Участок DK

m_D(F)=0, -q*3*1.5+V_K*3=0, V_K=(17.5*3*1.5)/3=26.25 кН

m_K(F)=0, q*3*1.5-V_D*3=0, V_D=(17.5*3*1.5)/3=26.25 кН

Участок AD

m_B(F)=0, -m-q*6*3+V_C*4-V_D*6=0,

V_C=(25+17.5*6*3+26.25*6)/6=124.38 кН

m_C(F)=0, -V_D*2+q*6*1-V_B*4-m?0,

V_B=(-26.25*2+17.5*6*1-25)/6=6.87 кН

Участок KM

m_M(F)=0, -m_M+F*1+V_K*20, m_M=26.25*2+15*1=67.5 кНм

m_K(F)=0, -F*1-m_M+V_M*20, V_M=(15*1+67.5)/2=41.25 кН

Построение эпюр Q, М ведется методом сечений для каждого участка отдельно. После этого изображаются окончательные эпюры для всей балки.

Участок I (0 z 1м)

Q=0

М= m=25 кНм

Участок II (0 z 4м)

Q=V_B-q*z Q(0)=6.87 кН

Q(4)=6.87-17.5*4= -63.13 кН

Q=0 z₀=6.87/17.5=0.39 м

М= m+V_B*z-qz²/2 M(0)= 25 кНм

M(4)= 25+6.87*4-17.5*4²/2=87.52 кНм

M_max=M(0.39)= 25+6.87*0.39-17.5*0.39²/2= -26.35 кНм

Участок III (0 z 2м)

Q=V_N-q*(4+z)+V_C Q(0)= -63.13+124.38=61.25 кН

Q(2)= 6.87-17.5*6+124.35=26.25 кН

М= m+V_B*(4+z)-q*(4+z)²/2+V_C*z M(0)= 87.52 кНм

M(2)= 25+6.87*6-17.5*6²/2+124.38*2= 0

Участок VI (0 z 2м)

Q= -V_M= -41.25 кН

М= -m_M+V_Mz M(0)= -67.5 кНм

M(2)= -67.5+41.25*1= -26.25 кНм

Участок V (0 z 1м)

Q= -V_M+F= -41.25+15= -26.25 кН

М= -m_M+V_M*(1+z)-Fz M(0)= -26.25 кНм

M(1)= -67.5+41.25*2-15*1=0

Участок IV (0 z 2м)

Q=V_A-q*z Q(0)=53.75 кН

Q(2)=53.75-18.5*2=16.75 кН

М= -m_A+V_A*(1+z)-qz²/2 M(0)= -70.5 кНм

M(2)= -124.25+53.75*3-18.5*2²/2=0

Участок V (0 z 3 м)

Q=-V_M+F+q*z Q(0)= -26.25 кН

Q(3)= -41.25+15+17.5*3= 26.25 кН

Q=0 z₀=26.25/17.5=1.5 м

М= -m_M+V_M*(2+z)-F*(1+z)-qz²/2 M(0)= 0

M(3)= -67.5+41.25*5-15*4-17.5*3²/2=0

М_max=M(1.5)= -67.5+41.25*3.5-15*2.5-17.5*1.5²/2= 19.69 кНм

2. Расчет на прочность и определение t_пр при пожаре.

а) Расчет на прочность.

Тип расчета на прочность в задании 7 - проектировочный. Из условия прочности по нормальным напряжениям

для W_X в опасном сечении (=87.52 кНм) следует:

Из таблицы сортамента прокатных профилей для двутавра выбирается сечение с ближайшим большим значением W_X - двутавр №27, для него:

W_X=371 см³, I_X=5010 см⁴, S_X=210 см³.



б) Определение t_пр .

При изгибе статически определимой балки t_пр определяется из уравнения:

.

Графическое решение уравнения _Т(t_пр)=208 МПа даёт t_пр=270С.

3. Определение перемещения сечения К от силового нагружения.

Определим перемещение сечения К способом Верещагина.

В точке К прикладываем единичную силу Х=1 и строим эпюру М₁.

Тогда

Сечение К перемещается вниз на 0.0082 м.

Задача

Для плоской рамы с поперечным сечением в виде двутавра в соответствии с данными требуется:

1. Провести кинематический анализ. Выбрать основную систему. Составить и решить канонические уравнения метода сил.

2. Построить эпюры M, Q, N от силового нагружения. Из условия прочности подобрать номер двутавра.

3. Построить эпюры M, Q, N от равномерного нагрева внутренней и внешней поверхностей заданного участка при пожаре на t₂ и t₁С соответственно. Проверить условие прочности.

Дано:

Схема 3

F=34 кН

m= 23 кНм

q=18 кН/м

t₂=148С

t₁=34С

нагретый участок AL

Решение:

1. Кинематический анализ, выбор основной системы и решение системы канонических уравнений.

а) Кинематический анализ.

Степень статически неопределимой рамы

S=3K-Ш=2

Вывод: система геометрически неизменяема и два раза статически неопределима.

б) Выбор основной системы ОС.

в) Канонические уравнения МС:

₁₁M₁+₁₂M₂+_1F=0,

₂₁M₁+₂₂M₂+_2F=0.

Определим коэффициенты ₁₁, ₁₂, ₂₁, ₂₂, _2F и _1F способом Верещагина.

Эпюра М_F в основной системе от заданных нагрузок.

Реакции опор:

V_A=V_B=F/2=34/2=17 кН

m_C^справа=0 m+V_B*2-x_B*2=0

x_B=(19+8.5*2)/2=18 кН

х_А=х_В=18 кН

Эпюра М₁ от единичного момента М=1, приложенного в точке А.

Реакции опор:

m_В=0 -M+V_A*4=0

V_A=0.25

F_y=0 -V_A+V_B=0

V_B=0.25

m_C^справа=0 V_B*2-x_B*4=0

х_B=V_В/2=0.125 кН

F_x=0 x_A-x_B=0

x_B=0.125



Эпюра М₂ от единичного момента М=1, приложенного в точке B.

Реакции опор:

m_A=0 M-V_B*4=0

V_B=0.25

F_y=0 V_A-V_B=0

V_B=0.25

m_C^слева=0 -V_A*2+x_A*4=0

х_А=V_A/2=0.125 кН

F_x=0 x_A-x_B=0

x_B=0.125

Тогда

Составляем и решаем каноническое уравнение:

3*M₁-1.67*M₂-66.8=0

-1.67*M₁+3*M₂-66.8=0

M₁= 50.1 кНм

M₂= 50.1 кНм

2. Построение эпюр N, Q, M и расчет на прочность.

Реакции опор:

V_A=V_B=F/2=34/2=17 кН

m_C^справа=0 m+M₂+V_B*2+x_B*4-q*4*2=0

x_B=(-23-50.1+17*2+18*4*2)/4=26.23 кН

F_x=0 x_A-x_B=0

х_А=26.23 кН

Участок I (0 z 2м)

N= -V_A= -17 кН

Q= -x_A+qz

Q(0)= -26.23 кН

Q(2)= -26.23+18*2=9.77 кН

Q=0 z₀=26.23/18=1.46

М= -M₁-x_A*z+qz²/2

M(0)= -50.1 кНм

M(2)= -50.1-26.23*2+18*2²/2=

=66.56 кНм

M_max(2)=M(1.46)=

=-50.1-26.23*1.46+18*1.46²/2=

=69.2 кНм

Участок II (0 z 2м)

N= -V_A= -17 кН

Q= -х_A+q(2+z)

Q(0)=9.77 кН

Q(2)= -26.23+18*4=45.77 кН

М= -M₁-x_A(2+z)+q(2+z)²/2-m

M(0)= -66.56-23= -89.56 кНм

M(0)= -50.1-26.23*4+18*4²/2-23=

= -34 кНм

Участок III (0 z 2м)

N= -x_A +q*4= -26.23+18*4=45.8 кН

Q= V_A=17 кН

М= -34+V_A*z

M(0)= -34 кНм

M(2)= -34+17*2= 0

Так как рама и нагрузка симметричны, то на участках III и IV эпюры симметричны.



2. Расчет на прочность.

Тип расчета на прочность в задании 10 - проектировочный. Из условия прочности по нормальным напряжениям

для W_X в опасном сечении (=89.56 кНм) следует:

Из таблицы сортамента прокатных профилей для двутавра выбирается сечение с ближайшим большим значением W_X - двутавр №27а, для него:

W_X=407 см³, I_X=5500 см⁴, S_X=229 см³.

Размещено на Allbest.ru