Границы применяемости закона Дарси и нелинейные законы в задачах фильтрации пластовых флюидов

Размещено на http://www.allbest.ru/

[Введите текст]

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯИ НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

“Тюменский Индустриальный Университет”

Сургутский институт нефти и газа (филиал)

Кафедра НД

Курсовая работа на тему

Границы применяемости закона Дарси и нелинейные законы в задачах фильтрации пластовых флюидов

Предмет: Подземная гидромеханика нефтяного и газового пласта

Группа: ЭДНб-14

Студент: Сырьев В.И.

Преподаватель: Муравьев К.А.

Сургут 2016 г.



Содержание

Введение

1. Цели и задачи

2. Теоретическая часть

2.1 Скорость фильтрации. Закон Дарси - линейный закон фильтрации

2.2 Верхняя граница применимости закона Дарси

2.3 Отклонения от закона Дарси при малых скоростях фильтрации

Вывод

Список литературы



Введение

Задачи нефтегазовой отрасли ежегодно обсуждаются мировой общественностью, специалистами нефтегазового комплекса. Необходимость в постоянном улучшении технических средств, безопасности работ, повышения эффективности труда. Специалисты неустанно ищут способы увеличивать рентабельность производства из объема сырья, которое извлекается, ведь, казалось бы, незначительное повышение эффективности добычи в данных условиях может значительно увеличить достоверные запасы и привести к большей экономической выгоде.

Подземная гидромеханика - наука о движении жидкостей, газов и их смесей в пористых и трещиноватых средах; по своей сути она является одним из специальных разделов общего курса механики жидкостей. С другой стороны, подземная гидромеханика является теоретической базой для описания процессов фильтрации при разработке нефтяных и газовых месторождений и обеспечивает решение широкого круга прикладных задач в практической деятельности специалистов-нефтяников. Подземная гидромеханика при решении стоящих перед ней теоретических и практических задач пользуется всеми известными в механике жидкостей приемами и методами: бесконечно малых величин, средних величин, анализа размерностей, аналогий и методами обработки результатов экспериментов. Объектом изучения подземной гидромеханики является поток жидкости и газа в пористой среде, называемый фильтрационным потоком; движущиеся в пласте жидкости и газы рассматриваются как непрерывные сплошные среды, на которые распространяются все свойства, присущие сплошным средам, и все законы механики сплошных сред.



1. Цели и задачи

Данная курсовая работа является важным этапом изучения дисциплины «Подземная гидромеханика нефтяного и газового пласта». Цель ее выполнения состоит в подробном изучении границ применяемости закона Дарси и нелинейных законов в задачах фильтрации пластовых флюидов. Работа над данным разделом дисциплины представляется актуальной.

В данной курсовой работе рассматриваются верхняя и нижняя границы применимости закона Дарси и соответствующие им две основные группы причин.

1) Верхняя граница определяется группой причин, связанных с проявлением инерционных сил при достаточно высоких скоростях фильтрации.

2) Нижняя граница определяется проявлением неньютоновских реологических свойств жидкости, ее взаимодействием с твердым скелетом пористой среды при достаточно малых скоростях фильтрации.

Таким образом, цель курсовой работы можно свести к следующим положениям:

1)Углубление и закрепление теоретических знаний, полученных студентами во время лекционных, лабораторных и практических занятей.

2)Выработка у студентов навыков самостоятельного применения теории, привлечение дополнительных данных, анализа практических данных, и проверки правильности решения.

3)Закрепления навыков расчета с применением вычислительной техники, привлечение справочно-реферативной литературы, оформления и ведения инженерно-технической документации.

4)Изучить теорию и основные методы, используемые в практике при расчете параметров вытеснения одной жидкости другой.

5)Научится решать задачи по данной теме и использовать эти знания на практике.

2. Теоретическая часть

2.1 Скорость фильтрации. Закон Дарси - линейный закон фильтрации

Основной характеристикой фильтрационного движения служит вектор скорости фильтрации , который определяется следующим образом. Выберем произвольную точку М пористого пласта, через который фильтруется жидкость, и выделим в нем элементарную площадку Дщ (рис. 1.2). Через выделенную площадку в единицу времени протекает масса жидкости ДQm (элементарный массовый расход). Проекция вектора на нормаль к выделенной площадке равна:

(1.3)

где р - плотность жидкости. Почеркнем, что массовый расход в определении (1.3) делится на полную площадь Дщ, а не на ее часть, занятую порами.

Рис. 1.2. Схема к определению скорости фильтрации

Поэтому, очевидно, что скорость фильтрации не является действительной средней скоростью движения в живом сечении фильтрационного потока. Согласно (1.3), величина w имеет размерность скорости (м/с в СИ) и обладает свойствами вектора.

Установим связь между скоростью фильтрации w и действительной средней скоростью н движения. Действительное (физическое) течение флюида в каждом живом сечении пласта Дщ осуществляется через суммарную площадь активных пор Дщп.

Рис. 1.3. Установка А. Дарси для исследования течения воды через вертикальные песчаные фильтры

Поэтому имеем:

Сравнив последнее равенство с (1.3), использовав (1.2), а также условие равенства пористости m и просветности n, найдем:

(1.4)

Поскольку 0< m <1, из (1.4) следует, что скорость фильтрации w меньше действительной средней скорости н течения флюида.

Таким образом, при введении скорости фильтрации w рассматривается некоторый фиктивный фильтрационный поток, в котором расходы через любое сечение равны реальному расходу флюида, поля давлений фиктивного и реального потока идентичны, а сила сопротивления фиктивного потока равна реальной силе сопротивления. При этом принимается, что скорость фильтрации непрерывно распределена по объему и связана со средней скоростью действительного движения равенством (1.4).

Основное соотношение теории фильтрации - закон фильтрации устанавливает связь между вектором скорости фильтрации и тем полем давления, которое вызывает фильтрационное течение. Первые экспериментальные наблюдения за движением воды в трубах, заполненных песком, провели французские инженеры А. Дарси (1856 г.) и Ж. Дюпюи (1848 1863 гг.). Этими работами было положено начало теории фильтрации. Именем Дарси назван линейный закон фильтрации, который он установил, создавая первую совершенную систему водоснабжения в Европе.

Анри Дарси исследовал течение воды через вертикальные песчаные фильтры (рис. 1.3), что требовалось для нужд водоснабжения г. Дижона. В результате тщательно проведенных экспериментов он установил получившую широкую известность экспериментальную формулу:

(1.5)

где Q - объемный расход жидкости через песчаный фильтр, длина которого L, а площадь поперечного сечения Щ; ДН = Н1-Н2 - разность напоров воды над фильтром и у его основания; kф - коэффициент пропорциональности в формуле (1.5), названный первоначально коэффициентом водопроницаемости, а затем коэффициентом фильтрации, который зависит как от природы пористой среды, так и от свойств фильтрующейся жидкости. Этот коэффициент kф, как следует из (1.5), имеет размерность скорости и характеризует скорость потока через единицу площади сечения, перпендикулярного к потоку, под действием единичного градиента напора.

Коэффициент фильтрации kф используется обычно в гидротехнических расчетах, где приходится иметь дело с одной жидкостью-водой. При исследовании фильтрации нефти, газа и их смесей необходимо разделить влияние свойств пористой среды и жидкости. В этом случае формула Дарси (1.5) записывается обычно в несколько ином виде, а именно:

(1.6)

или

(1.7)

где з - динамический коэффициент вязкости, р* =сgН = р + сgz - приведенное давление; k - коэффициент проницаемости, который не зависит от свойств жидкости и является динамической характеристикой только пористой среды. Из (1.6) следует, что коэффициент проницаемости имеет размерность площади, так что в СИ [k] = мІ. При этом проницаемость большинства горных пород выражается весьма малыми числами. Так, проницаемость крупнозернистых песчаников составляет мІ (1-0,1 мкмІ), проницаемость плотных песчаников около м2 (0,01 мкмІ). Ввиду этого в нефтепромысловой практике получила распространение единица проницаемости 1 Д (Дарси) = 1,02·мІ.

Из сравнения (1.6) и (1.5) находим связь между коэффициентами фильтрации и kф проницаемости k:

(1.8)

Большинство фильтрационных течений, встречающихся на практике, имеют скорости порядка м/с и менее. Поэтому, пренебрегая величиной скоростного напора wІ/(2g), под напором можно понимать величину Н = z + р/(сg). Тогда закон Дарси в форме (1.5) или (1.6) можно истолковать как выражение закона сопротивления при фильтрации, который показывает, что между потерей напора ДH и расходом Q существует линейная зависимость. При этом, поскольку скорость фильтрационного потока мала, силы инерции не существенны.

Коэффициент фильтрации kф или коэффициент проницаемости k определяют экспериментально в специальном приборе - пермеаметре, содержащем образец исследуемого грунта (рис. 1.4). Общий расход Q фильтрационного потока при этом поддерживается постоянным. Напоры H1 и Н2 измеряются двумя пьезометрами, соединенными с пористой средой в сечениях 1 и 2. Превышения центров сечений над плоскостью сравнения равны z1 и z2, а давления - р1 и р2; расстояние между этими сечениями по оси цилиндра составляет L.

В соответствии с формулой (1.5) или (1.6)

где градиент напора можно представить в следующем виде:

Рис. 1.4. Схема пермеаметра

В промысловых условиях коэффициент проницаемости определяется в результате специального исследования скважин, в котором также используется устанавливаемая в опыте связь между изменением давления в скважинах и их дебитом.

В заключение покажем, что закон Дарси (1.5) или (1.6) в теории фильтрации заменяет собой уравнение движения. Следуя выводу, данному Н. Е. Жуковским, покажем, что его можно получить из уравнений движения идеальной жидкости, и выясним характер сделанных при этом допущений. Рассмотрим для простоты одномерное прямолинейно-параллельное течение жидкости (см. рис. 1.4) в направлении оси x. Как известно из курса технической гидромеханики, уравнение движения идеальной жидкости в этом случае имеет вид

(1.9)

где F - проекция на ось х напряженности массовой силы (таковой является, например, сила тяжести).

При течении жидкости в пористой среде возникает сила трения на границе раздела «среда-жидкость». Поскольку поверхность поровых каналов достаточно велика, то силу трения можно считать распределенной по всему объему течения и в первом приближении рассматривать как объемную. Таков смысл первого допущения. Учтем теперь, что среда является пористой и пусть m = const. Тогда, перейдя к скорости фильтрации и использовав (1.4), из (1.9) получим:

(1.10)

В силу первого допущения

F=F1+F2

где F1 - проекция напряженности силы тяжести (F1 = 0 для горизонтального потока; F1 = gsina = (z1 -- z2)g/L, если ось потока х наклонена к горизонтали под уголом б (см. рис. 1.4); F2 - проекция массовой силы трения, обусловленной течением в пористой среде. Поскольку скорость фильтрации w очень мала, то конвективный член wдw/дx в уравнении (1.10) пренебрежимо мал. Дальнейший анализ показывает, что и первый член в левой части (1.10) имеет тот же порядок малости. В этом состоит смысл второго допущения.

Третье допущение заключается в том, что сила трения пропорциональна скорости фильтрации и' с некоторым коэффициентом пропорциональности л, так что F2 = лw. С учетом всех сделанных предположений из уравнения (1.10) находим

Достаточно теперь положить л= -- з/(сk) и заменить др/дх = -Дp/L, чтобы прийти к обычной записи закона Дарси (1.7), полученной экспериментально. Следует отметить, что впоследствии закон Дарси был распространен (порой без достаточно тщательной экспериментальной проверки) на различные грунты, трещиноватые породы, бетоны и другие пористые материалы. Поэтому устаноилсние границ применимости этого соотношения имеет принципиальное значение для теории и практики нефтегазодобычи.

2.2 Верхняя граница применимости закона Дарси

Наиболее полно изучены отклонения от закона Дарси, вызванные проявлением инерционных сил при увеличении скорости фильтрации. Верхнюю границу применимости закона Дарси связывают обычно с некоторым критическим (предельным) значением числа Рейнольдса



где d - некоторый характерный линейный размер пористой среды; v-кинематический коэффициент вязкости флюида:

Многочисленные экспериментальные исследования и, в частности, опыты Дж. Фэнчера, Дж. Льюиса и К. Бернса, Линдквиста, Г. Ф. Требина, Н.М. Жаворонкова, М.Э. Аэрова и других были направлены на построение универсальной зависимости (по аналогии с трубной гидравликой) коэффициента гидравлического сопротивления l от числа Рейнольдса. Однако вследствие различной структуры и состава пористых сред получить такую универсальную зависимость не удается.

При обработке результатов экспериментов значительное внимание обращалось на такой выбор характерного размера поровой структуры, чтобы отклонения от закона Дарси возникали при одинаковых значениях числа Рейнольдса, и закон фильтрации в нелинейной области допускал универсальное представление.

Первая количественная оценка верхней границы применимости закона Дарси была дана более 60 лет назад Н. Н. Павловским, который, опираясь на результаты Ч. Слихтера, полученные для модели идеального грунта, и полагая характерный размер d равным эффективному диаметру dэф вывел следующую формулу для числа Рейнольдса:

(1.11)

Использовав эту формулу и данные экспериментов, Н.Н. Павловский установил, что критическое значение числа Рейнольдса находится в пределах



Достаточно узкий диапазон изменения значений Reкр объясняется тем, что в опытах использовались не слишком разнообразные образцы пористых сред.

Для удобства обработки результатов многочисленных экспериментов различных авторов В. Н. Щелкачев предложил использовать безразмерный параметр, названный им параметром Дарси и определяемый равенством:

(1.12)

Отсюда видно, что параметр Дарси представляет собой отношение силы вязкого трения к силе давления. Сравнивая равенство (1.12) и закон Дарси (1.7) (для случая горизонтального пласта, когда р* = р), можно утверждать, что если справедлив закон Дарси, то: (1.13)

Таким образом, равенство (1.13) должно выполняться при .

Введение параметра упрощает исследование границы применимости линейного закона фильтрации. Действительно, если на оси абсцисс откладывать а по оси ординат то поскольку при графиком зависимости от будет прямая линия, совпадающая с осью абсцисс до тех пор, пока .

Как только на этом графике линия начнет отделяться от оси абсцисс, сразу же обнаружится нарушение закона Дарси (это соответствует значениям ). Значение при котором станет заметно отклонение упомянутой линии от оси абсцисс, и будет критическим значением. Для иллюстрации сказанного на рис. 1.5 на логарифмической сетке приведены зависимости от , представляющие результат обработки опытов по формулам В. Н. Щелкачева (табл. 1.1). Данные на этом графике соответствуют области нелинейной фильтрации для различных образцов пористых сред.

Основываясь на этих соображениях, В. Н. Щелкачев провел критический анализ и сравнение формул, полученных разными исследователями, для определения в подземной гидромеханике и оценки возможных критических значений числа Рейнольдса соответствующих верхней границе применимости закона Дарси. Результаты такого сопоставления приведены в табл. 1.1. В первых двух строках таблицы даны соответственно формулы для и коэффициента гидравлического сопротивления l, полученные разными авторами. В четвертой и пятой строках приведены соответственно критические значения полученные самими авторами, и их уточненные значения.

Наличие третьей строки табл. 1.1, в которой дано произведение объясняется следующим. В области линейного закона фильтрации справедливо равенство (1.13). Поэтому если произведение зависит только от параметра (см. графы 5-8 табл. 1.1), то оно имеет постоянное значение (не зависящее от свойств пористой среды) в случае, если . И только в этом случае можно получить «универсальный» прямолинейный график в координатах соответствующий фильтрации различных флюидов через различные по свойствам пористые среды. Результаты обработки опытов подтверждают этот вывод.

На основе анализа данных, приведенных в табл. 1.1, можно сделать следующие выводы.

1. Несмотря на отмеченные недостатки результатов Н. Н. Павловского, есть основания для их сопоставления с соответствующими результатами трубной гидравлики. Важно подчеркнуть, что критические значения числа Рейнольдса, подсчитанные по формуле (1.11), намного меньше тех, которые в трубной гидравлике соответствуют переходу ламинарного течения в турбулентное. Это служит одним из доводов в пользу того, что причины нарушения закона Дарси при высоких скоростях фильтрации (увеличение влияния сил инерции по мере увеличения ) не следует связывать с турбулизацией течения. Отсутствие турбулентности при нарушении закона Дарси было доказано также прямыми опытами, изложенными Г. Шнебели.

Формулы Фэнчера, Льюиса и Бернса получены формальным введением в выражение для числа Рейнольдса эффективного диаметра в качестве характерного размера пористой среды, они не сопоставимы с результатами трубной гидравлики, дают слишком узкий диапазон изменения значений (см. графу 4 табл. 1.1), мало обоснованы.

2. Во все другие формулы табл. 1.1 (графы 5-9) в качестве характерного размера входят величины, пропорциональные (где k-коэффициент проницаемости породы), методы определения которых хорошо известны. Формулы этой группы не имеют принципиальных преимуществ и одинаково удобны для практического использования. Для этих формул характерно то, что все они приводят к очень широким диапазонам изменения для различных пористых сред. И это представляется вполне естественным ввиду разнообразия свойств испытанных пористых сред. Кроме того, это свидетельствует о том, что ни в одну из предложенных формул для определения не входит полный набор параметров, позволяющий характеризовать сложную структуру пористых сред, использования для этой цели коэффициентов пористости проницаемости явно недостаточно.

Вместе с тем, широкий диапазон изменения значений можно разбить на сравнительно узкие интервалы, соответствующие различным группам образцов пористых сред. Это облегчает указание возможной верхней границы справедливости закона Дарси при движении флюида в какой-либо пористой среде.

Результаты такого разбиения для формулы В. Н. Щелкачева (см. табл. 1.1, первая строка, пятая графа) приведены в табл. 1.2.

Таблица 1.2 Интервалы критических значений для образцов пористых сред

№ п/п	Образец пористой среды	Диапазон критических значений
1	Однородная дробь	13-14
2	Однородный крупнозернистый песок	3-10
3	Неоднородный мелкозернистый песок с преобладанием фракций диаметром менее 0,1 мм	0,34-0,24
4	Сцементированный песчаник	0,05-104

Итак, при значениях числа Рейнольдса линейный закон Дарси перестает быть справедливым. Первое обобщение закона Дарси на случай больших основанное на опытных данных, было выполнено Дюпюи, который сформулировал двучленный закон фильтрации, носящий имя австрийского исследователя Ф. Форхгеймера, независимо установившего его несколько позднее. В принятых сейчас обозначениях это соотношение можно представить (для простейшего случая прямолинейно-параллельного течения без учета силы тяжести) в следующем виде:

(1.14)

где в - дополнительная константа пористой среды, определяемая экспериментально.

Первое слагаемое в правой части (1.14) учитывает потери давления вследствие вязкости жидкости, второе - инерционную составляющую сопротивления движению жидкости, связанную с криволинейностью и извилистостью поровых каналов. Из (1.14) следует, что при малых скоростях фильтрации квадратом скорости w можно пренебречь, и градиент давления будет зависеть только от первого слагаемого, т.е. движение будет безынерционным, соответствующим закону Дарси. При больших скоростях фильтрации силы инерции становятся существенными и будут сопоставимы или даже преобладать над силами вязкости.

Хорошая согласованность соотношения (1.14) с данными промысловых и экспериментальных наблюдений была установлена в много численных работах советских и зарубежных исследователей. Это свидетельствует о том, что данное соотношение представляет нечто большее, чем простую эмпирическую формулу, поскольку оно хорошо выполняется даже для весьма больших значений скорости фильтрации. Физический смысл этого заключается в том, что при больших скоростях быстропеременное движение в порах вследствие «извилистости» поровых каналов сопряжено с появлением значительных инерционных составляющих гидравлического сопротивления. С увеличением числа Рейнольдса квадратичный член в выражении (1.14) оказывается преобладающим, силы вязкости пренебрежимо малы по сравнению с силамиинерции, и (1.14) сводится тогда к квадратичному закону фильтрации, предложенному А. А. раснопольским. Он справедлив в средах, состоящих из частиц достаточно крупных размеров.

2.3 Отклонения от закона Дарси при малых скоростях фильтрации

В опытах, проведенных в конце прошлого века с тонкозернистыми грунтами при малых скоростях, было обнаружено увеличение скорости фильтрации с ростом градиента давления более быстрое, что это дает линейный закон Дарси. Однако объяснение этого факта не приводилось.

Начиная с 50-х годов XX в. появилось большое число теоретических и экспериментальных работ, подтвердивших нарушения закона Дарси в области малых скоростей. Это явление заметнее всего при движении воды в глинах, но наблюдается также и при фильтрации в песках и песчаниках не только воды, но и нефтей. При этом во всех экспериментах обнаруживалась существенная нелинейность закона фильтрации при малых скоростях.

Объяснение этого явления заключается в том, что при малых скоростях фильтрации становится существенным силовое взаимодействие между твердым скелетом породы и фильтрующимся флюидом, которое может дать преобладающий вклад в фильтрационное сопротивление. При весьма малых скоростях потока сила всякого трения кренобразного мало, тогда как сила межфазового взаимодействия остается при этом конечной величиной, поскольку она не зависит от скорости и определяется только свойствами контактирующих фаз. В результате такого взаимодействия нефть, содержащая поверхностно-активные компоненты, в присутствии пористого тела с развитой поверхностью образует устойчивые коллоидные растворы (студнеобразные пленки), частично пли полностью перекрывающие поры. Чтобы началось движение, нужно разрушить эту структуру, приложив некоторый перепад давления. В случае фильтрации воды в глинизированных породах аналогичные соображения относятся к образованию коллоидных глинистых растворим, при этом структурообразующий компонент-глинистые частицы можно заимствовать из самого материала твердого скелета.

Приведенные факты показывают, что многие жидкости (нефть, пластовая вода). не проявляющие аномальных свойств вне контакта с пористой средой, при малых скоростях фильтрации могут образовывать неньютоновские системы, взаимодействуя с пористой породой. Наличие начального градиента давления g, при достижении которого начинается фильтрации, было обнаружено и при движении флюидов в газовода насыщенных пористых средах. При этом было установлена, в изменяется широких пределах и в большинстве случаев тем выше, чем больше глинистого материала содержится в пористой среде и чем выше остаточная вода насыщенность газо-водяной смеси.

Наряду с этим неньютоновские свойства пластовых нефтей с повышенном содержанием высокомолекулярных компонентов (смол, асфальтенов и.т.) могут проявляется в широком диапазоне изменения скоростей. дарси фильтрация вода высокомолекулярный



Вывод

На основе анализа данных, приведенных в табл. 1.1, можно сделать следующие выводы:

1. Несмотря на отмеченные недостатки результатов Н. Н. Павловского, есть основания для их сопоставления с соответствующими результатами трубной гидравлики. Важно подчеркнуть, что критические значения числа Рейнольдса, подсчитанные по формуле (1.11), намного меньше тех, которые в трубной гидравлике соответствуют переходу ламинарного течения в турбулентное. Это служит одним из доводов в пользу того, что причины нарушения закона Дарси при высоких скоростях фильтрации (увеличение влияния сил инерции по мере увеличения ) не следует связывать с турбулизацией течения.

Формулы Фэнчера, Льюиса и Бернса получены формальным введением в выражение для числа Рейнольдса эффективного диаметра в качестве характерного размера пористой среды, они не сопоставимы с результатами трубной гидравлики, дают слишком узкий диапазон изменения значений (см. графу 4 табл. 1.1), мало обоснованы.

2. Во все другие формулы табл. 1.1 (графы 5-9) в качестве характерного размера входят величины, пропорциональные (где k-коэффициент проницаемости породы), методы определения которых хорошо известны. Формулы этой группы не имеют принципиальных преимуществ и одинаково удобны для практического использования. Для этих формул характерно то, что все они приводят к очень широким диапазонам изменения для различных пористых сред. И это представляется вполне естественным ввиду разнообразия свойств испытанных пористых сред. Кроме того, это свидетельствует о том, что ни в одну из предложенных формул для определения не входит полный набор параметров, позволяющий характеризовать сложную структуру пористых сред, использования для этой цели коэффициентов пористости проницаемости явно недостаточно.



Список литературы

1) Басииев К. С, Кочина И. Н., Максимов В. М. Подземная Б 27 гидромеханика: Учебник для вузов.-М.: Недра, 1993

2) http://studopedia.ru/2_10337_granitsi-primenimosti-zakona-darsi.html

3) https://ru.wikipedia.org/wiki/Закон_Дарси

4)http://oilloot.ru/77-geologiya-geofizika-razrabotka-neftyanykh-i-gazovykh-mestorozhdenij/250-skorost-filtratsii-zakony-filtratsii-poristaya-sreda

Размещено на Allbest.ru