Изучение частотных характеристик типовых динамических звеньев систем автоматического управления

Размещено на http://www.allbest.ru/

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ВОЗДУШНОГО ТРАНСПОРТА

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ»

Кафедра технической эксплуатации авиационных электросистем и пилотажно-навигационных комплексов

АВТОМАТИКА И УПРАВЛЕНИЕ

Пособие по выполнению лабораторной работы

«ИЗУЧЕНИЕ ЧАСТОТНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК ТИПОВЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ ЗВЕНЬЕВ САУ»

Москва 2011

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА ИССЛЕДОВАНИЕ ЧАСТОТНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК ТИПОВЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ ЗВЕНЬЕВ САУ

передаточный автоматический система частотный

Целью настоящей работы является изучение типовых динамических звеньев систем автоматического управления, приобретение практических навыков построения частотных характеристик, определение по ним вида и параметров передаточных функций.

Домашнее задание

Изучить частотные характеристики и передаточные функции типовых динамических звеньев САУ.

Изучить методы построения частотных характеристик расчетным и экспериментальным путем.

Научиться определять параметры передаточных функций по частотным характеристикам.

Краткие теоретические сведения

Системы автоматического управления (САУ) состоят из различных по конструкции и назначению элементов. Динамические свойства этих элементов описываются соответствующими дифференциальными уравнениями или передаточными функциями. При рассмотрении линейных систем реальный элемент можно представить в виде одного или нескольких звеньев, каждое из которых описывается линейным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами не выше второго порядка. Такие звенья называются динамическими звеньями САУ.

Одним из наиболее распространенных методов анализа динамических звеньев САУ является анализ их частотных характеристик, полученных в результате воздействия на звено или систему гармонического сигнала. Частотные характеристики являются важнейшими динамическими характеристиками. На основе их использования разработаны частотные методы исследования, позволяющие провести анализ и синтез систем автоматического управления, то есть определить устойчивость систем, качество переходного процесса и найти передаточные функции корректирующих звеньев, так чтобы удовлетворить заданным параметрам качества.

Рассмотрим реакцию линейной САУ на гармонический входной сигнал.

Пусть система описывается дифференциальным уравнением n-го порядка с постоянными коэффициентами

(a₀pⁿ + a₁p^n-1... + a_n-1p + a_n )x(t) =

= (b₀p^m + b₁p^m-1 +... + b^m-1p + b_m )g(t), (1)

где X(t) - выходная координата;

g(t) - входное воздействие ;

р d/dt - символ дифференцирования.

Реакция системы определяется решением этого уравнения при заданном входном воздействии g(t). В свою очередь, решение неоднородного дифференциального уравнения (1) состоит из двух решений

X(t) = X_св(t) + X_в(t), (2)

- общего решения однородного дифференциального уравнения Xсв(t), характеризующего переходный процесс САУ;

- частного решения уравнения Xв(t), характеризующего вынужденное движение САУ, определяемое правой частью уравнения и видом воздействия g(t).

Решение однородного уравнения имеет вид

X_св(t) = С _ie^{л t,} (3)

где л - различные вещественные и комплексно - сопряженные корни характеристического уравнения

a₀лⁿ + a_n-1 л^n-1+... + a_n-1л + a_n = 0;

С - произвольные постоянные интегрирования, определяемые из начальных значений X(t) и ее производных.

Для устойчивости системы все корни л имеют отрицательные вещественные части. Поэтому на основе выражения (3) имеем

lim _t X_св(t) 0. (4)

X_в(t) определяет движение САУ в установившемся режиме.

Найдем X_в(t), если сигнал на входе является гармонической функцией.

g(t) = A₀ cos (t + ), (5)

где A₀ - амплитуда гармонического воздействия;

- круговая частота;

- фазовый сдвиг.

Считаем, что = 0, тогда

g(t) = A₀ cos t. (6)

Воздействие (6) представляем как сумму двух экспоненциальных воздействий

g(t) =( A₀/2) e^jt + (A₀/2) e^-jt. (7)

Обозначим g₁(t) =( A₀/2) e^jt,

g₂(t) = (A₀/2) e^-jt. (8)

Ввиду того, что интеграл и производные от экспоненциальной функции будут также экспоненциальными функциями, частное решение от воздействий g₁(t), g₂(t) будут также в виде экспонент, умноженных на неизвестную функцию, т.е.

X_1b(t) = (A₀/2) W(j) e^jt;

X_2b(t) = (A₀/2) W(j) e^-jt. (9)

Зная вид входных воздействий (8) и вид решений уравнения (1), определим неизвестную функцию W(j). Для этого подставим (8) и (9) в (1) и после замены p=j получим для воздействия g₁(t)

[ a₀ (j)ⁿ + a₁ (j)^n-1 +... + a_n-1 (j) + a_n ](A₀/2) W(j) e^jt =

= [ b₀ (j)^m + b₁ (j)^m-1 +... + b_m-1 (j) +ba_m ]( A₀/2) e^jt. (10)

Из уравнения (10) неизвестная функция W(j) определяется в виде

W(j)= . (11)

W(j) является комплексной функцией от j и называется частотной передаточной функцией.

Определим вещественную и мнимую части этой функции

W(j)== P() + jQ(), (12)

где P() - вещественная часть и Q() - мнимая часть передаточной функции;

a() = b_m - b_m-2² + b_m-4⁴ -...;

b() = b_m-1 - b_m-3³ + b_m-5⁵ -...;

c() = a_n - a_n-2² + a_n-4⁴ -...;

d() = a_n-1 - a_n-3³ + a_n-5⁵ -...;

или, опуская для краткости аргумент

P()=, Q()=. (13)

Представим выражение для W(j) в показательной форме

W(j) = A() e^j(), (14)

где A() = - модуль вектора годографа частотной передаточной функции (АЧХ);

= arctg - аргумент вектора годографа частотной передаточной функции (ФЧХ).

График W(j), представленный на рис. 1, называется амплитудно-фазо-частотной характеристикой (АФЧХ).

Рис. 1 График W(j) - амплитудно-фазо-частотная характеристика системы (АФЧХ)

Из графика видно, что

P() = A() cos (); Q() = A() sin (). (15)

В свою очередь A() =; ()= arctg.

Тогда согласно формулам (9) и (14) частные решения от воздействий g₁(t), g₂(t) могут быть представлены как

x_1в(t) = A()e^j() e^{jt ,} x_2в(t) = A()e^-j() e^-jt.

Так как рассматриваемая система линейна, то общая её реакция на гармоническое воздействие

x(t) = x_1в(t)+,x_2в(t) =A()[e^j() e^jt + e^-j() e^-jt] =

=A₀ A() cos [t + ()]. (16)

Это означает, что вынужденные колебания, вызываемые в линейной динамической системе гармоническим воздействием, представляют собой также гармоническую функцию времени, имеющую ту же угловую частоту , что и входное воздействие, но с измененной амплитудой и фазой. При этом относительная амплитуда и фаза выходных вынужденных колебаний x(t) зависят от частоты входных гармонических воздействий.

Основной целью лабораторной работы является изучение и определение закономерностей изменения модуля A() и аргумента передаточной функции () в зависимости от частоты входного сигнала. Эти изменения характерны для типовых динамических звеньев САУ, по которым можно определить их вид, параметры и динамические свойства. Следует также иметь в виду, что передаточную функцию САУ любого произвольного порядка можно разбить на типовые динамические звенья. Поэтому изучение типовых динамических звеньев является основой исследования систем автоматического управления, описываемых дифференциальными уравнениями любого порядка.



Рис. 2 Графики зависимостей x(t), g(t)

Описание лабораторной установки

В лабораторную установку входят:

панели исследуемых звеньев; генератор гармонических колебаний;

электронный фазометр; осциллограф;

электронный вольтметр.

Лабораторные панели размещены на лабораторном стенде. На одной панели (рис. 3) изображена схема подключения внешних устройств, используемых для исследования. На другой панели (рис. 4) изображены схемы исследуемых типовых звеньев САУ.

g(t) X(t)

W(S)

« В Х О Д » « В Ы Х О Д »

Рис. 3 Схема лабораторной установки

Генератор служит для реализации входного воздействия, представляющего собой гармонический сигнал g(t) = A₀ sin t.

Фазометр служит для измерения угла сдвига между входными и выходными сигналами. Вольтметр служит для измерения напряжения на выходе исследуемого звена.

Осциллограф необходим для визуального наблюдения входного и выходного сигналов.

Перед работой приборы необходимо прогреть в течение 10 минут и откалибровать. Вариант задания выбирается переключателем S1.



Рис. 4 Схемы исследуемых звеньев САУ

Задание

Для звеньев, заданных преподавателем, вывести передаточную функцию.

Расчетным путем построить частотные характеристики АФЧХ, ЛАЧХ и ЛФЧХ.

Для тех же звеньев экспериментально получить данные для построения АФЧХ, ЛАЧХ и ЛФЧХ.

По полученным частотным характеристикам определить параметры передаточных функций, тип звена и сравнить их с расчетными.

Сделать выводы по работе.

Методика выполнения расчетной части

Методику расчетов данных для построения частотных характеристик рассмотрим на примере звена, схема которого изображена на рис. 5.

Рис. 5 Схема исследуемого звена

Составим дифференциальное уравнение для данной схемы.

Определим значение для токов i_c(t), i₁(t), i₂(t)

Согласно закону Кирхгофа запишем

.

Подставляя значения токов, получим

.

После преобразований получим

где - постоянная времени звена;

- коэффициент передачи звена.

Учитывая, что передаточная функция звена или системы - это отношение изображения Лапласа выходного сигнала к изображению Лапласа входного сигнала, т.е.

,

получим передаточную функцию, используя дифференциальное уравнение звена

.

В полученное выражение подставляем и, умножив числитель и знаменатель передаточной функции на сопряженный множитель, получим вещественную и мнимую частотные характеристики исследуемого звена.

,

где - вещественная частотная характеристика;

- мнимая частотная характеристика.

Определим модуль и аргумент передаточной функции, то есть амплитудно-частотную и фаза-частотную характеристики

.

Вычислим значения параметров передаточной функции Т и К, используя данные электрической схемы.

Подставляя полученные значения в выражение для и и задаваясь значениями частоты от 0 до , получим данные для построения частотной характеристики. Данные сводим в табл. 1.

Построим амплитудно-фазо-частотную характеристику (АФЧХ) на комплексной плоскости. Для этого в начале откладываем углы . Если принимает отрицательные значения, то их откладывают по часовой стрелке, если положительные, то против часовой стрелки. На полученных лучах углов откладываются значения . Найдя положения точек и соединив их, строим амплитудно-фазо-частотную характеристику звена (рис. 6).

Таблица 1

Данные расчетной части

	0	200	400	1000	2000	4000	10000	20000	40000
	0.65	0.65	0.65	0.63	0.5	0.47	0.25	0.13	0.07
	0	-3	-6	-14	-25	-44	-67	-78	-84
	-3.7	-3.7	-3.7	-4	-4.6	-6.6	-12	-18	-24

Построение логарифмических характеристик ЛАЧХ и ЛФЧХ выполняется на полулогарифмической бумаге. По оси абсцисс откладывается (в логарифмическом масштабе), а по оси ординат - значения амплитуды в децибелах и фазы в градусах (в линейных масштабах).

Рис. 6 АФЧХ исследуемого звена

В логарифмическом масштабе изменение частоты в два раза называется октавой, а изменение частоты в десять раз - декадой.

Построенные по данным таблицы логарифмические характеристики приведены на рис. 7.

Асимптотическая логарифмическая амплитудная частотная характеристика на частотах принимает значения , а на частотах она уменьшается, причем уменьшение амплитуды сигнала составляет 20дБ на одну декаду, т.е. наклон характеристики, начиная с частоты сопряжения , составляет (-20 дБ/дек).

Логарифмическая фазовая частотная характеристика в диапазоне частот от до меняется от -5,7 до -84,3 градусов, проходя через точку на частоте сопряжения .

Методика проведения эксперимента

Перед проведением эксперимента получить необходимые рекомендации у преподавателя или инженера лаборатории. Подключить, согласно полярности, к клеммам “Вход” лабораторной панели генератор, осциллограф (1^й канал) и фазометр ( клемма “Опорное”). К клеммам “Выход” лабораторной панели подключить осциллограф (2^й канал), фазометр ( клемма “Сигнал”) и вольтметр. Включить внешнюю аппаратуру и дать ей прогреться в течение 10 минут, после чего откалибровать приборы в присутствии инженера лаборатории.

Установить амплитуду напряжения генератора . Меняя лимбом настройки частоту напряжения генератора f в диапазоне от 200 до 15000 Гц, визуально наблюдать на экране осциллографа изменение сигнала на выходе исследуемого звена, сравнивая его с сигналом на входе. Во всем диапазоне изменения параметров выходного сигнала выбрать достаточное количество характерных точек для построения частотных характеристик. Данные записать в табл.2. По данным табл. 2 построить АФЧХ, ЛАЧХ и ЛФЧХ исследуемых типовых звеньев САУ.

Рис. 7 ЛАЧХи ЛФЧХ, построенные расчетным путем

Таблица 2

Данные эксперимента

f [Гц]

Указания к составлению отчета

Отчет должен содержать:

1. Схемы исследуемых типовых звеньев САУ.

2. Вывод передаточных функций исследуемых звеньев.

3. Частотные характеристики АФЧХ, ЛАЧХ, ЛФЧХ звеньев, полученные расчетным путем.

4. Таблицы экспериментальных данных.

5. Частотные характеристики АФЧХ, ЛАЧХ, ЛФЧХ, полученные экспериментально.

6. Параметры передаточных функций звеньев САУ, полученные в результате эксперимента.

7. Перечень приборов и оборудования, используемых в работе.

8. Выводы по работе.

Контрольные вопросы

1. Какие звенья называют типовыми динамическими звеньями САУ?

2. Какое воздействие надо подать на вход звена, что бы получить данные для построения частотных характеристик?

3. Дать определение передаточной функции звена.

4. Какие частотные характеристики вы знаете?

5. Как влияют параметры передаточной функции на вид частотных характеристик?

6. Для заданной передаточной функции построить ЛАЧХ и ЛФЧХ.

7. По заданной электрической схеме вывести передаточную функцию.

8. Для заданной частотной характеристики записать передаточную функцию звена.

9. Для заданного воздействия g(t) по частотной характеристике определить X(t).

ЛИТЕРАТУРА

1. Глухов В.В. Теория систем автоматического управления. Ч.1: учебное пособие. - М.: МГТУ ГА, 2006.

2. Солодовников В.В., Плотников В.Н., Яковлев А.В. Основы теории и элементы систем автоматического регулирования. М.: Машиностроение, 1985.

3. Теория автоматического управления. Ч.1, Ч.2; под ред. А.А. Воронова. М.: Высшая школа, 1986.

4. Иващенко Н.Н. Автоматическое регулирование. М.: Машиностроение, 1978.

Размещено на Allbest.ru