Основы робастного управления

Размещено на http://www.allbest.ru/

1. Робастное управление нестационарными линейными объектами

1.1 Оптимальное управление нестационарным линейным объектом при полной информации о параметрах и состоянии

Рассмотрим линейную управляемую динамическую систему с переменными параметрами

(1.1)

и функционал качества

, (1.2)

где - состояние системы; - управляющий вход системы; , матрицы ,,,, имеют соответствующие размерности: .

Требуется найти достаточно экономичное управление, которое удерживало бы систему вблизи нуля. Будем считать, что управление не ограничено, время задано, матрицы и положительно полуопределены, матрица положительно определена.

Предположим, что для любых начальных условий оптимальное управление существует. Построим гамильтониан

. (1.3)

Дополнительный вектор является решением дифференциального уравнения

, (1.4)

. (1.5)

Вдоль оптимальной траектории должно быть

,

откуда

. (1.6)

Предположение относительно положительной определенности матрицы при любом гарантирует существование при .

Оптимальное управление должно минимизировать гамильтониан . Для того чтобы экстремальное управление доставляло гамильтониану минимум, матрица размера должна быть положительно определена. Нетрудно заметить, что для рассматриваемой задачи

. (1.7)

Следовательно, поскольку выбирается положительно определенной, управление , определяемое уравнением (1.6), минимизирует гамильтониан .

Полученные уравнения (1.4) и (1.5) совместно с дифференциальными уравнениями, описывающими линейную динамическую систему (1.1), образуют двухточечную краевую задачу.

Подставив (1.6) в (1.1), получим

. (1.8)

Уравнения (1.4) и (1.8) можно записать в виде

, (1.9)

где , - краевые условия.

Пусть - фундаментальная матрица решений системы (1.9) размера . Если - начальное значение дополнительной переменной, то решение уравнения (1.9) может быть получено в форме Коши:

.

Следовательно, при должно быть

. (1.10)

Разделим фундаментальную матрицу решений размером на четыре блока размером :

. (1.11)

Тогда уравнение (1.10) с учетом (1.11) можно записать в виде

, (1.12)

. (1.13)

Из уравнений (1.12), (1.13) после алгебраических преобразований можно получить

(1.14)

при условии, что обратная матрица существует. Рассмотрим выражение (1.14) при . Известно, что , и поэтому справедливы соотношения , , , . С учетом этого выражение (2.14) при принимает вид

,

т.е. получено уравнение (2.13). Следовательно, уравнение (2.14) справедливо при . Можно показать, что обратная матрица существует при любом .

Выражение (1.14) можно переписать в виде

, (1.15)

. (1.16)

В общем случае, когда система (1.1) нестационарна, получить аналитическое выражение для фундаментальной матрицы невозможно. Следовательно, невозможно найти в общем случае , используя уравнение (1.14).

Для того чтобы найти матрицу , продифференцируем соотношение (1.15):

. (1.17)

С другой стороны, определяется соотношением (1.4). Приравнивая (1.17) и (1.4), а также подставляя значения и , после алгебраических преобразований получим

, . (1.18)

Так как уравнение (1.18) должно выполняться при любом начальном состоянии , а есть решение однородного уравнения (1.1), то уравнение (1.18) должно быть справедливым при любом значении . Это означает, что матрица должна удовлетворять матричному дифференциальному уравнению

. (1.19)

Найдем граничные условия для уравнения (1.19). При уравнение (1.15) имеет вид

. (1.20)

С другой стороны, было определено соотношением (1.5). Приравнивая (1.5) и (1.20), получим

при любом (которое не задано) и, следовательно,

(1.21)

Покажем симметричность матрицы . Транспонируем уравнение (1.19):

,

поскольку матрицы и симметричные.

Но для любой матрицы справедливо

.

Следовательно, и являются решением одного и того же дифференциального уравнения. При имеем

,

так как - симметричная матрица (по условию задачи).

Получаем, что и есть решение одного и того же дифференциального уравнения при одинаковых граничных условиях. Из единственности решений дифференциальных уравнений следует, что , т.е. матрица симметричная.

Таким образом, оптимальное управление существует, единственно и определяется уравнением

, (1.22)

где - симметричная матрица, являющаяся решением дифференциального уравнения типа Риккати (1.19) с граничным условием (1.21).

Состояние оптимальной системы есть решение линейного дифференциального уравнения

(1.23)

Найдем значение функционала качества, принимаемое при оптимальном управлении и соответствующей ему оптимальной траектории. Для этого в подынтегральную часть функционала качества (1.2) добавим выражение , компенсировав вне интеграла выражением . С учетом уравнений (1.19) и (1.21), получим

.

Аналогичный результат мы получим, если начнем управление системой не в момент времени , а в любой момент . Добавив выражение в подынтегральную часть функционала качества, компенсировав вне интеграла выражением и учитывая уравнения (1.19) и (1.21), получим

.

Таким образом, оптимальное значение функционала качества зависит от состояния системы в момент начала управления и от структурно-параметрической характеристики системы, сосредоточенной в матрице .

Докажем положительную определенность матрицы . Допустим, что при матрица не является положительно определенной. Тогда существует такое, что . При этом, очевидно, нарушается положение: если , то , которое следует из положительной полуопределенности матриц и и положительной определенности матрицы . Следовательно, матрица должна быть положительно определенной.

Итак, были получены выражения для оптимального управления, оптимальной траектории и оптимального значения функционала качества в задаче стабилизации нестационарного линейного объекта при полной информации о параметрах и состоянии.



1.2Робастное управление нестационарным линейным объектом

Достаточно большое количество объектов управления можно описать с помощью систем линейных дифференциальных уравнений с неполной информацией о параметрах и векторе состояния. При этом критерий качества управления во многих случаях представляет собой квадратичную форму.

Пусть управляемый и наблюдаемый линейный нестационарный динамический объект описывается системой линейных неоднородных дифференциальных уравнений:

(1.24)

где

На управление наложены ограничения вида

. (1.25)

Начальное условие принадлежит заранее известному подмножеству

. (1.26)

Матрицы содержат параметры, подверженные неконтролируемым возмущениям. (Для определенности будем считать, что размерности матриц и - и соответственно.)

Предполагается, что нестационарные матрицы

измеримы по Лебегу на всем конечном интервале управления объектом (1.24) в множестве и почти всюду на удовлетворяют включению

, (1.27)

где - заданные матрицы, а символ “co” обозначает выпуклую оболочку.

Выпуклые многогранники в (1.27) задают структуру параметрической неопределенности в описании системы (1.24). Ее частным случаем является интервальная неопределенность

(1.28)

Задача управления объектом (1.24) заключается в построении такой стратегии , при которой минимизируется функционал

. (1.29)

Согласно полученным ранее результатам, управление для объекта (1.24), минимизирующее функционал (1.29), при отсутствии ограничений и при полной наблюдаемости состояния объекта имеет вид:

, (1.30)

где положительно определенная матрица есть решение уравнения:

(1.31)

Функционал (1.29) при управлении (1.30) принимает минимальное значение

. (1.32)

Однако реализовать оптимальное управление (1.30) не удастся, так как на интервале управления неизвестны значения параметров, подвергающихся возмущениям, и для его реализации требуется знание состояния объекта .

В данной постановке задача управления будет решаться не для одной точно заданной системы, а для целого семейства систем, параметры которых допускают значительные отклонения в их описании и принадлежат заранее заданным множествам. Соответствующая проблема имеет название задачи робастного управления.

Определение 1.1. Робастным будем считать управление, которое обеспечивает решение поставленной задачи (1.24)-(1.29) при начальных условиях из заданного подмножества , любых неизвестных значениях параметрических возмущений из определенной параметрической области и удовлетворяющее наложенным на него ограничениям .

Определение 1.2. Будем называть систему робастно стабилизируемой, если для нестационарного объекта вида (1.24) найдется регулятор с постоянными параметрами, который обеспечит асимптотическое движение системы "объект-регулятор" при любых неизвестных значениях параметрических возмущений , из любого к при .

Определение 1.3. Будем называть систему d-робастно стабилизируемой, если для нестационарного объекта вида (1.24) найдется регулятор с постоянными параметрами, который обеспечит асимптотическое движение системы "объект-регулятор" при любых неизвестных значениях параметрических возмущений , из любого , при заданных для некоторых компонент вектора состояния системы целевых условиях и заданном интервале управления .

Здесь - фиксированные неотрицательные постоянные. Очевидно, что в общем случае время должно зависеть от начального состояния и параметров системы.

1.3 Робастная стабилизация линейных нестационарных систем

Рассмотрим снова управляемый и наблюдаемый линейный нестационарный динамический объект (1.24):

Матрицы содержат параметры, подверженные неконтролируемым возмущениям.

Нестационарные матрицы

измеримы по Лебегу на всем конечном интервале управления объектом (1.24) в множестве и почти всюду на удовлетворяют включению

,

где - заданные матрицы, а символ обозначает выпуклую оболочку.

Частный случай такой параметрической неопределенности -интервальная неопределенность вида:

Управление для объекта (1.24) будем синтезировать на модели

(1.33)

с функционалом

, (1.34)

где задан интервал управления , матрицы и - положительно определены, а положительно определенная матрица является решением уравнения Риккати - Лурье:

. (1.35)

Оптимальное управление для модели (1.34) определяется соотношением

, (1.36)

где матрица , соответствует решению уравнения Риккати

Учитывая (1.35), положим, что , т.е. для .

Матрицы и назначаются так, чтобы управление (1.36) обеспечивало бы приемлемое поведение модели на интервале управления и соответствующее этому поведению значение функции качества.

Согласно полученным ранее результатам, оптимальное значение функционала будет определяться соотношением

.

Определим множество значений матриц при открытом интервале управления, при которых объект (1.24) стабилизируем с управлением

, (1.37)

где матрица является решением уравнения (1.35). Для этого введем в рассмотрение функцию Ляпунова

. (1.38)

Тогда

Пусть таковы, что

(1.39)

т.е. множество значений матриц образуют границу замыкания множества . Тогда для всех , при которых матрица отрицательно определена, система (1.24), (1.36) стабилизируема.

Учитывая, что третье слагаемое в (1.39) принимает минимальное значение при , а первые два слагаемых принимают максимальное значение при , то можно сделать следующее заключение. Система (1.24) с интервально заданной параметрической неопределенностью и управлением

, (1.40)

где матрица является решением уравнения (2.73), робастно стабилизируема, если матрица

(1.41)

отрицательно определена.

Замечание. Существенно, что должно быть таким, чтобы .

Рассмотрим задачу d-робастной стабилизации с заданным интервалом управления и заданной областью возможных терминальных значений состояния системы. Пусть состояние системы на правом конце должно подчиняться условию

. (1.42)

Пусть , образуют границу замыкания множества , на котором выполняется условие (2.80), т.е. , где : . Тогда уравнение динамики системы с управлением (2.75) будет иметь вид

(1.43)

Запишем решение уравнения (1.43):

. (1.44)

Применим к обеим частям уравнения (1.44) введенный ранее оператор такой, что . В явном виде представляет собой умножение слева на матрицу размерности , у которой на главной диагонали с первой до -й строки стоят единицы, а все остальные элементы - нули.

Тогда (1.44) примет вид

. (1.45)

Умножим обе части равенства (1.45) справа на :

. (1.46)

Если - вектор из : , то

Учитывая, что , получим

. (1.47)

Прологарифмировав (1.47), получим выражение, определяющее границу множества :

. (1.48)

Пусть , тогда

(1.49)

Из условия (1.49) видно, что наихудшими возможными значениями параметрических возмущений являются , .

Будем называть систему (1.24) с интервально заданной параметрической неопределенностью и управлением (1.36) d-робастно стабилизируемой, если выполняется условие: матрица , где

, (1.50)

отрицательно полуопределена.



2. Моделирование

2.1 Постановка задачи

В качестве объекта управления была взята упрощённая модель самолёта. Движения самолёта по крену, рысканию и скольжению взаимосвязаны и образуют совокупность так называемого бокового движения. Это движение почти не связано с изменениями угла тангажа и вертикальными перемещениями самолёта, то есть с его продольным движением.

Рис. 1 Модель исследуемого объекта

Возмущённое боковое движение летательного аппарата относительно установившегося горизонтального полёта можно описать системой уравнений пятого порядка:

(2.1)

Где - угол скольжения,

- угол рыскания (курса),

- угол крена,

- угловая скорость рыскания,

- угловая скорость крена,

- углы отклонения элеронов и руля соответственно.

Значения моментов инерции и их производных, а также параметров самолёта заданны следующим образом:

Управление самолётом производится при помощи отклонения элеронов и руля (углы и ). Минимизируемый функционал качества задаётся следующим образом:

.(2.2)

Функционал J представлен в форме , где

, , .

Учитывая значения коэффициентов, система (2.1) может быть представлена в следующей форме:

(2.3)

Допустим, что приборному измерению доступны все элементы вектора состояний:

где . Если принять данные значения:

, ,

систему (2.3) можно представить в канонической форме: .

В реальных условиях эксплуатации объект отличается от предполагаемой модели под влиянием различных помех (ветра, изменения эффективности рулей и элеронов и др.). Кроме того может меняться и требуемое направление. В связи со всем этим можно поставить задачу следующим образом: требуется построить закон управления динамическим объектом (2.3) в присутствии шумов, наилучший с точки зрения функционала качества (2.2).

2.2 Робастное управление детерминированным объектом с неизвестными параметрами

В данном случае (случае интервальной неопределенности) закон управления объектом (2.4) имеет следующий вид:

(2.4)

Для нахождения оптимально управления (то есть матрицы K), используем функцию системы Matlab [K,S,e]=lqr(A,B,Q,R):

.

Робастное управление удовлетворяет соотношению:

, (2.5)

где - решение уравнения Риккати-Лурье:

. (2.6)

Ниже на рис.2-3 представлены схемы моделирования объекта (2.1) с робастным управлением. Результаты моделирования представлены на рис.3-8. (Графики переходных процессов угла скольжения, угловой скорости рысканья, угловой скорости крена, угла крена и угла рысканья соответственно)

Рис.2. Схема объекта

Рис. 3 BETA - угол скольжения

Рис. 4 OMEGA X - угловая скорость крена

Рис. 5 OMEGA Y - угловая скорость рысканья

Рис. 6 GAMMA- угол крена

Рис. 7 PSI - угол рысканья

Рис. 8 Управление (угол отклонения элеронов и руля направления)

2.3 Робастное управление стохастическим объектом с неизвестными параметрами

Теперь учтем влияние шумов на поведение объекта. Предположим, что внешние возмущающие воздействия можно аппроксимировать белыми шумами. Тогда движение объекта можно будет описать системой дифференциальных уравнений следующего вида:

(2.7)

где по-прежнему определяются соотношениями , а - белый гауссовский шум с интенсивностью .

Пусть измеритель состояния объекта описывается уравнением:

(2.8)

где - также белый гауссовский шум с интенсивностью , и не коррелируют между собой и с начальным состоянием объекта. Пусть известно: , .

Построить робастное управление по формулам, которые рассматривались выше невозможно так как векторы состояния не известны. Если построить наблюдатель, который будет вырабатывать оценку , то робастное управление будет находиться по следующей формуле

, (2.9)

где .

Заключение

В данной работе была рассмотрена задача робастного управления линейным нестационарным объектом с квадратичным функционалом качества в условиях неполной априорной информации. Робастное управление является методом алгоритмического конструирования систем управления, рассчитанным на самый «худший» случай. Этот метод применяется в связи с невозможностью применения методов аналитического конструирования систем управления по причине отсутствия необходимых данных.

Предварительно была решена задача оптимального управления линейным объектом с квадратичным функционалом качества в условиях полной информации о параметрах и состоянии: выведена формула для оптимального управления, соотношение для соответствующей оптимальной траектории и оптимальное значение функционала.

Решение задачи робастного управления было синтезировано на базе решения задачи оптимального управления, с использованием аппарата минимакса. Получены условия эквивалентности задач минимаксного управления и оптимального управления в классической постановке.

Все рассмотренные задачи были промоделированы в среде визуального программирования Simulink, являющейся одним из модулей пакета MatLab 7.14. В качестве подвижного объекта был выбран летательный аппарат, математическая модель движения которого представляет собой систему нелинейных дифференциальных уравнений первого порядка, приводимых к линейному виду. Схемы и результаты моделирования приведены в настоящей работе. Полученные результаты позволяют говорить о практическом применении робастного подхода к задаче оптимального управления. робастный летательный крен



Список использованных источников

1. Афанасьев В.Н. Аналитическое конструирование детерминированных непрерывных систем управления. Учеб. пособие. - МГИЭМ. М.,2003.-122 с.

2. Афанасьев В.Н. Алгоритмическое конструирование систем управления с неполной информацией. Учеб. пособие. - МГИЭМ. М., 2004. - 148 с.

3. Афанасьев В.Н., Винь Ч.К. Адаптивное управление курсом грузового судна. Учеб. пособие. - Институт машиноведения им. А.А. Благонравова. Центр дистанционного обучения. М., 1999. - 82 с.

4. Прокопов Б.И., Гуляев В.В. Оптимальные адаптивные наблюдатели. Учеб. пособие. - МГИЭМ. М.,2002.

5. Красовский А.А. Системы аналитического управления полетом и их аналитическое конструирование. Главная редакция физико-математической литературы издательства «Наука», М., 1973г., 560стр.

6. Афанасьев В.Н. Управление нелинейными объектами с параметрами зависящими от состояния. Учеб. Пособие. - МГИЭМ. М.,2011г.

7. Бюшгенс Г. С., Студнев Р.В. Аэродинамика самолета. Динамика продольного и бокового движения. М.: Машиностроение, 1979.

8. Дикусар В.В., Кошъка М.М., Фигура А. Задачи оптимального управления при наличии ограничений общего вида. М.: Изд. МФТИ, 2001.

9. Кузовков Н.Т. Системы стабилизации летательных аппаратов. М.: Высшая школа, 1976.

10. Jazwittski A.H. Stochasic Processes and Filtering Theory. N. Y. 1970, p. 376.

11. Kayton M., Fried W.R. Avionics Navigation Systems. N. Y. 1969, p. 666.51 Leondes Т., Pearson J. Kalman Filtering of Systems with Parameter Ancertanties. A. Survey. Int. J. Control, 1973, vol. 17, N 4, p. 758--801.

Размещено на Allbest.ru